[논문]불연속 지형을 지나는 천수 흐름의 해석을 위한 수심적분 모형에 대한 새로운 기법

황승용

doi:10.12652/ksce.2015.35.6.1237

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불연속 지형을 지나는 천수 흐름의 해석에서 흐름률을 정확하게 계산하기 위하여 계단에 의한 흐름 저항이 지배적인 계단 전면과 그 영향이 비교적 덜한 계단의 윗부분을 구분하여 접근하는 새로운 기법을 제안하였다. 새로운 기법에 의한 모의 결과는 정확해, 가상의 문제에 대한 3차원 모의 결과, 그리고 실험 결과와 대체로 잘 일치하였다. 이 연구에서 개발된 기법으로 불연속 하천구조물을 넘나드는 천수 흐름에 대한 직접 해석이 가능해졌다. 보나 옹벽(강변 도로)의 월류 양상 그리고 불연속 지형으로 이루어진 도심에서 범람에 따른 침수 구역의 정확한 산정에 개발된 기법의 적용이 기대된다.

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A novel technique was proposed to calculate fluxes accurately by separation of flow area into a part of step face which is dominated by flow resistance of it and an upper part which is relatively less affected by the step face in analyzing shallow-water flows over discontinuous topography. This tech...

A novel technique was proposed to calculate fluxes accurately by separation of flow area into a part of step face which is dominated by flow resistance of it and an upper part which is relatively less affected by the step face in analyzing shallow-water flows over discontinuous topography. This technique gives fairly good agreement with exact solutions, 3D simulations, and experimental results. It has been possible to directly analyze shallow-water flows over discontinuous topography by the technique developed in this study. It is expected to apply the developed technique to accurate evaluation of overflows over weirs or retaining walls (riverside roads) and areas flooded by the inundation in the city covered in discontinuous topography.

주제어

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문제 정의

이 연구에서는 계단과 같은 불연속 지형을 지나는 천수 흐름에 대해 계단 위의 흐름과 계단의 전면에 의한 흐름 저항이 지배적인 영역을 구분하여 고려함으로써 계단의 잠김 여부에 구애받지 않고 계단에서 흐름률을 정확하게 계산할 수 있는 새로운 기법을 제안한다. 먼저 그 기법의 이론에 대해 소개하고 Zhou et al.

가설 설정

1(a)에 대해 3차원 모형을 적용할 때, Fig. 1(b)와 같은 격자의 배치가 필요할 것이다. 동일한 대상에 대해 수심적분 모형으로 접근하는 경우, 직립인 계단을 직접 해석하기 어려우므로 경사로 완화하는 것이 불가피하며 그에 따른 격자의 세분이 요구된다(Fig.
폭 10 m 그리고 길이 200 m인, 가상의 수평 수로에서 상류 끝으로부터 60 m까지 수심 3 m로 채워진 물이 댐 붕괴에 의해 하류로 갑작스런 흐름이 발생되는 경우이다. 바닥의 마찰은 없다고 가정하였다. 댐으로부터 90 m 하류에 높이 1 m, 두께 2 m의 보가 수로의 단면 전체에 걸쳐 있으며, 댐 하류의 초기 수심은 1.

제안 방법

표에서 F_r는 Froude 수, t_o는 종료 시각, 그리고 그림 번호는 Alcrudo and Benkhaldoun (2001)에 따른 것이다. 1차원 모의를 위해 [-10 m, 10 m]의 계산 영역에 0.1 m 간격으로 200 개의 계산 격자를 배치하였다. Fig.
계단의 전면(forward-facing)과 후면(backward-facing)을 지나는 흐름에 대한 새로운 기법의 적용성을 살펴보기 위해 댐 붕괴 흐름이 하류의 보를 지나는 경우를 생각하였다. 폭 10 m 그리고 길이 200 m인, 가상의 수평 수로에서 상류 끝으로부터 60 m까지 수심 3 m로 채워진 물이 댐 붕괴에 의해 하류로 갑작스런 흐름이 발생되는 경우이다.
Hwang (2015)은 계단으로 물이 차거나 빠지는 경우에도 SGMS를 적용할 수 있도록 보완하였다. 계단이 완전히 잠기지 않는 상황을 계단 밑에만 물이 없는 경우, 계단 위에만 물이 없어 벽에 의해 반사되는 경우, 그리고 두 가지가 동시에 발생하는 경우 등 세 가지로 구분하여 각각에 대한 대책을 제시하였다(Hwang, 2015). 그보다 앞서 Prokof’ev (2005)도 계단의 전면에서 물이 차지 않은 구간을 제외함으로써 흐름의 불연속을 우회하고 계단에 의한 흐름 저항을, Zhou et al.
(2001)이 제안한 Z-특성(Z-property)에 대해 검토한다. 그리고 개발된 기법을 SGMS에 의한 결과와 함께 정확해, 가상의 문제, 그리고 실험 결과에 대해 검증한다.
이 연구에서는 계단과 같은 불연속 지형을 지나는 천수 흐름에 대해 계단 위의 흐름과 계단의 전면에 의한 흐름 저항이 지배적인 영역을 구분하여 고려함으로써 계단의 잠김 여부에 구애받지 않고 계단에서 흐름률을 정확하게 계산할 수 있는 새로운 기법을 제안한다. 먼저 그 기법의 이론에 대해 소개하고 Zhou et al. (2001)이 제안한 Z-특성(Z-property)에 대해 검토한다. 그리고 개발된 기법을 SGMS에 의한 결과와 함께 정확해, 가상의 문제, 그리고 실험 결과에 대해 검증한다.
불연속 지형을 지나는 천수 흐름의 해석에서 흐름률을 정확하게 계산하기 위하여 계단에 의한 흐름 저항이 지배적인 계단 전면과 그 영향이 비교적 덜한 계단의 윗부분을 구분하여 접근하는 새로운 기법을 제안하였다. 또한, 개발된 기법으로 Zhou et al.

대상 데이터

7과 같이 상류의 저수조로부터 연결된 수로를 통해 댐 붕괴 흐름이 발생하여 하류의 계단으로 진행되는 실험을 수행하였다. 댐의 위치는 높이가 55 mm인 계단으로부터 상류로 1.22 m이고 초기 수위는 0.205 m이다. 실험은 댐 하류의 수위가 0.
수심적분 2차원 모형의 적용을 위해 저수조와 수로 전체로 이루어진 계산 영역을 936개의 삼각형 격자로 분할하였다. 비구조 삼각형 격자에 대한 2차원 모형의 안정조건은 다음과 같다(Batten et al.

데이터처리

새로운 기법과 SGMS를 비교하기 위해 동일한 조건에 대해 미국 Flow Science Inc.의 상업용 모형인 FLOW-3D (10.0 판)에 의한 3차원 수치모의 결과와 비교하였다. FLOW-3D 모형의 이론에 대해서는 Hirt and Nichols (1981)의 연구를 참조할 수 있다.

이론/모형

0 판)에 의한 3차원 수치모의 결과와 비교하였다. FLOW-3D 모형의 이론에 대해서는 Hirt and Nichols (1981)의 연구를 참조할 수 있다. 3차원 모형에서 계산 격자는 수로의 길이 방향으로 0.
이 연구에 적용된 근사 Riemann 해법은 HLLL 기법으로서 그에 대한 자세한 설명을 Linde (2002) 또는 Hwang and Lee (2012)의 연구에서 참조할 수 있다.

성능/효과

새로운 기법에 의한 모의 결과는 SGMS에 의한 결과에 비해 정확해, 가상의 문제에 대한 3차원 모의 결과, 그리고 실험실 실험 결과와 대체로 잘 일치하였다. 계단의 후면으로 내려가는 흐름보다는, 계단에 의한 흐름 저항이 지배적인, 전면 계단으로 올라가는 흐름에 대해 더 좋은 결과를 보였다.
초기치는 수위에 대해 정확하게 일치되었으며, 유량에 대해서는 2배 정밀도(double precision)의 범위 내에서 유지되었다. 동일한 측면으로 이루어진 2차원 문제에 대해 삼각형 격자로 분할하여 시험하였을 때, 1,000 s 이후에도 모든 격자에서 초기치가 유지되어 중앙에서 수위와 유량의 분포가 Fig. 4와 육안으로 구분되지 않음을 확인하였다.
불연속 지형을 지나는 천수 흐름의 해석에서 흐름률을 정확하게 계산하기 위하여 계단에 의한 흐름 저항이 지배적인 계단 전면과 그 영향이 비교적 덜한 계단의 윗부분을 구분하여 접근하는 새로운 기법을 제안하였다. 또한, 개발된 기법으로 Zhou et al. (2001)이 제안한 Z-특성이 충족될 수 있음을 보였다. 새로운 기법에 의한 모의 결과는 SGMS에 의한 결과에 비해 정확해, 가상의 문제에 대한 3차원 모의 결과, 그리고 실험실 실험 결과와 대체로 잘 일치하였다.
먼저, 수면 곡선을 살펴보면, 보에 인접한 구간을 제외하면 세 모형의 결과는 비슷하다. 보 근처에서 3차원 모형과 새로운 기법에 의한 결과가 잘 부합되나, SGMS에 의한 결과는 보의 직상류에서 두 결과에 비해 수위가 과소평가됨을 알 수 있다. 보의 직하류에서는 새로운 기법과 3차원 모형에 의한 결과가 직상류에 비해 다소 차이가 있으나, 수위의 급격한 변화 경향은 유사하게 나타난다.
(2001)이 제안한 Z-특성이 충족될 수 있음을 보였다. 새로운 기법에 의한 모의 결과는 SGMS에 의한 결과에 비해 정확해, 가상의 문제에 대한 3차원 모의 결과, 그리고 실험실 실험 결과와 대체로 잘 일치하였다. 계단의 후면으로 내려가는 흐름보다는, 계단에 의한 흐름 저항이 지배적인, 전면 계단으로 올라가는 흐름에 대해 더 좋은 결과를 보였다.
실험 수로의 바닥 마찰에 대한 정보가 없어 조도계수, m = 0으로 두었다. 실험 규모에 비해 수심이 어느 정도 확보되고 모의 시간도 5 s 안팎으로 매우 짧아 마찰에 의한 영향이 크지 않을 것을 판단하였다.
이 연구에서 개발된 기법으로 불연속 하천구조물을 넘나드는 천수 흐름에 대한 직접 해석이 가능해졌다. 따라서 보나 옹벽(강변도로)의 월류 양상 그리고 불연속 지형으로 이루어진 도심에서 범람에 따른 침수 구역의 정확한 산정에 개발된 기법의 적용이 가능하다.

후속연구

계단을 지나는 흐름에 대해, Fig. 2와 같이, 계단에 의한 저항이 지배적인 계단의 전면부와 그 위를 지나가는 흐름 영역으로 구분하여 해석한다면, 계단에 의한 흐름 저항을 보다 정확하게 반영할 수 있을 것으로 기대할 수 있다.
전면 계단에 의한 흐름 저항에 대해서는 어느 정도 평가가 가능하나, 후면 계단으로 내려가는 흐름에 대해서는 아직까지 미흡한 측면이 없지 않다. 그에 대한 보완이 기대된다. 또한, 압력에 대해 정수압으로 가정하지 않는 모형에 대한 모색도 필요할 것으로 보인다.
그에 대한 보완이 기대된다. 또한, 압력에 대해 정수압으로 가정하지 않는 모형에 대한 모색도 필요할 것으로 보인다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	기존의 수심적분 모형에서 계단에 대해 경사로 완화하는 것이 불가피한 이유는?	기존의 수심적분 모형에서 계단에 대해 경사로 완화하는 것이 불가피한 이유는 바닥이 불연속인 점에서 미분이 불가능하여 천수 방정식의 생성항(source term) 중에서 미분 형태의 바닥 경사항이 정의되지 않기 때문이다. 이러한 문제를 극복하기 위해 Alcrudo and Benkhaldoun (2001)은 에너지 방정식을 이용하여 단일 계단 위를 지나는 천수 흐름으로 이루어진 Riemann 문제에 대한 정확해를 제시하였다.
	단일 계단 위를 지나는 천수 흐름으로 이루어진 Riemann문제의 정확해는 어떻게 구해지는가?	기존의 수심적분 모형에서 계단에 대해 경사로 완화하는 것이 불가피한 이유는 바닥이 불연속인 점에서 미분이 불가능하여 천수 방정식의 생성항(source term) 중에서 미분 형태의 바닥 경사항이 정의되지 않기 때문이다. 이러한 문제를 극복하기 위해 Alcrudo and Benkhaldoun (2001)은 에너지 방정식을 이용하여 단일 계단 위를 지나는 천수 흐름으로 이루어진 Riemann 문제에 대한 정확해를 제시하였다. Hwang (2013b)은 Alcrudo and Benkhaldoun(2001)의 정확해에 대해 초기 흐름 양상(Froude 수)에 따른 알고리듬(algorithm)을 제시하였으며, Hwang (2013c)은 이를 계단을 지나 마른 바닥으로 진행되는 천수 흐름에 대해 보완하였다.
	불연속 지형을 직접 해석하기 위한 Zhou et al.의 연구는 무엇인가?	(2002)의 연구를 들 수 있다. Zhou et al. (2002)은 Zhou et al. (2001)의 SGM (Surface Gradient Method)을 계단에 적용하기 위해 SGMS (SGM for a Step)를 제안하였다. 그들은 지형의 불연속을 우회하기 위해 계단에서 표고의 차이를 무시하고 구한 수심으로 흐름률(flux)을 계산하고, 흐름 단면의 급축(abrupt contraction)에 의한 수두 손실을 생성항에 추가하였다. Zhou et al. (2002)은 몇몇 정확해와 실험 결과와 비교를 통해 단순하고 효율적이며 강력한(robust) 기법으로 소개하였으나, SGMS는 계단이 완전히 잠긴 경우에만 적용이 가능하여 계단으로 물이 차거나 빠지는 현상을 재현할 수 없었다. Hwang (2015)은 계단으로 물이 차거나 빠지는 경우에도 SGMS를 적용할 수 있도록 보완하였다.

참고문헌 (18)

Alcrudo, F. and Benkhaldoun, F. (2001). "Exact solutions to the Riemann problem of the shallow water equations with a bottom step." Comput. & Fluids, Vol. 30, pp. 643-671.

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Batten, P., Lambert, C. and Causon, D. M. (1996). "Positively conservative high-resolution convection schemes for unstructured elements." Int. J. Numer. Meth. Eng., Vol. 39, pp. 1821-1838.
Bermudez, A. and Vazquez, M. E. (1994). "Upwind methods for hyperbolic conservation laws with source terms." Comput. & Fluids, Vol. 23, pp. 1049-1071.

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Chow, V.T. (1959). Open-channel hydraulics, McGraw Hill Co., Inc.
Gusev, A. V., Ostapenko, V. V., Malysheva, A. A. and Malysheva, I. A. (2008). "Open-channel waves generated by propagation of a discontinuous wave over a bottom step." J. Appl. Mech. Tech. Phys., Vol. 49, pp. 23-33.

상세보기
Hirt, C. W. and Nichols, B. D. (1981). "Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries." J. Comput. Phys., Vol. 39, pp. 201-225.

상세보기
Hwang, S. Y. (2013a). "Finite-volume model for shallow-water flow over uneven bottom." J. KWRA, Vol. 46, pp. 139-153 (in Korean).
Hwang, S. Y. (2013b). "Exact and approximate Riemann solvers for the shallow-water flows over a step." Proc. KWRA Conf., KWRA, p. 575 (in Korean).
Hwang, S. Y. (2013c). "Exact solutions of the Riemann problem for the shallow-water flow over a step to the dry-bed." Proc. 39th KSCE Conf., KSCE, pp. 1515-1518 (in Korean).
Hwang, S. Y. (2014). "A study on imposing exact solutions as internal boundary conditions in simulating the shallow-water flows over a step." J. KSCE, Vol. 34, pp. 479-492 (in Korean).

원문보기 상세보기
Hwang, S. Y. (2015). "2D numerical simulations for shallow-water flows over discontinuous topography." Proc. 41th KSCE Conf., KSCE (in Korean; publishing).
Hwang, S. Y. and Lee, S. H. (2012). "An application of the HLLL approximate Riemann solver to the shallow water equations." J. KSCE, Vol. 32, pp. 21-27 (in Korean).
LeVeque, R. J. (2002). Finite volume method for hyperbolic problems, Cambridge Univ. Press.
Linde, T. (2002). "A practical, general-purpose, two-state HLL Riemann solver for hyperbolic conservation laws." Int. J. Numer. Meth. Fluids, Vol. 40, pp. 391-402.

상세보기
Prokof'ev, V. A. (2005). "Two-dimensional horizontal numerical model of open flow over a bed with obstacles." Water Resources, Vol. 32, No. 3, pp. 252-264.

상세보기
Weiyan, T. (1992). Shallow water hydrodynamics, Elsevier Science Publishers.
Zhou, J. G., Causon, D. M., Ingram, D. M. and Mingham, C. G. (2002). "Numerical solutions of the shallow water equations with discontinuous bed topography." Int. J. Numer. Meth. Fluids, Vol. 38, pp. 769-788.

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Zhou, J. G., Causon, D. M., Mingham, C. G. and Ingram, D. M. (2001). "The surface gradient method for the treatment of source terms in the shallow-water equations." J. Comput. Phys., Vol. 168, pp. 1-25.

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