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리만기하학에서 구면정리의 발전과 역사
History and Development of Sphere Theorems in Riemannian Geometry 원문보기

한국수학사학회지 = The Korean journal for history of mathematics, v.24 no.3, 2011년, pp.23 - 35  

조민식 (한국교원대학교 수학교육과)

초록
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본 논문에서는 어떤 기하학적 양이 핀치되어 있으면 위상적 또는 미분위상적인 구면이 된다는 구면정리의 발전과 역사를 다루었다. 단면곡률의 핀칭과 관련하여, 고전적 핀칭 구면 정리에서 최근에 증명된 기념비적인 미분 핀칭 구면정리로 발전하는 과정의 역사를 기술하였다. 또 직경, 반경, 부피 등과 관련하여 계량불변량 구면정리와 미분 계량불변량 구면정리의 발전의 과정을 소개하였고, 구면정리와 관련된 미해결문제에 대한 역사를 기술하였다.

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

The sphere theorem is one of the main streams in modern Riemannian geometry. In this article, we survey developments of pinching theorems from the classical one to the recent differentiable pinching theorem. Also we include sphere theorems of metric invariants such as diameter and radius with histor...

주제어

#구면정리   #핀칭정리   #계량불변량  

AI 본문요약
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문제 정의

  • Mn이 단순연결된 긴밀한 리만다양체라 하고, 단면 곡률이 다음 조건을 만족한다고 하자.
  • 구면정리는 현대 리만기하학의 중요한 연구분야 중의 하나이며 끊임없이 발전하는 활동적인 연구대상이다. 본 논문에서는 고전적인 핀칭 구면정리의 발전과정의 최근에 증명된 기념비적인 미분 핀칭 구면정리로의 귀결까지를 소개하고 직경, 반경 등에 관한 계량불변량 구면정리의 핵심적인 결과 및 발전과정과 아직까지 해결되지 않은 내용들의 역사를 소개하였다.
  • 이 절에서는 리만기하학에서 중요한 분야인 이른바 비교기하학의 기본적인 개념과 유용한 결과들을 간략하게 알아본다. 구면정리는 리만다양체의 곡률과 위상적 성질사이의 상관관계를 규명하는 문제의 특수한 경우에 해당한다.
  • 현재까지 다양한 형태의 구면정리들이 얻어졌는데 본고에서는 그 개략적인 흐름과 주요 결과들을 정리하고 향후의 흐름에 관하여 조명하고 고찰하려 한다. 이를 위해 2절에서는 기본 개념 및 기법들을 간단히 요약하고 3절에서는 핀칭 구면정리의 발전사와 최근까지의 연구 결과들을 소개한다.

가설 설정

  • 호프는 단순연결된 긴밀한 리만다양체 Mn 의 단면곡률이 1에 충분히 가까우면 구와 위상동형일 것이라고 추측했다.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
호프에 의하여 제기된 핀칭문제를 확립하여 발전시킨 인물들은 누구인가? 호프(H. Hopf)에 의하여 제기된 핀칭문제는 라우치(Rauch), 클링겐베르그(Klingenberg), 베르제(Berger) 등에 의하여 확립되고 발전되었으며 이후에도 그 내용이 일반화되고 개선되어 왔다. 최근에는 구와 위상동형이 되는 고전적 결과를 확장하여 동일한 조건하에서 구와 미분위상동형이 된다는 결론이 브렌들(Brendle)과 쉐엔(Schoen)에 의해 얻어졌다.
구의 기하학의 역사는? 고대 중국인들은 완벽한 미를 일컬어 천의무봉(天衣無縫)이라 칭했는데 구는 기하학에서의 유일무이한 천의무봉이라 할 수 있다. 구의 기하학의 역사는 매우 오래되어서 이미 기원전 2세기의 히파르쿠스(Hipparchus)까지 거슬러 올라가며 천문학의 발달과 더불어 구면삼각법이 발견되었고 항해, 지도제작 등에 활용되는 매우 실용적인 기하학이다.
긴밀한 곡면의 가우스 곡률이 양수이며 향을 줄 수 없는 경우는? 학부수준의 미분기하학에서 가장 핵심적인 가우스-보네 정리(Gauss-Bonnet theorem)를 이용하면 향을 줄 수 있는 긴밀한 곡면의 가우스 곡률이 양수이면 이 곡면은 구와 미분동형 임을 알 수 있다. 또, 양의 가우스 곡률을 가진 긴밀한 곡면이 향을 줄 수 없는 경우는 사영평면과 미분동형임이 잘 알려져 있다.
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참고문헌 (31)

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  30. F. Wilhelm, An exotic sphere with positive curvature almost everywhere, J. Geom. Anal. 11(2001), 519-560. 

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  31. B. Wilking, Nonnegatively and Positively Curved Manifolds, Surveys in differential geometry, Vol. XI: Metric and Comparison Geometry, ed. Grove K. and Cheeger, J. 7, Internat. Press(2007), 25-62. 

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