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문제 정의
- 본 논문에서는 여러 가지 충격하에서 압저항 고충격 미소가속도계의 과도 출력전압의 계산시 발생하는 방대한 계산 시간 문제를 모드중첩법 및 최소자승법을 이용하여 압저항 미소가속도계의 실시간 출력전압 계산이 가능하도록 효율적인 출력전압 과도해석 방법을 제안한다. 우선 정적 압저항-구조 해석을 통하여 미소가속도계의 변위와 출력전압을 계산하고 출력전압을 특정 위치의 변위에 관한 2차 다항식으로 근사화하여 그 회귀계수를 최소자승법을 통하여 결정한다.
가설 설정
- 본 논문에서는 식 (3)의 운동방정식과 초기조건(initial condition)으로 구성되는 초기치 문제(initial value problem)을 풀기 위하여 아래와 같은 뉴마크 기법(Newmark method)를 사용하였다.(17) 뉴마크 기법은 시간 t와 t + ∆t사이에서 속도와 변위의 관계를 아래와 같이 가정한다.
- 4는 ANSYS(16)를 이용하여 압저항-구조 연성 해석을 위한 유한요소모델을 나타낸다. 모델링된 미소가속도계는 XY 평면에 정면이 위치하고 있으며 Y 축 방향으로 가속도가 입력된다고 가정한다. 구체적인 사양은 Table 1에 표시하였다.
제안 방법
- 이후에 모드중첩법을 통하여 여러 방향의 고충격하에서 미소가속도계의 과도 변위응답을 계산하고, 이 변위응답을 변위로 표현되는 출력전압 근사식에 대입하여 과도 출력전압을 구한다. 100,000 G급 고충격파, 사인파, 계단파 그리고 사각파와 같은 여러 가지 입력충격 하에서 고충격 미소가속도계 수치예제를 통하여 제안한 방법의 정확성 및 효율성을 검증한 결과 다음과 같은 결론을 도출하였다.
- 이 고유진동수해석 결과를 바탕으로 모드중첩법에 사용할 고유진동모드의 개수를 결정하였다. Fig. 6에는 100,000 G 고충격시험에서 얻어진 고충격 가속도가 X, Y 및 Z의 각 방향으로 입력될 때, 완전적분법(direct integration method) 및 모드중첩법으로 계산한 각 방향 변위 과도응답을 비교하였다. 이때, 식 (4)의 시간 간격(time step)은 0.
- 고충격 압저항형 미소가속도계에서 입력 가속도에 대한 과도 출력전압을 계산하는데 일반적으로 사용되는 완전적분법의 방대한 수치 계산의 문제를 해결하기 위하여 모드중첩법 및 최소자승법을 이용하여 압저항 미소가속도계의 실시간 출력전압 계산이 가능하도록 효율적인 출력전압 과도해석 방법을 제안하였다. 먼저 정적 압저항-구조 연성 해석을 통하여 X, Y, Z의 각 방향에 대한 몇 가지 다른 크기의 가속도 입력 하에서 압저항 미소가속도계의 변위와 출력전압을 계산하고, 최소자승법으로 출력전압을 출력점 변위에 관한 2차 다항식으로 근사화한다.
- 4와 같이 압저항체는 n-type 압저항체가 사용되었으며 사용된 압저항계수(piezoresistive coefficients)는 Table 2와 같다. 또한 각 압저항체가 전체적으로 휘스톤 브릿지를 구성할 수 있도록 ANSYS의 CP 명령어를 사용하여 회로를 구성하였다.
- 고충격 압저항형 미소가속도계에서 입력 가속도에 대한 과도 출력전압을 계산하는데 일반적으로 사용되는 완전적분법의 방대한 수치 계산의 문제를 해결하기 위하여 모드중첩법 및 최소자승법을 이용하여 압저항 미소가속도계의 실시간 출력전압 계산이 가능하도록 효율적인 출력전압 과도해석 방법을 제안하였다. 먼저 정적 압저항-구조 연성 해석을 통하여 X, Y, Z의 각 방향에 대한 몇 가지 다른 크기의 가속도 입력 하에서 압저항 미소가속도계의 변위와 출력전압을 계산하고, 최소자승법으로 출력전압을 출력점 변위에 관한 2차 다항식으로 근사화한다. 이후에 모드중첩법을 통하여 여러 방향의 고충격하에서 미소가속도계의 과도 변위응답을 계산하고, 이 변위응답을 변위로 표현되는 출력전압 근사식에 대입하여 과도 출력전압을 구한다.
- 본 절에서는 앞에서 제안한 효율적인 출력전압과도해석 방법을 이용하여 여러 가지 고충격하에 대한 출력전압 과도해석을 수행하였다. 먼저 정적압저항-구조 연성해석을 통하여 X, Y, Z의 각 방향에 대한 몇 가지 가속도 입력 하에서 압저항 미소가속도계의 출력점(Fig. 1의 output)의 변위에 대한 출력전압(V1 및 V2)을 계산하여 아래와 같이 출력전압을 출력점 변위에 관한 2차 다항식으로 근사화한다.
- (10) 고충격 입력에 대한 과도 출력전압해석은 식 (2)를 시간적분하여 구해지기 때문에 순차적 연성해석법 특성상 방대한 계산시간이 요구된다. 본 논문에서는 아래 절에서 설명하는 것처럼 모드중첩법을 이용한 변위의 과도해석을 수행하고 그 변위 결과를 변위로 표현되는 출력전압 근사식에 대입하여 과도 출력전압을 근사적으로 계산하였다.
- 따라서, 한 개의 설계변수에 대한 2차 회귀모델인 경우에 최소 3번의 실험이 요구된다. 본 논문에서는 정적 압저항-구조 해석을 통하여 미소가속도계의 변위와 출력전압을 계산한 후에 출력전압(Vapp)을 특정 위치의 변위(U)에 관한 2차 다항식으로 근사화하고 그 회귀계수를 최소자승법을 통하여 결정한다.
- 본 절에서는 앞에서 제안한 효율적인 출력전압과도해석 방법을 이용하여 여러 가지 고충격하에 대한 출력전압 과도해석을 수행하였다. 먼저 정적압저항-구조 연성해석을 통하여 X, Y, Z의 각 방향에 대한 몇 가지 가속도 입력 하에서 압저항 미소가속도계의 출력점(Fig.
- 사인파 형태의 고충격 가속도가 X, Y 및 Z의 각 방향으로 입력될 때, 각 방향의 과도 변위 및 출력전압을 고려하였다. 제안한 방법과 완전적분법의 결과와 함께 도시하면 변위의 경우에는 그래프 상에서 거의 일치하는 결과를 보이며, 출력전압의 경우에도 전반적으로 잘 일치하는 결과를 보였다.
- 본 논문에서는 여러 가지 충격하에서 압저항 고충격 미소가속도계의 과도 출력전압의 계산시 발생하는 방대한 계산 시간 문제를 모드중첩법 및 최소자승법을 이용하여 압저항 미소가속도계의 실시간 출력전압 계산이 가능하도록 효율적인 출력전압 과도해석 방법을 제안한다. 우선 정적 압저항-구조 해석을 통하여 미소가속도계의 변위와 출력전압을 계산하고 출력전압을 특정 위치의 변위에 관한 2차 다항식으로 근사화하여 그 회귀계수를 최소자승법을 통하여 결정한다. 이후에 모드중첩법을 통하여 여러 방향의 고충격하에서 미소가속도계의 과도 변위응답을 계산하고, 이 변위응답을 변위로 표현되는 출력전압 근사식에 대입하여 과도 출력전압을 구한다.
- 두번째 고유 진동모드는 미소가속도계의 질량체가 위아래(Y 방향)로 진동하는 굽힘모드 형상이며 그 고유진동수는 480 kHz이다. 이 고유진동수해석 결과를 바탕으로 모드중첩법에 사용할 고유진동모드의 개수를 결정하였다. Fig.
- Y 축 방향으로 입력되는 가속도 하에서 R1과 R4는 인장(tension)을 받게 되며, R2와 R3은 압축(compression)을 받게 된다. 이 방법은 휘스톤 브릿지 구성방법 중 출력전압을 극대화하는 방법 중의 하나로 이 경우 저항의 변화에 따른 회로에서의 출력전압은 다음 식으로 계산되며, 본 논문에서는 ANSYS의 연성해석을 통해 출력전압을 계산하였다.
- 우선 정적 압저항-구조 해석을 통하여 미소가속도계의 변위와 출력전압을 계산하고 출력전압을 특정 위치의 변위에 관한 2차 다항식으로 근사화하여 그 회귀계수를 최소자승법을 통하여 결정한다. 이후에 모드중첩법을 통하여 여러 방향의 고충격하에서 미소가속도계의 과도 변위응답을 계산하고, 이 변위응답을 변위로 표현되는 출력전압 근사식에 대입하여 과도 출력전압을 구한다. 여러 가지 고충격 입력에 대한 고충격 미소가속도계의 수치예제를 통하여 제안한 방법의 정확성 및 효율성을 검증하였다.
- 구체적인 사양은 Table 1에 표시하였다. 특히 센싱 빔과 힌지 부분과 같이 응력집중이 발생하는 부분은 해석 결과의 정확도를 위하여 충분히 높은 요소밀도를 가지도록 모델링하였다. 압저항-구조 연성해석으로 충격에 대한 출력전압을 계산하는 모델은 UX, UY, UZ, VOLT 4개의 DOF를 가지는 SOLID 226요소로 모델링 되며 총 요소수는 259,253개이다.
대상 데이터
- 특히 센싱 빔과 힌지 부분과 같이 응력집중이 발생하는 부분은 해석 결과의 정확도를 위하여 충분히 높은 요소밀도를 가지도록 모델링하였다. 압저항-구조 연성해석으로 충격에 대한 출력전압을 계산하는 모델은 UX, UY, UZ, VOLT 4개의 DOF를 가지는 SOLID 226요소로 모델링 되며 총 요소수는 259,253개이다. Fig.
이론/모형
- 는 이후 각각 M, C, K로 기술한다. 본 논문에서는 식 (3)의 운동방정식과 초기조건(initial condition)으로 구성되는 초기치 문제(initial value problem)을 풀기 위하여 아래와 같은 뉴마크 기법(Newmark method)를 사용하였다.(17) 뉴마크 기법은 시간 t와 t + ∆t사이에서 속도와 변위의 관계를 아래와 같이 가정한다.
- 따라서, 고충격 입력에 대한 출력전압 해석에는 이러한 문제를 해결할 수 있는 해석 방법이 이용되어야 한다. 본 논문에서는 이를 위하여 모드중첩법(mode superposition method)과 최소자승법(least square method)을 이용하였다.
- 압저항 효과에 따른 출력전압(Vo=|V1−V2|)을 얻기 위하여 Fig. 3과 같이 4-gauge 휘스톤 브릿지 회로 방식을 사용하였다.
- 이러한 타입으로 두 개의 웨이퍼가 접착된 힌지 구조 및 양단지지의 브릿지 형태를 가진 고충격 미소가속도계,(7) 외팔보의 판 형태의 고충격 미소가속도계,(8) 두 개의 동일한 질량을 가진 양단지지의 판 형태를 가진 고충격 미소가속도계(9) 등이 대표적인 예이다. 이러한 압저항 미소가속도계의 입력 충격에 대한 출력전압을 해석하기 위한 압저항-구조 연성해석에는 순차적 연성해법(sequential coupling method)이 이용된다.(10) 압저항-구조의 연성해석 결과는 먼저 변위장을 계산하고 그 이후 압저항 효과를 계산하므로 최소한 두 번의 축차(iteration)가 필요하다.
성능/효과
- (1) 고충격 압저항형 미소가속도계에서 여러 가지 입력 가속도에 대하여 n=15인 모드중첩법을 사용하여 각 방향의 과도 변위응답을 근사적으로 계산하는 경우, 입력 가속도의 종류와 상관없이 근사화된 변위는 완전적분법의 결과와 잘 일치하였다.
- (2) 100,000 G 고충격시험에서 측정된 고충격파 및 사인파와 같이 가속도의 변화가 연속적인 입력에 대해서는 모든 입력 방향에 대하여 제안한 방법으로 완전적분법의 과도 출력전압의 응답과 거의 일치하였다. 이를 통하여 완전적분법의 1% 미만의 계산 비용으로 거의 동일한 출력전압의 계산이 가능하였다.
- (3) 계단파와 사각파와 같이 입력 가속도가 순간적으로 크게 변화하는 비연속적인 경우, 제안한 방법을 사용하면 입력 가속도의 변화가 연속적인 경우보다 근사된 과도 출력전압에 다소 큰 오차가 발생하였다. 특히 가속도 급격히 변화하여 응답의 피크값이 발생하는 부분에서 완전적분법으로 계산된 출력전압을 충분히 따라가지 못함을 알 수 있다.
- 이후에 모드중첩법을 통하여 여러 방향의 고충격 하에서 미소가속도계의 과도 변위응답을 계산하고 이 변위응답을 식 (20) 및 (21)에 대입하여 최종과도 출력전압을 구한다. 입력 가속도로는 (a) 100,000 G 고충격시험에서 측정된 고충격파, (b) 사인파(sine)와 같은 연속적인 입력과 (c) 계단파(step) 그리고 (d) 사각파(square)와 같은 비연속적인 입력을 각각 고려하였으며 미소가속도계의 횡감도 예측을 위하여 원래 가속도 방향인 Y뿐만 아니라 X 및 Z에 대한 가속도 입력에도 과도 출력전압을 예측하여 제안한 방법의 정확성 및 효율성을 검증하였다.
- (Fig. 7~9 (a) 참조) 완전적분법과 제안한 방법의 계산 시간 측면에서는 ANSYS의 완전적분법을 이용하는 경우, 총 해석 시간이 129,056 s가 소요되었으며, 제안한 방법의 경우에는 모든 과정을 수행하는데, 완전적분법의 약 1%정도인 1,180 s 정도가 소요되었다.(Table 5 참조) 특히, 횡감도를 위한 출력전압을 예측하는 경우, 근사식 (20)에서 X방향의 횡감도를 위해서는 UX를 사용하고 Z방향의 횡감도를 위해서는 UZ를 사용하는 것이 더 정확한 근사가 가능하였다.
- 입력 가속도가 순간적으로 크게 변화하는 비연속적인 계단파를 고려하였다. 875 km/s2 크기의 계단파 형태의 고충격 가속도가 X, Y 및 Z의 각 방향으로 입력될 때, 각 방향의 과도 변위응답에 대하여 n=15인 모드중첩법으로 완전적분법의 결과와 거의 일치하는 결과를 얻을 수 있었다. 출력전압의 경우는 연속적인 입력 가속도의 경우보다 오차가 크게 발생하였다.
- 따라서, 이후에 출력전압 과도해석에는 n=15의 변위 응답을 사용하였다. X, Y, Z의 각 방향가속도에 대하여 n=15을 사용한 경우의 과도 변위 및 출력전압을 완전적분법의 결과와 함께 도시하면 그래프 상에서 차이를 확인할 수 없을 정도로 잘 일치하였다.(Fig.
- 특히 가속도 급격히 변화하여 응답의 피크값이 발생하는 부분에서 완전적분법으로 계산된 출력전압을 충분히 따라가지 못함을 알 수 있다. 또한, 전반적으로 횡방향(X 및 Z방향)의 출력 전압 응답이 조금 더 큰 오차를 보였다. 그러나, 실제의 입력 가속도는 이와 같은 비연속성을 가지는 경우는 거의 없으므로 제안된 방법은 센서의 감도 및 횡감도의 예측에 충분히 사용될 수 있을 것으로 판단된다.
- 1 µs로 하였다. 모드중첩법에 초기 5, 10 및 15개의 고유진동모드를 사용함에 따른 각 방향 변위를 비교하였을 때, 사용하는 고유진동모드의 수가 증가할수록 완전적분법과의 차이가 감소하며 n=10 및 15개의 고유진동모드로 계산된 변위 응답은 완전적분법으로 계산된 결과와 거의 일치함을 알 수 있었다. 따라서, 이후에 출력전압 과도해석에는 n=15의 변위 응답을 사용하였다.
- 본 논문에서 고려하는 고충격 압저항형 미소가속도계(7)는 두 개의 웨이퍼가 접착된 힌지 구조 및 양단지지의 브릿지 형태를 가진 구조로 아래위(Y 방향)로 큰 가속도가 입력되었을 경우에 구조적 안정성을 유지하며 외팔보 형태보다 더 높은 고유진동수를 가질 수 있다는 점에서 유리하다. 이 미소가속도계는 Fig.
- 이후에 모드중첩법을 통하여 여러 방향의 고충격하에서 미소가속도계의 과도 변위응답을 계산하고, 이 변위응답을 변위로 표현되는 출력전압 근사식에 대입하여 과도 출력전압을 구한다. 여러 가지 고충격 입력에 대한 고충격 미소가속도계의 수치예제를 통하여 제안한 방법의 정확성 및 효율성을 검증하였다.
- 7~9 (d)와 같이 비연속적 입력 가속도인 사각파를 고려하였다. 이 경우에도 고충격 가속도가 X, Y 및 Z의 각 방향으로 입력될 때, 각 방향의 과도 변위응답에 대하여 n=15인 모드중첩법으로 완전적분법의 결과와 거의 일치하는 결과를 얻을 수 있었다. 출력전압의 경우도 계단파 가속도 입력의 경우처럼 가속도가 급격히 변화하는 비연속적인 부근의 피크값에서 완전적분법으로 계산된 출력전압을 충분히 따라가지 못함을 알 수 있다.
- (2) 100,000 G 고충격시험에서 측정된 고충격파 및 사인파와 같이 가속도의 변화가 연속적인 입력에 대해서는 모든 입력 방향에 대하여 제안한 방법으로 완전적분법의 과도 출력전압의 응답과 거의 일치하였다. 이를 통하여 완전적분법의 1% 미만의 계산 비용으로 거의 동일한 출력전압의 계산이 가능하였다. 특히, 횡감도를 위한 출력전압을 예측하는 경우, 근사식 (20)에서 X방향의 횡감도를 위해서는 UX를 사용하고 Z방향의 횡감도를 위해서는 UZ를 사용하는 것이 더 정확한 근사가 가능하였다.
- 사인파 형태의 고충격 가속도가 X, Y 및 Z의 각 방향으로 입력될 때, 각 방향의 과도 변위 및 출력전압을 고려하였다. 제안한 방법과 완전적분법의 결과와 함께 도시하면 변위의 경우에는 그래프 상에서 거의 일치하는 결과를 보이며, 출력전압의 경우에도 전반적으로 잘 일치하는 결과를 보였다. 전반적으로 횡방향(X 및 Z방향)의 응답이 조금 더 큰 오차를 보였다.
후속연구
- 또한, 전반적으로 횡방향(X 및 Z방향)의 출력 전압 응답이 조금 더 큰 오차를 보였다. 그러나, 실제의 입력 가속도는 이와 같은 비연속성을 가지는 경우는 거의 없으므로 제안된 방법은 센서의 감도 및 횡감도의 예측에 충분히 사용될 수 있을 것으로 판단된다.
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