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연구 프로그램으로서의 힐버트 계획
Hilbert's Program as Research Program 원문보기

한국수학사학회지 = The Korean journal for history of mathematics, v.24 no.3, 2011년, pp.37 - 58  

정계섭 (덕성여자대학교)

초록
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수리 논리학의 발전은 상당 부분 힐버트 (D. Hilbert, 1862~1943)의 증명이론(Beweistheorie)에 뿌리를 두고 있다. 흔히 '힐버트 계획' (Hilbert's program)으로 불리는 이 계획의 목표는 형식적 공리론적 방법에 의해 수학의 모든 명제와 증명을 형식화하고 이 형식 체계의 완비성과 무모순성 증명을 통해 고전 수학을 '구원' 하고, 수학의 토대를 공고히 하자는 데에 있다. 1931년 괴델의 제 1정리에 의해 결정불가능 명제의 존재가 드러나면서 완전성이 위기를 맞고, 제 2정리에 의해 무모순성의 확립이 무산될 위기에 처한다. 그러나 '상대적' 내지 '부분적' 힐버트 계획은 효과적인 연구 프로그램으로서 살아 있다고 말하는 학자들이 적지 않다. 우리는 특히 힐버트 계획 이 오늘날 구성주의 수학의 발전에 동력을 제공하고 있다는 점을 커리-하워드 대응 (Curry-Howard Correspondence)을 통하여 부각시키고자 했다. 자연연역에서 증명 (proof) 이 바로 컴퓨터 프로그램 (computer program) 에 다름 아니라는 사실에 의해 수학의 형식화 (formalization)는 새로운 조명을 받게 된 것이다. 요컨대 힐버트 계획은 컴퓨터 과학에서 알고리듬 (algorithm) 이라는 핵심개념에 가장 잘 부합되는 것이다.

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

The development of recent Mathematical Logic is mostly originated in Hilbert's Proof Theory. The purpose of the plan so called Hilbert's Program lies in the formalization of mathematics by formal axiomatic method, rescuing classical mathematics by means of verifying completeness and consistency of t...

주제어

#증명   #형식적 공리론   #완전성   #무모순성   #커리-하워드 대응   #절단제거  

질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
내포공리란 무엇인가? 프레게(G. Frege, 1848∼1925)에 의하면 모든 개념 내지 속성은 하나의 집합을 형성하며, 이를 내포공리(Comprehension axiom)라고 한다.
형식화란 무엇인가? 형식화란, 비직관적인 기호들로 구성된 엄격한 문법규칙으로 모든 수학의 명제와 증명을 기술하는 것을 의미하는데, 이렇게되면 수학에서 통사론과 의미론의 분리가 이루어진다. 초보적인 문제에 관해서는 비형식적인 증명도 무방하다.
직관주의의 관점을 요약하면 어떻게 되는가? i. 무한집합에 대한 추론에서 배중율과 선택공리를 거부한다. ii. 비구성적인(nonconstructive) 존재증명을 거부한다.
질의응답 정보가 도움이 되었나요?

참고문헌 (25)

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