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문제 정의
- 그리하여 동일 오류4)를 2회 이상 혹은 3회 이상 보이는 학생들이 계산 영역별로, 그리고 학년별로 어느 정도나 되는지 살펴보고자 하였다().
- 앞 절에서 살펴본 바에 의하면, 체계적 오류를 엄격하게 정의할 경우, 초등학생들의 오답에서 체계적 오류가 차지하는 비중이 높지 않게 됨을 알 수 있다. 따라서 이 절에서는 체계적 오류를 포함하여 단순 실수나 무응답 등의 모든 오답 반응을 통해, 초등학생들의 계산 수행의 특징을 추출해 보고자 한다.
- 이 연구는 초등학생들이 지닌 계산 오류가 학년이 상승함에 따라 어떤 양상을 보이는지 조사함으로써, 계산 지도에서 강조되어야 할 부분과 그렇지 않은 부분, 그리고 적합한 지도 시기 등에 대한 시사점을 도출하고자 의도되었다. 이를 위해 수도권의 한 초등학교 3, 4, 5, 6학년 580명을 대상으로 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 계산 수행을 조사하였으며, 학생들의 오답 반응이 정해진 틀에 의거해서 분석되었다.
- 이 연구에서는 오류 유형 분석의 객관성 확보를 위해 많은 노력을 기울였다. 먼저 예비초등교사 3명을 섭외하여 일부 답안지를 대상으로 오류 분석 훈련을 실시하였으며, 이 과정을 통해 오류 유형에 대해 분석자 3명이 상당한 합의가 이루어진 것을 확인한 후 본격적인 답안지 분석에 들어갔다.
- 이 연구에서는 학생들의 체계적 오류에 주목하였다. 그리하여 동일 오류4)를 2회 이상 혹은 3회 이상 보이는 학생들이 계산 영역별로, 그리고 학년별로 어느 정도나 되는지 살펴보고자 하였다(<표 8>).
- 이 연구의 목적은 우리나라 초등학생들의 자연수 계산 오류 실태 및 학년상승에 따른 추이를 조사하여, 교사들에게 가장 주의해서 지도해야할 대표적인 오류 유형과 그것을 지도해야할 최적의 시기에 대한 정보를 제공하는 것이다. 이와 관련하여 다음과 같은 두 가지 연구 문제를 설정하였다.
제안 방법
- 곱셈과 나눗셈 오류 유형은 윤희태(2002)의 것을 바탕으로 그 중 일부 수정하여 사용하였다2). 이 연구에서는 곱셈과 나눗셈 오류를 크게 ‘기수법 오류’, ‘0처리 오류’, ‘알고리즘 오류’, ‘받아올림 오류’, ‘가정몫 오류’, '소수점 오류‘ 등 6가지로 구분하였으며, 이 가운데 ’받아올림 오류‘는 곱셈에만 적용되고, ’가정몫 오류‘와 ’소수점 오류‘는 나눗셈에만 적용되는 오류 유형이다(<표 3>).
- 먼저 예비초등교사 3명을 섭외하여 일부 답안지를 대상으로 오류 분석 훈련을 실시하였으며, 이 과정을 통해 오류 유형에 대해 분석자 3명이 상당한 합의가 이루어진 것을 확인한 후 본격적인 답안지 분석에 들어갔다. 답안지 1매당 예비초등교사 2명이 교차 분석하도록 하였으며, 최종적으로 본 연구자가 모든 답안지를 검토함으로써 3중으로 분석 작업이 이루어졌다. 최종적인 자료 분석은 SPSS 통계처리 프로그램을 이용하였으며, 일부 학생들의 답안이 질적 분석되었다.
- 이 연구에서는 오류 유형 분석의 객관성 확보를 위해 많은 노력을 기울였다. 먼저 예비초등교사 3명을 섭외하여 일부 답안지를 대상으로 오류 분석 훈련을 실시하였으며, 이 과정을 통해 오류 유형에 대해 분석자 3명이 상당한 합의가 이루어진 것을 확인한 후 본격적인 답안지 분석에 들어갔다. 답안지 1매당 예비초등교사 2명이 교차 분석하도록 하였으며, 최종적으로 본 연구자가 모든 답안지를 검토함으로써 3중으로 분석 작업이 이루어졌다.
- 뺄셈 오류 유형은 장영숙(2003)의 것을 바탕으로 그 중 일부 수정하여 사용하였다. 이 연구에서는 뺄셈 오류를 크게 ‘0처리 오류’, ‘무조건 큰 수에서 작은 수 빼기 오류’, ‘받아내림 오류’ 등 세 가지로 구분하였으며, 각각에 대해 하위 유형을 두어 총 11가지 오류 유형을 <표 1>과 같이 설정하였다.
- 이 연구에서는 뺄셈 오류 유형을 크게 ‘0처리 오류’, ‘무조건 큰 수에서 작은 수 빼기 오류’, ‘받아내림 오류’로 구분하고, 각 유형에 대해 다시 하위 유형을 설정하였다.
- 이 연구에서는 뺄셈 오류를 크게 ‘0처리 오류’, ‘무조건 큰 수에서 작은 수 빼기 오류’, ‘받아내림 오류’ 등 세 가지로 구분하였으며, 각각에 대해 하위 유형을 두어 총 11가지 오류 유형을 과 같이 설정하였다.
- 이 연구에서는 자연수 사칙 연산 중 덧셈을 제외한 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 조사 내용으로 하여, 각 연산의 오류 유형을 설정하고 그에 맞는 검사지 3종을 개발하였다.
- 이 연구에서는 한 학습자가 한 검사지에서 동일 오류를 각각 2회, 3회 이상 발생하는 경우를 구분하여 체계적 오류’를 조사하였다.
- 이 연구는 초등학생들이 지닌 계산 오류가 학년이 상승함에 따라 어떤 양상을 보이는지 조사함으로써, 계산 지도에서 강조되어야 할 부분과 그렇지 않은 부분, 그리고 적합한 지도 시기 등에 대한 시사점을 도출하고자 의도되었다. 이를 위해 수도권의 한 초등학교 3, 4, 5, 6학년 580명을 대상으로 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 계산 수행을 조사하였으며, 학생들의 오답 반응이 정해진 틀에 의거해서 분석되었다. 물론 이 연구의 조사 대상이 1개교로 매우 제한적이며, 지역, 학교, 교사, 학급, 학생 등 결과 분석에 영향을 줄 수 있는 외재변인이 통제될 수 없는 점은 이 연구의 명백한 한계이다.
- 이상에서 기술된 문제들을 해결하기 위해, 이 연구에서는 초등학교 3, 4, 5, 6학년 학생 580명을 대상으로 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 영역의 계산 수행 능력을 조사하였으며, 답안지 1매당 분석자 3인이 교차 분석하는 방식으로 분석의 객관성을 확보하였다. 오답 추이 및 체계적 오류 보유 현황에 대해서는 SPSS 통계분석 기법이 사용되었으며, 일부 학생들의 답안이 질적 분석되었다.
- 일반적으로 오류 연구에서 대상으로 삼는 오류는 체계적인 것으로 고착성이 크다고 알려졌기 때문에, 여기서는 동일 유형의 오류가 3회 이상 나타난 것을 중심으로 통계치를 살펴보기로 하겠다. 우선 뺄셈의 경우, 3학년에서 약 11.
- 초등학생들의 계산 수행 능력이 학년 상승에 따라 어떤 변화가 있는 지 알아보기 위해, 계산 영역별로 평균 점수를 산출하여 경향성을 살펴보았다().
대상 데이터
- 학년 상승에 따른 오류 경향을 파악하기 위해, 이 연구에서는 인천광역시의 한 초등학교 3, 4, 5, 6학년 학생 총 580명에게 검사지를 투입하였다. 검사대상 학교는 아파트 밀집 지역에 위치하며, 학생들의 학업성취수준은 인천광역시의 평균에 해당한다. 검사지가 투입된 시점이 학년 초인 점을 감안하여, 3학년에게는 곱셈과 나눗셈 검사를 실시하지 않았다.
- 검사지가 투입된 시점이 학년 초인 점을 감안하여, 3학년에게는 곱셈과 나눗셈 검사를 실시하지 않았다. 검사지 투입 결과, 각 영역에서 백지를 내거나, 한 두 개 이하로 맞은 극단적인 계산 부진아의 답안이 4장 나왔으며, 이 연구에서는 이와 같이 극단적인 경우를 제외한 576장의 답안지만을 분석하여 결과를 도출하였다. 이 연구의 학년별 조사 대상 인원과 분석 대상 수, 그리고 분석 내용은 <표 6>과 같다.
- 학년 상승에 따른 오류 경향을 파악하기 위해, 이 연구에서는 인천광역시의 한 초등학교 3, 4, 5, 6학년 학생 총 580명에게 검사지를 투입하였다. 검사대상 학교는 아파트 밀집 지역에 위치하며, 학생들의 학업성취수준은 인천광역시의 평균에 해당한다.
데이터처리
- 이상에서 기술된 문제들을 해결하기 위해, 이 연구에서는 초등학교 3, 4, 5, 6학년 학생 580명을 대상으로 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 영역의 계산 수행 능력을 조사하였으며, 답안지 1매당 분석자 3인이 교차 분석하는 방식으로 분석의 객관성을 확보하였다. 오답 추이 및 체계적 오류 보유 현황에 대해서는 SPSS 통계분석 기법이 사용되었으며, 일부 학생들의 답안이 질적 분석되었다.
- 답안지 1매당 예비초등교사 2명이 교차 분석하도록 하였으며, 최종적으로 본 연구자가 모든 답안지를 검토함으로써 3중으로 분석 작업이 이루어졌다. 최종적인 자료 분석은 SPSS 통계처리 프로그램을 이용하였으며, 일부 학생들의 답안이 질적 분석되었다.
성능/효과
- 결과적으로 학년상승에 따른 오류 변화 양상만 본다면, 전 학년에서 가장 주의를 두고 지도되어야할 오류는 ‘기수법 오류’이며, 고학년에서는 ‘소수점 오류’라 할 수 있다.
- 넷째, 곱셈 오류는 대체로 학년 상승에 따라 감소하고 최종학년인 6학년에서의 빈도수도 크지 않기 때문에, 각별한 주의를 기울일 필요는 없다고 판단된다. 그러나 출발점 학년에서 '알고리즘 오류'가 큰 것으로 미루어 보건데 초등학생들이 곱셈 절차를 익히는 것을 매우 어려워한다는 것을 알 수 있다.
- 다섯 개의 오류 유형 가운데, 학년 상승에 따른 감소 경향이 뚜렷하게 나타나는 것은 ‘0처리 오류’, ‘알고리즘 오류’, ‘가정몫 오류’이다.
- 다섯째, 나눗셈 오류 가운데 모든 학년에서 주의를 두고 지도해야할 것은 '기수법 오류' 이며, 고학년에서는 '소수점 오류'이다.
- 둘째, 뺄셈 지도에서 가장 주의를 두어야 하는 것은 받아내림이 있는 경우인데, 수에서 받아내리는 경우와 0에서 받아내리는 경우, 학생들이 다르게 반응한다는 점을 유념해야 한다. 이를 테면, 두 가지 경우의 보기를 칠판에 동시에 제시하고 그 차이점을 강조하면서 지도하는 것이 한 가지 대안이 될 수 있다.
- 세 계산 영역의 출발점 점수는 다소 상이했으나, 학년이 상승하면서 그 격차가 줄어들어 마지막 학년에서는 100점 만점으로 환산했을 때, 90점 근방의 유사한 수치를 모두 기록하였다. 또한 초등학생들이 범하는 계산 오류는 지속적으로 반복되어 나타나는 체계적인 것이라기보다는 1회, 혹은 2회 정도로 나타나는 실수에 더 가까운 것으로 나타났다. 더욱이 이 연구에서 조사한 대부분의 계산 오류가 학년이 상승하면서 발생빈도가 감소하는 경향이 나타난 것을 보면, 초등학생들의 계산 오류는 고착성이 그리 크지 않은 것으로 결론내릴 수 있다.
- 자료 분석 결과, 초등학생들의 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 수행 능력은 학년 상승과 더불어 개선되는 것으로 나타났다. 세 계산 영역의 출발점 점수는 다소 상이했으나, 학년이 상승하면서 그 격차가 줄어들어 마지막 학년에서는 100점 만점으로 환산했을 때, 90점 근방의 유사한 수치를 모두 기록하였다. 또한 초등학생들이 범하는 계산 오류는 지속적으로 반복되어 나타나는 체계적인 것이라기보다는 1회, 혹은 2회 정도로 나타나는 실수에 더 가까운 것으로 나타났다.
- 셋째, 곱셈과 나눗셈은 절차를 수행하는 과정에서 기본적인 계산 실수를 줄일 수 있는 방안이 강구되어야 한다. 이 두 계산은 매우 여러 가지 계산 과정을 거치기 때문에 실수가 들어올 여지도 자연스럽게 늘어난다.
- 이 기준에 따라 학생들의 뺄셈 수행을 분석한 결과, 세 가지 오류 유형 가운데 ‘받아내림 오류’가 전체 오답의 약 40%로 가장 높은 비중을 차지하였다.
- 이 연구에서 설정한 곱셈 오류 유형은 ‘기수법 오류’, ‘0처리 오류’, ‘알고리즘 오류’, ‘받아올림 오류’ 등 네 가지이며, 학생들의 답안지 분석 결과, ‘알고리즘 오류’ 가 비중이 가장 높았다(17.54%).
- 첫째, 초등학생들에게서 발견되는 계산 오류는 체계성이나 고착성이 강하지 않은 만큼, 저학년에서 뿌리를 뽑겠다는 생각 보다는 교정지도의 적기를 찾는 것이 바람직하다. 이 연구에서 조사된 바로는 대부분의 계산 오류가 출발점 학년 보다는 그 다음 학년에서 급감하는 경향성을 보이기 때문에, 일부 고착성이 높은 오류를 제외한 오류의 교정은 계산 절차가 지도된 차년도에 집중 투입되는 것이 효과적이다.
- 이 연구에서는 곱셈과 나눗셈 오류를 크게 ‘기수법 오류’, ‘0처리 오류’, ‘알고리즘 오류’, ‘받아올림 오류’, ‘가정몫 오류’, '소수점 오류‘ 등 6가지로 구분하였으며, 이 가운데 ’받아올림 오류‘는 곱셈에만 적용되고, ’가정몫 오류‘와 ’소수점 오류‘는 나눗셈에만 적용되는 오류 유형이다().
- 이 연구에서는 나눗셈 오류 유형을 크게 ‘기수법 오류’, ‘0처리 오류’, ‘알고리즘 오류’, ‘가정몫 오류’, ‘소수점 오류’ 등 다섯 가지로 분류했으며, 전체 오답 반응 가운데 이에 해당하는 오답은 53.6%이며, 계산 실수에 해당하는 ‘기타’는 대략 30%대인 것으로 나타났다.
- 이상의 내용을 정리하면, 계산 영역에서 나타나는 초등학생들의 계산 오류는 동일 오류가 2회 이하로 나타나는 비교적 고착성이 약한 오류이며, 동일 오류가 3회 이상 나타나는 체계적 오류는 계산 절차를 처음 배우는 학년에서는 10% 내외로 나타나지만 그 다음 학년에서 상당 부분 개선되는 것으로 나타났다([그림 2], [그림 3]). 그러나 뺄셈의 경우, 그와 같은 개선을 그 이후 학년에서 계속 볼 수 있는 것은 아니므로, 수행능력의 향상 폭이 크게 개선되는 학년에서 오류에 대한 교정 지도가 투입되는 것이 바람직할 것으로 생각된다.
- 초등학생들의 계산 수행 능력이 학년 상승에 따라 어떤 변화가 있는 지 알아보기 위해, 계산 영역별로 평균 점수를 산출하여 경향성을 살펴보았다(<표 7>). 자료 분석 결과, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 모두 유의수준 .05에서 학년 간 차이가 있는 것으로 나타났으며, 이는 학년 상승에 따른 계산 수행 능력의 향상을 의미하는 것이다. 물론 계산 영역에 따라 계산 수행 능력이 향상되는 정도는 다르게 나타났다.
- 그리하여 동일 오류4)를 2회 이상 혹은 3회 이상 보이는 학생들이 계산 영역별로, 그리고 학년별로 어느 정도나 되는지 살펴보고자 하였다(<표 8>). 자료 분석 결과, 체계적 오류를 어떻게 정의했는가에 따라 오류 발생률이 상당히 다르게 나타났다. 체계적 오류를 동일 오류가 2회 이상 발생했을 때로 정의한 경우가 3회 이상 발생했을 때로 정의한 경우 보다 오류 발생률이 대략 2 내지 3배 높게 기록되었다.
- 자료 분석 결과, 초등학생들의 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 수행 능력은 학년 상승과 더불어 개선되는 것으로 나타났다. 세 계산 영역의 출발점 점수는 다소 상이했으나, 학년이 상승하면서 그 격차가 줄어들어 마지막 학년에서는 100점 만점으로 환산했을 때, 90점 근방의 유사한 수치를 모두 기록하였다.
- 첫째, 초등학생들에게서 발견되는 계산 오류는 체계성이나 고착성이 강하지 않은 만큼, 저학년에서 뿌리를 뽑겠다는 생각 보다는 교정지도의 적기를 찾는 것이 바람직하다. 이 연구에서 조사된 바로는 대부분의 계산 오류가 출발점 학년 보다는 그 다음 학년에서 급감하는 경향성을 보이기 때문에, 일부 고착성이 높은 오류를 제외한 오류의 교정은 계산 절차가 지도된 차년도에 집중 투입되는 것이 효과적이다.
후속연구
- 물론 이 연구의 조사 대상이 1개교로 매우 제한적이며, 지역, 학교, 교사, 학급, 학생 등 결과 분석에 영향을 줄 수 있는 외재변인이 통제될 수 없는 점은 이 연구의 명백한 한계이다. 그러나 학년 상승에 따른 학생들의 오류 변화는 기존의 연구가 시도하지 않은 새로운 접근이라는 점에서 연구 의의를 찾아 볼 수 있으며, 앞으로 이와 유사한 연구 결과가 축적된다면 보다 일반화된 결론을 도출할 수 있을 것으로 기대한다.
- 이를 위해 수도권의 한 초등학교 3, 4, 5, 6학년 580명을 대상으로 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 계산 수행을 조사하였으며, 학생들의 오답 반응이 정해진 틀에 의거해서 분석되었다. 물론 이 연구의 조사 대상이 1개교로 매우 제한적이며, 지역, 학교, 교사, 학급, 학생 등 결과 분석에 영향을 줄 수 있는 외재변인이 통제될 수 없는 점은 이 연구의 명백한 한계이다. 그러나 학년 상승에 따른 학생들의 오류 변화는 기존의 연구가 시도하지 않은 새로운 접근이라는 점에서 연구 의의를 찾아 볼 수 있으며, 앞으로 이와 유사한 연구 결과가 축적된다면 보다 일반화된 결론을 도출할 수 있을 것으로 기대한다.
- 뿐만 아니라 5학년과 6학년 학생들조차도 ‘0 곱하기 수’를 ‘1곱하기 수’로 오해하여 ‘0’이 아닌 ‘수’로 쓰는 경우를 적지 않게 볼 수 있었다. 이상의 내용을 종합해 보면, 효과적인 곱셈 지도를 위해서는 간단한 계산 실수를 줄이는 방법을 개발하는 일에 보다 역점을 두어야 할 것으로 생각된다.
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