수학적 사고는 많은 학자들의 관심사항이었으며 지속적으로 강조되고 있는 주제 중 하나이다. 특히 우리나라 수학과 교육과정에서는 학생들의 수학적 사고 신장을 위한 교수 학습을 강조하고 있다. 본 연구에서는 수학적 사고의 발달 메커니즘을 정의하고 이를 중심으로 하여 2007 개정 수학과 교육과정에 따른 수학 교과서를 분석하였다. 분석 결과 수학 교과서 집필자 와 수학 교사는 학습해야 할 개념이 개념의 발달 과정의 어느 위치에 있는 개념이며, 어떠한 과정으로 발생하는지에 대한 면밀한 분석을 할 필요가 있으며, 이러한 요소를 반영되기 위해서 학습해야 할 개념과 관련된 개념의 흐름을 학생들에게 제시하고, '개념 만들기' 등과 같이 미래의 학습 개념을 추측해 볼 수 있는 활동을 제공해야 한다는 결론을 얻었다.
수학적 사고는 많은 학자들의 관심사항이었으며 지속적으로 강조되고 있는 주제 중 하나이다. 특히 우리나라 수학과 교육과정에서는 학생들의 수학적 사고 신장을 위한 교수 학습을 강조하고 있다. 본 연구에서는 수학적 사고의 발달 메커니즘을 정의하고 이를 중심으로 하여 2007 개정 수학과 교육과정에 따른 수학 교과서를 분석하였다. 분석 결과 수학 교과서 집필자 와 수학 교사는 학습해야 할 개념이 개념의 발달 과정의 어느 위치에 있는 개념이며, 어떠한 과정으로 발생하는지에 대한 면밀한 분석을 할 필요가 있으며, 이러한 요소를 반영되기 위해서 학습해야 할 개념과 관련된 개념의 흐름을 학생들에게 제시하고, '개념 만들기' 등과 같이 미래의 학습 개념을 추측해 볼 수 있는 활동을 제공해야 한다는 결론을 얻었다.
Developing Mathematical Thinking has been continually emphasized in the Korean curriculum and this emphasis has demonstrated its impact on math textbooks and classes in South Korean schools. This study intends to discover how the Developmental Mechanism of Mathematical Thinking should be reflected t...
Developing Mathematical Thinking has been continually emphasized in the Korean curriculum and this emphasis has demonstrated its impact on math textbooks and classes in South Korean schools. This study intends to discover how the Developmental Mechanism of Mathematical Thinking should be reflected through School Mathematics regardless of subfields of Mathematics or its levels. Finally, this study concluded that the Developmental Mechanism of Mathematical Thinking is being reflected on School Mathematics. However, more research in certain areas needs to be done. Through analyzing textbooks, it is certain that the Developmental Mechanism of Mathematical Thinking is being reflected on School Mathematics. Moreover, it appears that students are able to develop new concepts using Developmental Mechanism of Mathematical Thinking. Mathematical Thinking is a subject that many scholars and mathematicians have taken an interest in. Especially with the math curriculum in Korea, designing and implementing classes that would help students develop their mathematical thinking are increasingly being emphasized. This study defines what mathematical development mechanism is, and based on this definition, it further analyzes the math textbook of the revised 2007 curriculum. As a result, textbook developers and math teachers should examine and analyze the concepts that learners need to acquire and how they develop. Further, this study not only presents the concepts students are expected to acquire, but also looks at the flow in which concepts have been introduced to students. It concludes that activities that can help students have an idea of what they are going to learn in the future should be provided during class time.
Developing Mathematical Thinking has been continually emphasized in the Korean curriculum and this emphasis has demonstrated its impact on math textbooks and classes in South Korean schools. This study intends to discover how the Developmental Mechanism of Mathematical Thinking should be reflected through School Mathematics regardless of subfields of Mathematics or its levels. Finally, this study concluded that the Developmental Mechanism of Mathematical Thinking is being reflected on School Mathematics. However, more research in certain areas needs to be done. Through analyzing textbooks, it is certain that the Developmental Mechanism of Mathematical Thinking is being reflected on School Mathematics. Moreover, it appears that students are able to develop new concepts using Developmental Mechanism of Mathematical Thinking. Mathematical Thinking is a subject that many scholars and mathematicians have taken an interest in. Especially with the math curriculum in Korea, designing and implementing classes that would help students develop their mathematical thinking are increasingly being emphasized. This study defines what mathematical development mechanism is, and based on this definition, it further analyzes the math textbook of the revised 2007 curriculum. As a result, textbook developers and math teachers should examine and analyze the concepts that learners need to acquire and how they develop. Further, this study not only presents the concepts students are expected to acquire, but also looks at the flow in which concepts have been introduced to students. It concludes that activities that can help students have an idea of what they are going to learn in the future should be provided during class time.
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문제 정의
[분석 대상 1-1]에서 C2 교과서는 trans 단계의 ‘집합의 연산법칙’의 첫 부분인 교집합의 교환법칙을 설명하면서 inter 단계의 ‘집합의 연산’의 교집합 부분에서 A∩B = {x|x∈A 그리고 x∈B}와 같이 조건제시법으로 나타내는 것을 배웠다고 하면서 본문을 전개했다.
개념의 발달 과정을 분석하는 측면에서, 각각 intra, inter, trans의 단계에 해당하는 세 개의 개념으로 이루어진 흐름이 명확히 드러난다고 판단되는 예를 찾고자 하였고 1차 협의 결과 다음 과 같은 예가 제시되었다.
교과용 도서 특히 교과서는 교육과정에 제시된 내용을 기반으로 하여 집필된다는 점에서 수학 교과서 집필자는 수학적 능력의 신장을 어떻게 교과서에 구현해 낼 것인가를 고민해야 한다. 따라서 본 연구에서는 우리나라 수학 교과서에 수학적 사고의 발달 메커니즘이 반영되어 있는지를 분석하고, 보다 적극적으로 반영하기 위해서는 어떠한 구성 요소가 필요한지에 대해 살펴보고자 한다.
본 연구에서는 수학적 사고의 발달 메커니즘 중 intra 단계를 수학 개념의 내적 또는 개별적인 요소를 다루는 분석 단계, inter 단계를 수학 개념들 간의 외적 또는 변환 관계를 통해 새로운 수학 개념을 형성하는 단계, trans 단계를 inter 단계로부터 형성된 수학 개념이 통합적 구조로서 구성되는 단계라고 하였다. 수학적 사고의 발달 메커니즘에 대한 정의를 바탕으로 하여 본 연구에서는 수학 교과서에 수학적 사고의 발달 메커니즘이 적용되고 있는지를 확인하고 그 과정을 분석하였다.
본 연구의 진행을 위해 먼저 연구를 위해 수학적 사고의 발달 메커니즘과 일치한다고 생각되는 개념의 흐름을 찾고자 하였다. 분석 대상 개념은 넓은 의미로서 개념의 발달이라는 측면에서 세 가지 개념이 각각 intra, inter, trans 단계의 개념으로서 발달되는 과정을 분석하는 것과 좁은 의미로서 개념의 발생이라는 측면에서 intra, inter, trans단계를 통해 하나의 개념이 발생되는 과정을 분석하기로 하였다.
본 연구에서는 수학적 사고의 발달 메커니즘 중 intra 단계를 수학 개념의 내적 또는 개별적인 요소를 다루는 분석 단계, inter 단계를 수학 개념들 간의 외적 또는 변환 관계를 통해 새로운 수학 개념을 형성하는 단계, trans 단계를 inter 단계로부터 형성된 수학 개념이 통합적 구조로서 구성되는 단계라고 하였다. 수학적 사고의 발달 메커니즘에 대한 정의를 바탕으로 하여 본 연구에서는 수학 교과서에 수학적 사고의 발달 메커니즘이 적용되고 있는지를 확인하고 그 과정을 분석하였다.
가설 설정
1) 개념들의 발달 과정은 수학적 사고의 발달 메커니즘을 따르는가?
2) 하나의 개념의 발생 과정은 수학적 사고의 발달 메커니즘을 따르는가?
제안 방법
14종의 교과서 모두 ‘교집합’의 개념을 도입하는 데 있어 두 집합 A, B를 각각 원소나열법과 벤다이어그램으로 나타내고 그 공통부분을 언급하게 함으로서 ‘교집합’의 개념을 도입하였다.
[분석 대상 1-1]에서 inter 단계에 해당하는 ‘집합의 연산’ 특히 ‘집합의 연산’의 첫 부분인 ‘교집합’의 개념을 학습하기 위한 도입 부분에서 intra 단계인 ‘집합’의 개념이 사용되었는지를 분석하였다.
[분석 대상 2-1]은 삼각함수의 개념 발생 과정으로, 고등학교 1학년 16종의 교과서에서 어떠한 방법으로 본문 전개를 하여 삼각함수 개념의 발생을 전개하였는지에 대해 분석하였다. 이를 정리하면 다음 <표 Ⅱ-6>과 같다.
따라서 정의1, 정의2, 정의3과 같이 x2 = a를 사용하여 제곱근을 정의하였거나 정의4, 정의5와 같이 부연설명이지만 x2 = a를 사용하였다면 이를 이끌 수 있는 inter 단계가 있어야 한다. x와 x2의 관계를 도입활동으로 제시한 Bs 교과서를 제외한 13종의 교과서는 교육과정 해설서에 언급되어 있는 예와 같이 정사각형의 한 변의 길이와 넓이의 관계를 기반으로 하는 도입활동을 제시하였다. 즉 정사각형의 내적 관계인 한 변의 길이, 넓이를 분석하는 것을 intra 단계로 사용한 것이다.
또한 [분석 대상 1-2]에서 inter 단계에 해당하는 ‘원의 성질’ 특히 중학교 1학년의 ‘원과 직선의 위치 관계’ 첫 부분에서 intra 단계인 ‘원의 구성 요소’의 개념이 사용되는지를 분석하였다.
또한 trans 단계에 해당하는 ‘집합의 연산 법칙’ 특히 첫 부분인 교집합에 대한 ‘교환법칙’을 도입하는 데 있어 inter 단계의 ‘집합의 연산’ 개념이 사용되었는지를 분석하였다.
또한 trans 단계에 해당하는 원의 방정식 중에서 특히 고등학교 1학년 ‘원과 직선의 위치 관계’ 첫 부분에서도 inter 단계에 해당하는 중학교 1학년의 ‘원과 직선의 위치 관계’ 개념이 사용되는지를 분석하였다.
또한 개념의 발생 과정을 분석하는 측면에서, intra, inter, trans의 단계를 통해 새로운 개념이 발생하는 예를 찾고자 하였고 1차 협의 결과 1차 협의 결과 다음 와 같은 예가 제시되었다.
또한 해결된 문제 상황으로부터 새로운 문제 상황을 만드는 ‘문제 만들기’ 활동과 같이, 하나의 주된 개념에 대한 이해로부터 새로운 개념을 추측해보는 ‘개념 만들기’ 활동을 하도록 하는 것을 제안한다.
본 연구에서는 Piaget & Garcia(1983)의 인지발달 메커니즘을 기본으로 하고 수학적 사고 과정과 발달에 관한 다양한 연구들과의 공통점을 비교하여 수학적 사고의 발달 메커니즘을 정의하였다.
본 연구의 진행을 위해 먼저 연구를 위해 수학적 사고의 발달 메커니즘과 일치한다고 생각되는 개념의 흐름을 찾고자 하였다. 분석 대상 개념은 넓은 의미로서 개념의 발달이라는 측면에서 세 가지 개념이 각각 intra, inter, trans 단계의 개념으로서 발달되는 과정을 분석하는 것과 좁은 의미로서 개념의 발생이라는 측면에서 intra, inter, trans단계를 통해 하나의 개념이 발생되는 과정을 분석하기로 하였다. 수학적 사고의 발달 메커니즘을 이해하고 있는 수학 교육과 교수 1명, 수학교육학 박사 1명과 1, 2차 협의를 하였다.
위의 4가지 중에서 가장 적절한 것을 찾기 위해 2차 협의를 하여 두 가지를 선정하였다. 하나는 중학교 수학 개념으로부터 고등학교 수학 개념이 발생되는 예로써 중학교의 삼각비와 관련된 삼각함수의 개념 발생 과정을 선정하였고, 다른 하나는 제7차 교육과정부터 수학 교과서에서 보편적으로 사용하고 있는 수학적 활동을 통해 개념이 발생되는 예로써 제곱근 개념의 발생 과정을 선정하였다.
위의 5가지 중에서 가장 적절한 것을 찾기 위해 2차 협의를 하여 두 가지를 선정하였다. 하나는 중학교 1학년과 고등학교 1학년의 첫 단원을 구성하고 있다는 중요성 때문에 집합, 집합의 연산, 집합의 연산법칙으로 이어지는 개념의 발달 과정을 선정하였고, 다른 하나는 교육과정 전반의 흐름을 판단하기 위해 초등학교, 중학교, 고등학교에 걸쳐 있는 내용을 분석하는 것이 필요하다는 이유 때문에 원의 구성요소, 원의 성질, 원의 방정식으로 이어지는 개념의 발달 과정을 분석 대상으로 선정하였다.
정해진 네 가지 종류의 분석 대상 개념 각각에 대하여 2007 개정 수학과 교육과정에 제시되어 있는 학습 목표와 교육과정 해설서의 내용을 조사한 후, 개념의 발생과 발달 과정에서 수학적 사고의 발달 메커니즘이 반영되어 있는지에 대해 교과서 분석을 실시하였다.
위의 5가지 중에서 가장 적절한 것을 찾기 위해 2차 협의를 하여 두 가지를 선정하였다. 하나는 중학교 1학년과 고등학교 1학년의 첫 단원을 구성하고 있다는 중요성 때문에 집합, 집합의 연산, 집합의 연산법칙으로 이어지는 개념의 발달 과정을 선정하였고, 다른 하나는 교육과정 전반의 흐름을 판단하기 위해 초등학교, 중학교, 고등학교에 걸쳐 있는 내용을 분석하는 것이 필요하다는 이유 때문에 원의 구성요소, 원의 성질, 원의 방정식으로 이어지는 개념의 발달 과정을 분석 대상으로 선정하였다.
위의 4가지 중에서 가장 적절한 것을 찾기 위해 2차 협의를 하여 두 가지를 선정하였다. 하나는 중학교 수학 개념으로부터 고등학교 수학 개념이 발생되는 예로써 중학교의 삼각비와 관련된 삼각함수의 개념 발생 과정을 선정하였고, 다른 하나는 제7차 교육과정부터 수학 교과서에서 보편적으로 사용하고 있는 수학적 활동을 통해 개념이 발생되는 예로써 제곱근 개념의 발생 과정을 선정하였다.
대상 데이터
[분석 대상 2-2]는 제곱근의 개념 발생 과정으로, 중학교 3학년 14종의 교과서에서 어떻게 본문 전개를 하여 제곱근 개념이 발생시켰는지를 분석하였다. 이를 정리하면 다음의 <표 Ⅱ-7>과 같다.
따라서 x2 = a를 정의에서 사용하려면 이를 유추해낼 수 있는 inter 단계가 교과서에 제시되어 있어야 한다. 따라서 x2 = a를 정의에서 언급하지 않은 B14교과서를 제외한, 13종의 교과서를 분석하였다. 13종의 교과서 중 x2 = a를 이끌어 내기 위해 도입활동에서 x 라는 문자를 사용하여 물음을 한 것은 B4, B8, B9, B10, B11, B12, B13 의 7종이었다.
분석 대상에 포함된 수학교과서는 초등학교 3학년, 중학교 1학년, 중학교 3학년, 고등학교 1학년에 해당하는 것으로 초등학교 3학년은 국정교과서 1종, 중학교 1학년 14종, 중학교 3학년 14종, 고등학교 1학년 16종이었다. 중학교 1학년, 중학교 3학년, 고등학교 1학년 교과서의 경우 분석의 편의성을 위해 코딩하였다.
성능/효과
[분석 대상 1-1], [분석 대상 1-2]를 분석한 결과, 수학적 사고의 발달 메커니즘의 단계 간의 전이 과정에서 중요하게 사용된 도입 활동은 이전 단계의 개념이라는 것을 확인하였다. 따라서 이전의 단계에서 학습한 수학 개념을 정확히 이해하도록 하는 것이 필요하다.
일반적으로 Piaget의 이론을 수학의 역사발생과 개인에 있어서의 수학의 심리발생 사이의 역평행성을 보여주는 것으로 이해되지만 의식화의 측면에서는 심리발생과 역사발생에서의 개념 발달의 메커니즘이 평행하다는 것을 보여준다(민세영, 2002). 결과적으로 영역과 수준에 관계없이 triad라고 명명한 공통적인 발달 메커니즘 intra, inter, trans3)의 세 단계를 가지며, trans 단계는 다른 개념의 intra 단계에 작용함으로써 세 단계는 무한히 반복되고, 각각 하위 구조-예를 들어 trans의 하위 구조로서 trans-intra, trans-inter, trans-trans 단계-를 가진다. intra 단계는 개념의 내적 또는 개별적인 요소를 다루는 분석 단계이고, inter 단계는 개념들 간의 외적 또는 변환 관계를 통해 새로운 개념을 형성하는 단계이고, trans 단계는 inter 단계를 통해 형성된 개념이 통합적 구조로서 구성되는 단계이다(Piaget & Garcia, 1983; 이흥숙, 1995; 민세영, 2002; Montangero et.
교과서 분석 결과, 네 가지의 분석 대상 개념 모두 수학적 사고의 발달 메커니즘과 일치하는 것으로 판단된다. 그러나 수학적 사고의 발달 메커니즘과 일치한다고 하기에는 부족한 교과서 또는 학습 요소가 발견되어 개선이 필요하며, 수학적 사고의 발달 메커니즘이 반영되도록 하기 위한 교과서 코너 또는 요소가 제시되어야 할 필요가 있음을 확인하였다.
둘째, 수학적 사고의 발달 메커니즘은 trans 단계를 통해 개념이 구성된다는 측면과 intra 단계로서 개념의 확장이라는 측면을 함께 가지고 있음을 인식해야 한다. 이는 이전 수준에서는 사고의 수단이었던 것이 다음 수준에서는 사고의 대상이 된다는 vans Hiele의 관점과 일맥상통한다.
분석 결과, 본문에서 교집합을 조건제시법의 형태로 나타낸 것은 분석 대상인 14종의 교과서 중 10종이고, 나머지 4종은 본문 문장으로 제시한 것이 아니라 참고 표시를 하여 제시한 것이거나 여백에 제시한 것이다. 본문 문장으로 제시하지 않았다고 해서 중학교에서 배우지 않았다고 말할 수는 있는 것은 아니지만 필수 학습 요소가 아니며 교육과정에서도 제시되어 있지 않다는 점에 각각의 개념을 도입하는 단계에서 고려해야할 사항이다.
위의 로부터 알 수 있듯이 16종의 모든 교과서가 trans 단계의 도입 부분에서 inter 단계에서 형성된 교집합 개념을 이용하는 것으로 분석되었다.
제곱근의 개념 발생 과정에 대한 분석 결과, 14종의 교과서 중에서 수학적 사고의 발달 메커니즘이 적용된 교과서는 8종이었다. 나머지 6종의 경우 inter 단계에서 trans 단계로의 전이 과정에서 부족함이 나타났다.
후속연구
중학교에서 집합은 다른 영역의 내용과의 연계성이 비교적 적을 뿐만 아니라 기본적인 연산을 중학교에서 도입하고 그 연산의 성질과 법칙은 고등학교에서 다루기 때문에 고등학교에서 다시 반복 설명하여야 하는 불편함이 있으며, 집합의 원소의 개수를 구하는 문제 등은 중학교 학생들이 이해하기 어렵다. 따라서 우선 중학교에서는 집합의 뜻과 표현 정도만 간단히 다루도록 하거나 집합에 관한 내용을 고등학교에서 모두 다루는 방안에 대하여 좀 더 논의할 필요가 있다.
첫째, 수학 교과서 집필자나 수학 교사는 학생들에게 지도해야 할 학습 개념이 전반적인 수학 개념의 발달 과정에서 어떠한 위치를 차지하고 있는지에 대하여 분석해야 한다. 앞에서 분석한 바와 같이 수학 개념들의 발달 과정과 하나의 수학 개념의 발생 과정은 수학적 사고의 발달 메커니즘을 따른다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
Kant 이전의 철학에서는 인간의 인식을 어떻게 보았나?
인간의 인식을 수동적인 수용 과정으로 언급한 Kant 이전의 철학과는 달리 Kant 이후에는 인간을 인식의 주체로 삼고 인간의 능동적인 면을 강조하는 사상이 본류가 되었다(홍진곤 외, 1997). 인간의 능동성이 강조되면서 철학, 심리학 등의 학문 영역에서는 인식(認識)이라는 용어보다는 인지(認知)라는 용어를 사용하였고, 20세기 중반에 이르러서는 인간의 정신적 구조 자체를 연구의 대상으로 삼는 인지주의와 구성주의 심리학이 등장하게 되었다.
인지 발달 단계 이론의 후속 연구는 무엇인가?
특히 Piaget는 인간이 지식을 구성함에 있어 특정한 단계를 거치면서 인지가 발달한다고 하는 인지 발달 단계 이론을 발표하였다. 또한 후속 연구로서 Piaget & Garcia(1983)는 개념의 역사 발달 메커니즘과 심리 발생 메커니즘은 일치하며, intra, inter, trans의 3단계를 거친다고 하는 인지 발달 메커니즘을 발표하였다.
인간의 능동성이 강조되면서 철학, 심리학 등의 학문 영역에서는 인식(認識)이라는 용어보다 어떤 용어를 사용하였나?
인간의 인식을 수동적인 수용 과정으로 언급한 Kant 이전의 철학과는 달리 Kant 이후에는 인간을 인식의 주체로 삼고 인간의 능동적인 면을 강조하는 사상이 본류가 되었다(홍진곤 외, 1997). 인간의 능동성이 강조되면서 철학, 심리학 등의 학문 영역에서는 인식(認識)이라는 용어보다는 인지(認知)라는 용어를 사용하였고, 20세기 중반에 이르러서는 인간의 정신적 구조 자체를 연구의 대상으로 삼는 인지주의와 구성주의 심리학이 등장하게 되었다. 특히 Piaget는 인간이 지식을 구성함에 있어 특정한 단계를 거치면서 인지가 발달한다고 하는 인지 발달 단계 이론을 발표하였다.
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