[논문]중학교 수학 교과서 분석을 통한 정당화 방안 탐색

이환철; 하영화

문제 정의

따라서 본 연구에서는 선행연구로부터 정당화의 의미와 유형을 구분하고 이를 중심으로 2007 개정 수학과 교육과정에 따른 중학교 수학 교과서의 기하 영역을 분석하고자 한다. 교과서 분석을 통해 새로운 수학과 교육과정에 따른 중학교 수학 교과서의 기하 영역에서 정당화가 제시된다면 어떤 형태로 제시되어야 하는지에 대해 구체적인 사례를 탐색하고자 한다.
따라서 본 연구에서는 선행연구로부터 정당화의 의미와 유형을 구분하고 이를 중심으로 2007 개정 수학과 교육과정에 따른 중학교 수학 교과서의 기하 영역을 분석하고자 한다. 교과서 분석을 통해 새로운 수학과 교육과정에 따른 중학교 수학 교과서의 기하 영역에서 정당화가 제시된다면 어떤 형태로 제시되어야 하는지에 대해 구체적인 사례를 탐색하고자 한다.
본 연구는 2011 개정 수학과 교육과정에서 시도하려고 하는 정당화의 의미와 유형에 대하여 살펴보고, 현재 적용되고 있는 2007 개정 수학과 교육과정에서 구체적인 예를 찾아봄으로써 교육과정의 변화에 따른 혼란을 줄이는데 목적을 두고 연구를 진행하였다. 이에 따른 연구 결과는 다음과 같다.
본 연구는 선행 연구를 바탕으로 하여 정당화의 유형을 4가지 유형으로 분류하였다. 이러한 분류를 기반으로 하여 정당화의 유형별로 중학교 수학 교과서에 구현된 사례를 찾아 정당화의 방안으로 제시하고자 하였다.

가설 설정

3) 유형4가 아닌 다른 정당화 유형의 구체적인 예로 적절한 것이 있는가?

제안 방법

1차 분석은 중학교 2학년 수학 교과서를 대상으로 이루어졌고, 2차 분석은 중학교 1, 2, 3학년 수학 교과서의 비교 분석으로, 1차 분석 과정에서 교과서 검정체제의 특성상 모든 교과서가 동일한 형태로 진술되었다고 판단되어 학교 현장에서 많이 선정되어 사용되고 있는 1개 출판사의 교과서에 대하여 실시하였다. 3차 분석은 중학교 수학 교과서에 나타난 정당화의 유형별 예를 찾기 위해 교과서와 익힘책을 분석하여 그 사례를 찾아내었다.
2007 개정 수학과 교육과정에 따라 개발된 중학교 수학 교과서가 분석 대상이었다. 1차 분석은 증명이라는 용어가 처음 등장하는 중학교 2학년의 도형의 성질 단원에 대해서 이루어졌다. 중학교 2학년 17종 교과서(A₁ , A₂ , A₃ ,⋯ , A₁₇ )의 도형의 성질 단원을 대상으로 탐구활동, 본문 내용, 예제를 통해 설명된 명제를 분석하여 정당화 유형별로 분류하였다.
2차 분석 결과, 유형 4를 제외한 다른 정당화 유형의 구체적인 예가 많지 않음을 확인하였다. 2차 분석 결과에 해당하는 유형1, 유형2, 유형3의 예와 익힘책에 제시된 예에 대한 분석을 통해 유형별로 가장 적절한 예를 2가지씩 선정하였다. 이러한 정당화 유형은 기존의 중학교 2학년 기하 영역에서 증명으로 대표되는 유형4를 대체할 수 있을 것으로 판단된다.
1차 분석은 중학교 2학년 수학 교과서를 대상으로 이루어졌고, 2차 분석은 중학교 1, 2, 3학년 수학 교과서의 비교 분석으로, 1차 분석 과정에서 교과서 검정체제의 특성상 모든 교과서가 동일한 형태로 진술되었다고 판단되어 학교 현장에서 많이 선정되어 사용되고 있는 1개 출판사의 교과서에 대하여 실시하였다. 3차 분석은 중학교 수학 교과서에 나타난 정당화의 유형별 예를 찾기 위해 교과서와 익힘책을 분석하여 그 사례를 찾아내었다. 이러한 방법에 의해 연구된 결과는 수학교육학을 전공한 박사 1명과 수학교육학 교수 1명에 검토를 의뢰하여 수정 보완하였다.
본 연구를 위해 2009 개정 교육과정에 따른 중학교 수학과 교육과정의 변화에 있어 정당화 논의가 있음을 인지하고 이해하고 있는 교육 경력이 각각 8년, 4년인 수학 교사 2명과 함께 교과서 분석을 실시하였다. 각자 중학교 2학년 수학 교과서에 제시된 정당화의 예를 찾고 유형별로 분류하고 구분이 명료하지 않아 논의가 필요한 경우는 토론을 통해 유형별로 분류하였다.
초등학교에서 학습한 것을 기초로 중학교 1학년에서는 기본적인 도형인 점, 선, 면, 각에 대한 간단한 성질을 파악하고 삼각형의 합동조건을 이해하며 평면도형과 입체도형의 성질 등을 탐구한다. 그리고 다각형의 내각과 외각의 크기, 부채꼴의 넓이와 호의 길이, 입체도형의 부피와 겉넓이 등을 탐구한다. 2학년에서는 삼각형의 합동조건을 이용하여 삼각형과 사각형의 성질을 증명하고 삼각형의 닮음을 이용하여 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비, 삼각형의 중점연결정리 등을 탐구하며, 이를 활용하여 실생활 문제를 해결하는 탐구활동을 한다.
0단계는 정당화를 시도하지 않은 단계로 본 연구의 목적에 부합하지 않아 제외하고, 1단계는 외적 확신에 의한 정당화 단계로 본 연구가 교과서 분석이라는 측면에서 외적 확신이 명백하다는 점에서 모든 유형이 1단계에 속한다고도 볼 수 있으므로 제외한다. 따라서 본 연구에서는 김정하(2010)의 연구에서 제시한 수학적 정당화의 단계 중에서, 2단계, 3단계, 4단계, 5단계만을 선택하여 순서의 의미를 갖는 단계라는 용어 대신 유형이라는 용어를 사용하여 각각 유형1, 유형2, 유형3, 유형4로 정의한다. 각 유형과 그 특징을 정리하면 다음의 [표 Ⅰ-1]과 같다.
또한 중학교 3학년 피타고라스의 정리의 역은 다음 와 같이 증명 없이 문제 상황을 이해한다는 교육과정의 교수·학습 상의 유의점에 따라 유형1을 이용하여 정당화를 하였다.
본 연구는 선행 연구를 바탕으로 하여 정당화의 유형을 4가지 유형으로 분류하였다. 이러한 분류를 기반으로 하여 정당화의 유형별로 중학교 수학 교과서에 구현된 사례를 찾아 정당화의 방안으로 제시하고자 하였다.
셋째, 중학교 1, 2, 3학년의 기하 영역에서 유형4가 아닌 다른 정당화 유형이 존재하기 때문에 이 중에서 적절한 예를 찾아 제시하였다. 이러한 예를 통해 2009 개정 교육과정에 따른 중학교 수학과 교육과정의 기하 영역에서 제안되고 있는 정당화의 예로서 보다 적극적으로 활용할 수 있을 것으로 판단된다.
3차 분석은 중학교 수학 교과서에 나타난 정당화의 유형별 예를 찾기 위해 교과서와 익힘책을 분석하여 그 사례를 찾아내었다. 이러한 방법에 의해 연구된 결과는 수학교육학을 전공한 박사 1명과 수학교육학 교수 1명에 검토를 의뢰하여 수정 보완하였다.
1차 분석은 증명이라는 용어가 처음 등장하는 중학교 2학년의 도형의 성질 단원에 대해서 이루어졌다. 중학교 2학년 17종 교과서(A₁ , A₂ , A₃ ,⋯ , A₁₇ )의 도형의 성질 단원을 대상으로 탐구활동, 본문 내용, 예제를 통해 설명된 명제를 분석하여 정당화 유형별로 분류하였다. 2차 분석은 중학교 1, 2, 3학년의 기하 영역 전체에 대한 비교 분석으로, 중학교 2학년 17종 교과서에 대한 분석 과정에서 교과서 간의 차별성이 없다는 판단 하에 1개 출판사의 교과서를 분석 대상으로 하였다.
중학교 2학년 수학 교과서에서 도형의 성질 단원에 제시된 명제에 대하여 다양한 유형의 정당화가 나타나는지에 대하여 분석을 하였다.

대상 데이터

2007 개정 수학과 교육과정에 따라 개발된 중학교 수학 교과서가 분석 대상이었다. 1차 분석은 증명이라는 용어가 처음 등장하는 중학교 2학년의 도형의 성질 단원에 대해서 이루어졌다.
중학교 2학년 17종 교과서(A₁ , A₂ , A₃ ,⋯ , A₁₇ )의 도형의 성질 단원을 대상으로 탐구활동, 본문 내용, 예제를 통해 설명된 명제를 분석하여 정당화 유형별로 분류하였다. 2차 분석은 중학교 1, 2, 3학년의 기하 영역 전체에 대한 비교 분석으로, 중학교 2학년 17종 교과서에 대한 분석 과정에서 교과서 간의 차별성이 없다는 판단 하에 1개 출판사의 교과서를 분석 대상으로 하였다. 1차 분석과 2차 분석의 분석 대상은 다음의 [표 Ⅱ-1]과 같다.
본 연구를 위해 2009 개정 교육과정에 따른 중학교 수학과 교육과정의 변화에 있어 정당화 논의가 있음을 인지하고 이해하고 있는 교육 경력이 각각 8년, 4년인 수학 교사 2명과 함께 교과서 분석을 실시하였다. 각자 중학교 2학년 수학 교과서에 제시된 정당화의 예를 찾고 유형별로 분류하고 구분이 명료하지 않아 논의가 필요한 경우는 토론을 통해 유형별로 분류하였다.
분석 대상 단원에서 분석하고자 하는 정당화 유형은 탐구활동, 본문 내용과 예제에 국한하였으며 이 중에서도 단순한 문제 풀이 형태의 설명보다는 수학적 성질을 정당화하는 것을 대상으로 하였다. 이에 따라 중학교 1학년은 총 21개, 2학년은 총 29개, 3학년은 18개의 수학적 성질이 대상으로 선정되었고 각각을 유형별로 분류하였다.

데이터처리

3차 분석은 정당화 유형별로 구체적인 사례를 제시하는 것으로 2차 분석 결과와 함께 익힘책에 제시된 예를 분석하였다.

성능/효과

2차 분석 결과, 유형 4를 제외한 다른 정당화 유형의 구체적인 예가 많지 않음을 확인하였다. 2차 분석 결과에 해당하는 유형1, 유형2, 유형3의 예와 익힘책에 제시된 예에 대한 분석을 통해 유형별로 가장 적절한 예를 2가지씩 선정하였다.
증명이라는 용어가 처음 사용되는 단원이기 때문으로 판단된다. 그러나 분석 결과, 전체의 45.81%는 유형1, 유형2, 유형3으로 정당화하여 그 필요성을 느끼게 하여 유형4로 마무리하는 두 유형 간의 결합적인 형태를 사용하였으나 나머지 54.19%는 명제로부터 바로 유형4에 의한 증명만을 다룬 것으로 나타났다. 이는 학생들이 기하학적 성질을 이해하기보다는 증명을 이해하는 것에만 초점을 두게 되어 중학교 2학년 기하 영역에 대한 어려움을 주장한 이유가 된 것으로 판단된다.
둘째, ‘증명’이라는 용어가 도입하는 중학교 2학년에서 유형4의 비중이 90% 내외로 급격히 증가하였다.
둘째, 정당화의 개념이 도입되는 것이 바람직하다고 할 때, 많이 찾을 수 있는 것은 아니지만 현재의 교과서, 익힘책을 통해서 다양한 정당화의 유형을 확인할 수 있었다. 따라서 다양한 정당화 유형을 사용할 수 있다는 측면에서, 교과서 집필자는 특정 유형의 정당화만을 고집하지 않고 학생들에게 가장 알맞다고 판단되는 정당화의 유형을 제시하여 교과서를 집필하도록 하는 것이 바람직하다.
즉 어떤 명제에 대하여 유형4만 단독으로 제시하여 정당화하는 것이 아니라 유형1, 유형2, 유형3과 같은 형태의 정당화를 먼저 제시하고 이어서 유형4의 정당화로 마무리하는 형태는 학생들의 이해도를 높일 수 있다. 따라서 결과적으로는 유형4의 정당화 방법을 사용하였으나 후자의 형태로 정당화가 이루어진 것이 있는지를 분석하였더니 1차 분석 대상 전체의 45.81%가 해당되었다. 다시 말해 54.
중학교 2학년 수학 교과서에서 도형의 성질 단원에 제시된 명제에 대하여 다양한 유형의 정당화가 나타나는지에 대하여 분석을 하였다. 분석 결과, 다음의 [표 Ⅱ-2] 같이 17종의 모든 교과서에서 유형1, 유형2, 유형3의 예를 찾을 수 없었고 유형4만을 이용하여 정당화를 하였다.
첫째, 중학교 1학년에 비해 중학교 2, 3학년에서 유형4가 급격하게 증가함을 확인하였고, 우리나라 교육과정에 제시된 기하 교육의 목적이 도형의 성질을 습득하고 활용하는 것에 보다 초점을 두고 있다는 것을 확인하였다. 따라서 중학교 2학년에서 증명의 다양화라는 측면을 고려하여 정당화의 개념을 도입하고 다양한 정당화 유형을 통해 명제가 참임을 밝히는 것은 바람직하다고 판단된다.
첫째, 중학교 2학년의 도형의 성질 단원에 제시된 모든 명제는 유형4에 의해서 정당화가 이루어졌다. 증명이라는 용어가 처음 사용되는 단원이기 때문으로 판단된다.

후속연구

셋째, 중학교 1, 2, 3학년의 기하 영역에서 유형4가 아닌 다른 정당화 유형이 존재하기 때문에 이 중에서 적절한 예를 찾아 제시하였다. 이러한 예를 통해 2009 개정 교육과정에 따른 중학교 수학과 교육과정의 기하 영역에서 제안되고 있는 정당화의 예로서 보다 적극적으로 활용할 수 있을 것으로 판단된다.

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	우리나라 수학과 교육과정에서 정당화라는 용어를 처음 언급한 것은?	우리나라 수학과 교육과정에서 ‘정당화’라는 용어를 처음으로 언급한 것은 2007 개정 수학과 교육과정이다. 2007 개정 수학과 교육과정(교육인적자원부, 2007)의 교수․학습 방법 항목에는 다음과 같이 정당화와 관련하여 언급되어 있다.
	수학적 명제가 참임을 자신 또는 다른 사람을 확신시키는 방식으로 사용되는 용어는 무엇이 있나?	수학적 명제가 참임을 자신 또는 다른 사람을 확신시키는 방식으로 사용되는 용어에는 증명(proof), 정당화(justification), 타당화(verification), 설명(explanation), 논증(argumentation)등이 있다(김정하, 2010). 이 중 수학적 명제가 참임을 밝히는 가장 엄밀하고 형식적인 과정을 증명이라고 한다.

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