[논문]이산 푸리에변환을 이용한 모델링과 제어기 설계 방법

심관식; 안현진; 남해곤; 임영철; 김의선

doi:10.5207/jieie.2012.26.2.034

이산 푸리에변환을 이용한 모델링과 제어기 설계 방법
A System Modeling and Controller Design Method Using Discrete Fourier Transform 원문보기

照明·電氣設備學會論文誌 = Journal of the Korean Institute of Illuminating and Electrical Installation Engineers, v.26 no.2, 2012년, pp.34 - 43

심관식 (전남대학교 공업기술연구소) , 안현진 (전남대학교 대학원 전기공학과) , 남해곤 (전남대 전기공학과) , 임영철 (전남대학교 전기공학과) , 김의선 (신경대학교 인터넷정보통신학과)

Abstract ▼ AI-Helper

This paper describes system modeling and controller design method in the measured signal by discrete Fourier transform. Transfer function of the second order system is estimated by the dominant parameter which is computed in the magnitude and the phase of Fourier spectrum of the measured signal. In addition, the controller was designed by the estimated transfer function, and the results were compared. The proposed estimation method of transfer function contains only a very simple mathematical process. Therefore, it is effective to design the controller in the measured signal when the output of the system contains the characteristics of complex exponential functions case. The proposed method was applied on Op-Amp system to verify the efficiency and the reliability. The results show that the proposed algorithms are highly applicable to the system modeling and controller design in the measured data.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

이와 같은 이산푸리에변환에서 직접 파라미터를 추정하는 방법은 고속푸리에변환(FFT, fast Fourier transform) 알고리즘을 이용할 수 있어 매우 빠르게 파라미터를 추정할 수 있는 장점이 있다. 본 논문에서는 문헌 [7-8]에서 제안한 알고리즘을 개선하여 보다 정확하게 파라미터를 추정하는 방법을 제안하였다. 중요한 파라미터 중에서 제동계수는 DFT에서 계산한 스펙트럼 값만으로 추정할 수 있는 방법을 개발하였으며, 지수함수의 푸리에변환 특성을 이용하여 모드 크기를 추정하는 방법을 개발하였다.
본 논문은 SI와 같이 신호에서 전달함수를 추정하는 것으로 과도응답과 같이 시스템의 응답이 급격히 변화할 때에 계측한 신호에서 파라미터와 전달함수를 추정하는 방법을 기술하고 있다.
본 논문은 시스템에서 계측한 복소지수함수 신호에 이산푸리에변환을 적용하여 2차 시스템으로 모델링하는 모델링 방법과 제어기 설계에 대해서 기술하고 있다. 파라미터를 추정하기 위해서 측정한 신호를 정규화하고, 이 신호에 이산푸리에 변환을 적용하여 푸리에스펙트럼 크기와 위상을 계산하였다.
본 논문은 출력신호에 포함된 시스템의 특성을 이용해서 전달함수를 추정하는 방법을 기술하고 있다. 전술한 이산푸리에변환을 이용한 파라미터 추정방법을 적용하여 전달함수를 추정하는데, 일반적인 SI 알고리즘들과 달리 입력 신호를 배제하고 출력신호만 가지고 전달함수를 추정하는 방법을 개발하였다.
연속함수 문헌 [7-8]에서 푸리에변환에서 직접 복소지수함수의 파라미터를 추정하는 방법에 대해서 기술하고 있다. 이 논문에서는 제동계수를 보다 정확하게 추정할 수 있는 방법에 대해서 기술한다.
2차 시스템은 그 구조가 단순하므로 이에 대한 제어기 설계는 많은 문헌에서 기술하고 있다[11-12]. 이 논문에서는 추정한 전달함수에 PD제어기를 투입하여 제동특성 향상에 설계 초점을 두고 기술한다. 그림 1에 나타난 블록선도에서 제어기 전달함수는 다음과 같다.
이 논문은 복소지수함수 파라미터를 추정하여 단순한 2차시스템의 전달함수를 추정하는 것이다. 2차 시스템은 그 구조가 단순하므로 이에 대한 제어기 설계는 많은 문헌에서 기술하고 있다[11-12].
이 논문은 이산신호에 포함된 중요 파라미터를 추정하여 이를 단순한 2차 시스템 모델 추정에 적용한 것이다. 실제 시스템이 매우 복잡한 모델로 표현될지라도 그 응답특성이 복소지수함수 형태를 가지고 있으면, 중요 모드만으로 단순한 2차 시스템으로 모의 할 수 있다.

가설 설정

(1) 시스템의 출력신호가 복소지수함수 형태로 출력되어야 한다. 즉 시스템을 지배하는 독립적인 모드가 존재해서 출력에 시스템의 고유한 특성이 포함되어야 한다.

제안 방법

정상상태에서 작은 외란으로 인한 잡음과 유사한 특성을 가진 ambient 신호에서는 본 논문에서 제안한 알고리즘을 적용할 수 없다. 그러므로 제안한 방법은 시스템의 동적특성이 포함된 출력 신호에 대해서 적용할 수 있다.
파라미터를 추정하기 위해서 측정한 신호를 정규화하고, 이 신호에 이산푸리에 변환을 적용하여 푸리에스펙트럼 크기와 위상을 계산하였다. 그리고 스펙트럼 크기와 위상으로부터 계측신호에 포함된 중요 파라미터를 추정하여 2차 시스템의 전달함수를 추정하였다. 또한 추정한 전달함수를 이용하여 제어기를 설계하여 그 결과를 비교하였다.
본 논문에서는 정상 상태에 대응하는 실측한 출력의 평균값을 계산하고 이를 이용해서 신호를 정규화 하였다. 그리고 정규화한 신호에 대해서 파라미터를 추정하여 전달함수를 계산하였는데, 전달함수 포함된 제동비와 고유진동주파수는 추정한 복소모드로부터 계산하였다.
본 논문에서는 문헌[7-8]에서 제안한 파라미터 추정방법을 적용하여 파라미터를 추정하였다. 그리고 주어진 푸리에스펙트럼만을 이용해서 제동계수를 추정하는 방법을 개선하였는데, 본 장에서는 파라미터 추정 방법과 개선에 대해서 간략하게 기술한다.
그림 6에 나타난 푸리에스펙트럼 크기와 위상으로 부터 제 2장에서 기술한 파라미터 추정방법을 적용하여 중요 파라미터를 추정하였다. 제동계수와 주파수는 각각 0.
이 논문에서 적용한 시스템의 응답특성은 제동특성이 매우 나쁜 응답특성을 가지고 있다. 따라서 이 논문에서는 PD 제어기를 적용하여 제동특성을 향상시키는데 초점을 두고 제어기를 설계한다. 시간응답에서 오버슈트와 상승시간은 제동특성에 비해서 큰 제약사항이 아니므로 비례이득 K_P를 1로 고정할 수 있다.
그리고 스펙트럼 크기와 위상으로부터 계측신호에 포함된 중요 파라미터를 추정하여 2차 시스템의 전달함수를 추정하였다. 또한 추정한 전달함수를 이용하여 제어기를 설계하여 그 결과를 비교하였다.
본 논문에서 제안한 모델링과 제어기 설계방법은 출력에 중요모드가 포함되어 있는 복소지수함수 신호에 대해서만 적용가능하다. 시스템의 계단응답이 1차 지수함수와 같이 출력되면, 제안한 알고리즘을 적용하기 어렵다.
본 논문에서는 DFT를 이용해서 추정한 복소지수함수의 파라미터를 이용하여 단순한 2차 시스템의 전달 함수를 추정하였다. 만일 입력이나 외란에 의해서 동적시스템이 충분히 여기되었다면 이때 출력은 시스템의 동적특성을 포함하고 있다.
즉 선형모델에서 전달함수는 임펄스응답이므로 측정한 출력신호를 정규화해야 한다. 본 논문에서는 정상 상태에 대응하는 실측한 출력의 평균값을 계산하고 이를 이용해서 신호를 정규화 하였다. 그리고 정규화한 신호에 대해서 파라미터를 추정하여 전달함수를 계산하였는데, 전달함수 포함된 제동비와 고유진동주파수는 추정한 복소모드로부터 계산하였다.
설계한 제어기(K_p = 1.0, K_D= 0.3)를 Op-Amp로 구현한 시스템에 투입하여 제어기 성능을 시험하였다. 그림 9에는 제어기를 투입하기 전과 투입한 후 시간응답을 나타내고 있다.
본 논문은 출력신호에 포함된 시스템의 특성을 이용해서 전달함수를 추정하는 방법을 기술하고 있다. 전술한 이산푸리에변환을 이용한 파라미터 추정방법을 적용하여 전달함수를 추정하는데, 일반적인 SI 알고리즘들과 달리 입력 신호를 배제하고 출력신호만 가지고 전달함수를 추정하는 방법을 개발하였다. 제어시스템 측면에서 입력이나 외란을 무시하는 것은 매우 큰 제약사항이다.
제동계수와 주파수는 각각 0.2153과 6.0675[rad/sec]를 추정하였고, 모드 크기와 위상은 각각 0.9783와 -87.023[°]를 추정하였다.
본 논문에서는 문헌 [7-8]에서 제안한 알고리즘을 개선하여 보다 정확하게 파라미터를 추정하는 방법을 제안하였다. 중요한 파라미터 중에서 제동계수는 DFT에서 계산한 스펙트럼 값만으로 추정할 수 있는 방법을 개발하였으며, 지수함수의 푸리에변환 특성을 이용하여 모드 크기를 추정하는 방법을 개발하였다.
지금까지 푸리에변환 결과에서 얻어지는 푸리에스펙트럼과 스펙트럼 위상으로부터 중요 저주파수 파라미터를 추정하는 방법을 기술하였다. 그림 1은 지금까지 기술한 파라미터와 푸리에스펙트럼의 관계를 나타낸 것이다.
본 논문은 시스템에서 계측한 복소지수함수 신호에 이산푸리에변환을 적용하여 2차 시스템으로 모델링하는 모델링 방법과 제어기 설계에 대해서 기술하고 있다. 파라미터를 추정하기 위해서 측정한 신호를 정규화하고, 이 신호에 이산푸리에 변환을 적용하여 푸리에스펙트럼 크기와 위상을 계산하였다. 그리고 스펙트럼 크기와 위상으로부터 계측신호에 포함된 중요 파라미터를 추정하여 2차 시스템의 전달함수를 추정하였다.

데이터처리

본 논문에서 제안한 이산푸리에변환을 이용한 단순 전달함수 추정 방법을 Op-Amp를 이용해서 구현한 시스템에 적용하여 제안한 방법의 효율성과 신뢰성을 검증하였다.
만일 시스템의 출력이 복소지수함수 특성을 포함하고 있으면 정확하게 시스템의 특성을 반영한 단순한 형태의 전달 함수를 추정할 수 있고, 쉽게 제어기를 설계할 수 있는 장점이 있다. 본 논문에서 제안한 이산푸리에변환을 이용한 전달함수 추정 방법을 Op-Amp를 이용해서 구현한 시스템에 적용하여 제안한 방법의 효율성과 신뢰성을 검증하였다.

이론/모형

본 논문에서 제안한 이산푸리에변환을 이용한 모델 추정과 제어기 설계를 시험하기 위하여 그림 2에 나타난 2차 시스템을 Op-Amp를 이용하여 구성하였다. Op-Amp로 구성한 시스템에 계단응답을 입력하였을 때, 실측한 시스템 응답은 그림 4와 같다.
푸리에변환에서 시스템의 전달함수를 추정하기 위해서는 먼저 시스템의 응답특성을 포함하고 있는 중요 파라미터를 추정해야한다. 본 논문에서는 문헌[7-8]에서 제안한 파라미터 추정방법을 적용하여 파라미터를 추정하였다. 그리고 주어진 푸리에스펙트럼만을 이용해서 제동계수를 추정하는 방법을 개선하였는데, 본 장에서는 파라미터 추정 방법과 개선에 대해서 간략하게 기술한다.

성능/효과

제어기를 설계하기 위해서는 시스템에 맞는 제어기 설계사양이 필요하다. 이 논문에서 적용한 시스템의 응답특성은 제동특성이 매우 나쁜 응답특성을 가지고 있다. 따라서 이 논문에서는 PD 제어기를 적용하여 제동특성을 향상시키는데 초점을 두고 제어기를 설계한다.
실측 신호와 추정 모델에 의한 응답이 유사함을 알 수 있다. 이로부터 이산푸리에변환을 이용한 복소함수 파라미터 추정과 2차 시스템 전달함수 추정이 정확함을 알 수 있다.
추정한 파라미터로부터 전달함수 추정에 필요한 제동비와 고유진동주파수를 계산한 결과, 각각 0.0355와 6.0713(rad/sec)을 계산하였다. 추정한 제동비와 고유 진동주파수로부터 다음과 같은 2차 시스템의 전달함수를 추정하였다.

후속연구

시스템의 계단응답이 1차 지수함수와 같이 출력되면, 제안한 알고리즘을 적용하기 어렵다. 그리고 출력신호에 몇 개의 중요 모드가 포함되어 있거나 제동계수를 무시할 수 있는 고주파수 모드가 포함된 경우에 모델링하는 방법에 대한 추가적인 연구가 필요하다. 또한 본 연구를 확장하여 제어기가 투입된 상태에서 계측한 응답에 대한 모델링 방법과 푸리에스펙트럼에서 직접 제어기를 설계할 수 있는 방법에 대한 연구가 필요하다.
그리고 출력신호에 몇 개의 중요 모드가 포함되어 있거나 제동계수를 무시할 수 있는 고주파수 모드가 포함된 경우에 모델링하는 방법에 대한 추가적인 연구가 필요하다. 또한 본 연구를 확장하여 제어기가 투입된 상태에서 계측한 응답에 대한 모델링 방법과 푸리에스펙트럼에서 직접 제어기를 설계할 수 있는 방법에 대한 연구가 필요하다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	궁극적으로 제어기 성능을 최적화하기 위해 만족해야 하는 조건은 무엇인가?	선형모델을 이용해서 제어기를 설계하기 위해서는 시스템의 정확한 수학적 모델링을 필요로 하는데, 동적시스템을 정확하게 모의하는 것은 매우 어렵다. 궁극적으로 제어기 성능을 최적화하기 위해서는 모델의 비선형성, 시간지연 및 시간변화 등과 같은 모델의 불확실성을 최소화하는 것이 필요하다.
	선형모델을 이용해서 제어기를 설계하기 위해서는 무엇이 필요한가?	오늘날 급속한 기술 발전으로 다양한 시스템에서 요구하는 제어 기술은 갈수록 고도화되고, 복잡해지고 있다. 선형모델을 이용해서 제어기를 설계하기 위해서는 시스템의 정확한 수학적 모델링을 필요로 하는데, 동적시스템을 정확하게 모의하는 것은 매우 어렵다. 궁극적으로 제어기 성능을 최적화하기 위해서는 모델의 비선형성, 시간지연 및 시간변화 등과 같은 모델의 불확실성을 최소화하는 것이 필요하다.
	시스템식별 방법 중 파라메트릭 방법과 비파라메트릭 방법에 대하여 설명하시오.	SI는 크게 파라메트릭(parametric)법과 비파라메트릭(nonparametric)법으로 분류할 수 있다. 파라메트릭법[1-3]은 주어진 모델 구조에 맞게 파라미터를 추정하는 방법으로 대표적인 알고리즘으로 부분공간을 이용한 N4SID(subspace state space system identification)가 있다. 비파라메트릭법[3-5]은 입력과 출력의 푸리에변환에서 전달함수를 추정하는 방법으로 모델 구조가 고정되어 있는 않다. 대표적인 알고리즘으로 ETFE(empirical transfer function estimate)가 있으며 여기에 스펙트럴 해석(spectral analysis)도 포함된다.

참고문헌 (12)

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상세보기
P. Van Overschee, B. De Moor, "Subspace Algorithm for the Stochastic Identification Problem," Automatica, Vol. 29, No. 3, pp 649-660, 1993.

상세보기
L. Ljung, System Identification:Theory for the User, Prentice-Hall PTR, New Jersey, 1999.
T. Soderstrom, P. Stoica, System Identification, Prentice-Hall, 1989.
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상세보기
L. L. Scharf, Statistical Signal Processing:Detection, Estimation, and Time Series Analysis, Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1991.
심관식, 남해곤, "이산푸리에변환과 시계열데이터의 고속 파라미터 추정", 대한전기학회논문지, Vol.55A, No.7, pp. 265-272, 2006.

원문보기 상세보기
김은주, 심관식, 김용구, 김의선, 남해곤, 임영철, "광역계통의 실시간 해석을 위한 고속 저주파수 파라미터 추정", 대한전기학회논문지, Vol.58, No.6, pp.1078-1086, 2009.
J. F. Hauer, C. J. Demeure, L. L. Scharf, "Initial Results in Prony Analysis of Power System Response Signals," IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 5, pp.80-89, Aug. 1990.

상세보기
P. A. Lynn, W. Fuerst, Introductory Digital Signal Processing, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998.
신윤기, 자동제어 2판, 인터비젼, 2009.
B. C. Kuo, F. Golnaraghi, Automatic Control Systems 9/E, John Wiley & Sons, Inc., 2010.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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