T. Linde가 제안한 HLLL 기법에서는 일반화된 엔트로피 함수의 도입으로 중앙파가 평가되므로 모든 파속이 초기 상태로부터 결정된다. HLLE 기법과 달리 Roe의 선형화 기법과 완전히 결별되고 HLLC 기법과 달리 정확해에 의존되지 않으므로 모태인 HLL 기법의 온전한 계승으로 볼 수 있다. 이 연구에서는 생성항이 없는 1차원 천수방정식에 농도와 관련된 보존변수를 추가한 지배방정식에 대해 총 에너지를 일반화된 엔트로피 함수로 두고 HLLL 기법을 적용하여 모형을 구성하였다. 정확해가 알려진 세 경우에 대해 모의한 결과, 1차 정확도 수치해의 한계에도 불구하고, 대체로 정확해와 잘 일치하였다. HLLL 기법은 그 외 HLL 형 기법에 비해 우수한 것으로 나타났다. 특히, 물이 빠져 바닥이 드러나는 경우에서 그 전선이 비교적 정확하게 포착되었다. 다만, 그 외 기법에 비해 계산 시간이 더 오래 걸리는 단점이 드러났다.
T. Linde가 제안한 HLLL 기법에서는 일반화된 엔트로피 함수의 도입으로 중앙파가 평가되므로 모든 파속이 초기 상태로부터 결정된다. HLLE 기법과 달리 Roe의 선형화 기법과 완전히 결별되고 HLLC 기법과 달리 정확해에 의존되지 않으므로 모태인 HLL 기법의 온전한 계승으로 볼 수 있다. 이 연구에서는 생성항이 없는 1차원 천수방정식에 농도와 관련된 보존변수를 추가한 지배방정식에 대해 총 에너지를 일반화된 엔트로피 함수로 두고 HLLL 기법을 적용하여 모형을 구성하였다. 정확해가 알려진 세 경우에 대해 모의한 결과, 1차 정확도 수치해의 한계에도 불구하고, 대체로 정확해와 잘 일치하였다. HLLL 기법은 그 외 HLL 형 기법에 비해 우수한 것으로 나타났다. 특히, 물이 빠져 바닥이 드러나는 경우에서 그 전선이 비교적 정확하게 포착되었다. 다만, 그 외 기법에 비해 계산 시간이 더 오래 걸리는 단점이 드러났다.
The HLLL scheme, proposed by T. Linde, determines all the wave speeds from the initial states because the middle wave is evaluated by the introduction of a generalized entropy function. The scheme is considered a genuine successor to the original HLL scheme because it is completely separated form th...
The HLLL scheme, proposed by T. Linde, determines all the wave speeds from the initial states because the middle wave is evaluated by the introduction of a generalized entropy function. The scheme is considered a genuine successor to the original HLL scheme because it is completely separated form the Roe's linearization scheme unlike the HLLE scheme and does not rely on the exact solution unlike the HLLC scheme. In this study, a numerical model was configured by the HLLL scheme with the total energy as a generalized entropy function to solve governing equations, which are the one-dimensional shallow water equations without source terms and with an additional conserved variable relating a concentration. Despite the limitations of the first order solutions, results to three cases with the exact solutions were generally accurate. The HLLL scheme appeared to be superior in comparison with the other HLL-type schemes. In particular, the scheme gave fairly accurate results in capturing the front of wetting and drying. However, it revealed shortcomings of more time-consuming calculations compared to the other schemes.
The HLLL scheme, proposed by T. Linde, determines all the wave speeds from the initial states because the middle wave is evaluated by the introduction of a generalized entropy function. The scheme is considered a genuine successor to the original HLL scheme because it is completely separated form the Roe's linearization scheme unlike the HLLE scheme and does not rely on the exact solution unlike the HLLC scheme. In this study, a numerical model was configured by the HLLL scheme with the total energy as a generalized entropy function to solve governing equations, which are the one-dimensional shallow water equations without source terms and with an additional conserved variable relating a concentration. Despite the limitations of the first order solutions, results to three cases with the exact solutions were generally accurate. The HLLL scheme appeared to be superior in comparison with the other HLL-type schemes. In particular, the scheme gave fairly accurate results in capturing the front of wetting and drying. However, it revealed shortcomings of more time-consuming calculations compared to the other schemes.
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문제 정의
이는 천수방정식의 (물리적인) 엔트로피 함수가 명확하지 않기 때문인 것으로 보인다. 이 연구에서는 천수방정식의 보존변수로부터 정의되는 총 에너지(total energy)를 일반화된 엔트로피 함수로 간주하여 천수방정식에 적용할 수 있는 HLLL 기법을 새롭게 제시하고, 정확해가 알려진 1차원 문제에 대해 HLL, HLLE, 그리고 HLLC 기법들에 의한 결과와 비교함으로써 그 적용성을 검토하고자 한다.
제안 방법
2는 후술할 3장의 Table 1에서 Test 3에 대한 식 (1)의 수치해 중 유속을 정확해와 비교한 것으로 행렬의 종류에 따른 차이는 크지 않다. 이 연구에서는 그 중에서 대각 행렬을 채택하였다.
대상 데이터
표에서는 불연속의 초기 위치이고, tout은 종료 시각이다. Test 1은 전형적인 댐 붕괴의 경우로서 불연속의 왼쪽에서 희유파(rarefaction wave), 오른쪽에서 충격파(shock wave)가 발생된다. Test 2의 경우, 양쪽에서 희유파가 발생되어 도중에 중앙에서 거의 바닥이 드러나게 된다.
데이터처리
Fig. 4~6에 모의 조건에 따른 HLL 형 근사 Riemann 해법에 의한 결과를 정확해와 비교하였다. 먼저, 수심에 대한 결과를 살펴보면, 기법들 사이에 큰 차이 없이 정확해에 어느 정도 부합되나(RMS 오차에 대해서는 Table 2 참조), 희유파가 강할 때 모든 기법에서 수치 소산(numerical dissipation)이 나타난다.
Table 2에 정확해에 대한 각 기법들의 제곱평균제곱근(Root Mean Square) 오차와 HLL 기법의 RMS 오차에 대한 그 외 기법들의 RMS 오차의 비율을 정리하였다. 표의 마지막 열은 해당 모의 조건에서 HLL 기법의 수행 시간에 대해 그 외 기법에서 각각 소요된 시간의 비율을 나타낸 것이다.
이론/모형
생성항이 없는 1차원 천수방정식에 농도와 관련된 보존변수를 추가한 지배방정식에 대해 총 에너지를 일반화된 엔트로피 함수로 두고 HLLL 기법을 적용하여 모형을 구성하였다. 정확해가 알려진 세 경우에 대해 모의한 결과, 1차 정확도 수치해의 한계에도 불구하고, 대체로 정확해와 잘 일치하였다.
제시된 각 시험 경우에 대해 HLL 형 기법들을 적용하여 수치 흐름률을 구하였으며, 식 (14)가 만족되는 수치해를 식 (13)으로부터 계산하였다. 이때, 계산 격자의 공간 간격은 0.
최대 및 최소 파속만 고려하는 것으로 알려진 HLL 기법은 Einfeldt(1988)의 제안에 의해 두 파속의 결정에서 Roe 기법에 따른 고유치(eigenvalue)와 비교하는 것으로 수정되었다(HLLE 기법). 또한, Toro 등(1994)은 접촉파(contact wave)를 고려하기 위해 선형화된 지배방정식의 정확해로부터 중앙 파속을 평가하는 기법을 제안하였고, 이를 HLLC 기법으로 불렀다.
성능/효과
HLLL 기법에서 모든 파속은 초기치로부터 결정되므로 HLLE 기법과 달리 Roe의 선형화 기법과 완전히 결별되고 HLLC 기법과 달리 정확해에 대한 의존 없이 중앙 파속이 평가되는 점에서 의의가 크다. 따라서 모태인 HLL 기법의 온전한 계승으로 볼 수 있다(van Leer, 2006).
먼저, 각 기법들에 의한 계산 시간을 살펴보면, 전반적으로 HLLE 기법의 수행 시간이 짧았으며, HLLL 기법의 경우, 모든 경우에서 가장 길었다. 계산기의 종류와 환경에 따라 다르겠지만, Test 1, 2, 그리고 3에서 HLL 기법에 비해 각각 약 1.3배, 약 1.2배, 그리고 약 1.2배 더 긴 것으로 드러났다. 또한, Test 3에서 HLLL 기법의 수행 시간은 HLLE 기법에 비해서는 약 1.
이는 HLLL 기법에서 계산된 중앙 파속이 그 외 기법에 비해 정확해와 더 부합됨을 의미한다. 다만, 일반화된 엔트로피 함수와 관련된 행렬의 계산으로 인해 그 외 기법에 비해 수행 시간이 비교적 오래 걸리는 단점이 드러났다.
정확해가 알려진 세 경우에 대해 모의한 결과, 1차 정확도 수치해의 한계에도 불구하고, 대체로 정확해와 잘 일치하였다. 또한, HLL, HLLE, 그리고 HLLC 기법들과 RMS 오차의 비교에서 거의 비슷하거나 더 우수한 것으로 나타났다. 특히, 초기에 물이 빠져 바닥이 드러난 경우에서 그 전선이 비교적 정확하게 포착되었다.
표의 마지막 열은 해당 모의 조건에서 HLL 기법의 수행 시간에 대해 그 외 기법에서 각각 소요된 시간의 비율을 나타낸 것이다. 먼저, 각 기법들에 의한 계산 시간을 살펴보면, 전반적으로 HLLE 기법의 수행 시간이 짧았으며, HLLL 기법의 경우, 모든 경우에서 가장 길었다. 계산기의 종류와 환경에 따라 다르겠지만, Test 1, 2, 그리고 3에서 HLL 기법에 비해 각각 약 1.
생성항이 없는 1차원 천수방정식에 농도와 관련된 보존변수를 추가한 지배방정식에 대해 총 에너지를 일반화된 엔트로피 함수로 두고 HLLL 기법을 적용하여 모형을 구성하였다. 정확해가 알려진 세 경우에 대해 모의한 결과, 1차 정확도 수치해의 한계에도 불구하고, 대체로 정확해와 잘 일치하였다. 또한, HLL, HLLE, 그리고 HLLC 기법들과 RMS 오차의 비교에서 거의 비슷하거나 더 우수한 것으로 나타났다.
후속연구
천수방정식에 대한 수치해법을 홍수터의 잠김과 드러남과 같은 현상이 포함된 실제 문제에 적용할 때 물이 차고 빠지는 전선의 정확한 예측은 매우 중요한 사항 중 하나이다. 이 연구를 통하여 천수방정식 체계에 대해 HLLL 기법의 적용이 가능해졌고 특별한 처리 없이 그 전선이 비교적 정확하게 예측되는 것이 확인됨에 따라 수공학 분야에서 실제 문제에 대한 수치해석에 다소나마 기여할 수 있을 것으로 기대된다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
HLLL 기법의 특징은 무엇인가?
Linde(2002)는 중앙 파속을 결정하기 위해 일반화된 엔트로피 함수(generalized entropy function)를 도입하였으며, 이후 HLLL 기법으로 불린다(van Leer, 2009). 이 기법에서는 접촉파에 대한 고려를 위해 보존변수에 대한 일반화된 엔트로피 함수의 2차 도함수로부터 중앙 파속이유도되며, 최대 및 최소 파속 또한 초기 상태의 특성 속도와 중앙 파속의 비교를 통해 결정된다.
Riemann 문제에 대해 자주 쓰이는 근사 기법에는 무엇이 있는가?
Godunov 방법과 같이 Riemann 해법이 정확해(exact solution)에 의하면 정확 Riemann 해법, 근사 기법에 의하면 근사 Riemann 해법으로 불린다. Riemann 문제에 대한 다양한 근사 기법이 제안되었으나, 지금까지 자주 쓰이는 기법으로는 Roe의 선형화 기법(Roe, 1981)과 HLL 기법(Harten 등, 1983)에 대한 수정 기법인 HLL 형(HLL-type) 기법들이다.
HLLL 기법이 수공학 분야의 천수방정식에 적용된 사례가 아직 없는 이유는 무엇인가?
HLLL 기법은 공기동역학뿐만 아니라 여러 분야에 적용된 바 있으나(Linde, 2002; Wackers와 Koren, 2004; Suzuki 등, 2009), 수공학 분야의 천수방정식에 적용된 사례는 아직까지 알려진 바 없다. 이는 천수방정식의 (물리적인) 엔트로피 함수가 명확하지 않기 때문인 것으로 보인다. 이 연구에서는 천수방정식의 보존변수로부터 정의되는 총 에너지(total energy)를 일반화된 엔트로피 함수로 간주하여 천수방정식에 적용할 수 있는 HLLL 기법을 새롭게 제시하고, 정확해가 알려진 1차원 문제에 대해 HLL, HLLE, 그리고 HLLC 기법들에 의한 결과와 비교함으로써 그 적용성을 검토하고자 한다.
참고문헌 (17)
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