[논문]비와 비율 학습에서 나타나는 초등학교 학생들의 인식론적 장애 분석

박희옥; 박만구

doi:10.7468/jksmec.2012.15.2.159

비와 비율 학습에서 나타나는 초등학교 학생들의 인식론적 장애 분석
An Analysis on the Epistemological Obstacles of Elementary Students in the Learning of Ratio and Rate 원문보기

Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Series C : Education of primary school mathematics, v.15 no.2, 2012년, pp.159 - 170

박희옥 (서울 정릉초등학교) , 박만구 (서울교육대학교)

초록
AI-Helper

본 연구의 목적은 비와 비율 학습에서 나타나는 초등학교 학생들의 인식론적 장애의 유형을 분류하고 원인을 찾아내어 그에 따른 지도 방안을 제시하는 것이다. 이를 위해 그 동안 연구되어 온 선행 연구의 결과와 수학교과서와 지도서, TIMSS 2003, 2007 등 여러 자료들을 분석하여 비와 비율 검사지를 제작하였다. 이를 위해 서울시내 초등학교 5학년 학생 138명을 여러 지역을 고려하여 선정한 후 설문 및 면담을 하여 인식론적인 장애를 검사하였다. 검사지 결과 분석 및 면담 내용을 토대로 인식론적 장애의 유형을 크게 용어, 계산, 표현과 관련된 것의 세 가지로 분류되었다. 그리고 각 유형에 따른 원인과 지도 방안을 제시하고 비와 비율의 효과적인 학습을 위한 제언을 하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

Many obstacles have been found in the learning of ratio and rate. The types of epistemological obstacles concern 'terms', 'calculations' and 'symbols'. It is important to identify the epistemological obstacles that students must overcome to understand the learning of ratio and rate. In this respect, the present study attempts to figure out what types of epistemological obstacles emerge in the area of learning ratio and rate and where these obstacles are generated from and to search for the teaching implications to correct them. The research questions were to analyze this concepts as follow; A. How do elementary students show the epistemological obstacles in ratio and rate? B. What is the reason for epistemological obstacles of elementary students in the learning of ratio and rate? C. What are the teaching implications to correct epistemological obstacles of elementary students in the learning of ratio and rate? In order to analyze the epistemological obstacles of elementary students in the learning of ratio and rate, the present study was conducted in five different elementary schools in Seoul. The test was administered to 138 fifth grade students who learned ratio and rate. The test was performed three times during six weeks. In case of necessity, additional interviews were carried out for thorough examination. The final results of the study are summarized as follows. The epistemological obstacles in the learning of ratio and rate can be categorized into three types. The first type concerns 'terms'. The reason is that realistic context is not sufficient, a definition is too formal. The second type of epistemological obstacle concerns 'calculations'. This second obstacle is caused by the lack of multiplication thought in mathematical problems. As a result of this study, the following conclusions have been made. The epistemological obstacles cannot be helped. They are part of the natural learning process. It is necessary to understand the reasons and search for the teaching implications. Every teacher must try to develop the teaching method.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.

문제 정의

그리고 비와 비율과 관련한 교수·학습에서 초등학교 학생들의 인식론적 장애를 고려한 적절한 지도 방안을 제시하였다.
다양한 원인으로 인해 학생들은 장애를 겪게 되는데, 본 연구에서는 인식론적 장애의 형태와 원인을 찾아내어 그에 따른 지도 방안을 제시하였다.
또한 지필 검사에 앞서 서울특별시 성북구에 소재하고 있는 J초등학교 6학년 학생들 2반을 대상으로 예비 검사를 실시하고 검사 결과를 바탕으로 내용을 수정·보완하였다. 본 검사에서는 5학년 학생들을 대상으로 2주 간격으로 총 3번의 검사를 실시하고 검사 결과를 바탕으로 지속적으로 오류를 보이는 학생 3명을 선정하여 인식론적 장애의 유형과 그 원인을 분석하고자 면담을 실시하였다.
그 동안 수학교육에서 인식론적 장애에 대한 연구는 다양한 형태로 있어 왔다. 본 연구에서는 가장 적절하게 관련이 된다고 보이는 Bachelard의 인식론적 장애와 Brousseau의 인식론적 장애에 대한 연구를 중심으로 살펴보았다
본 연구에서는 비와 비율에서 초등학교 학생들이 보이는 인식론적 장애의 형태를 확인하고 그 원인을 분석하였다. 그리고 비와 비율과 관련한 교수·학습에서 초등학교 학생들의 인식론적 장애를 고려한 적절한 지도 방안을 제시하였다.
본 연구의 목적은 비와 비율 교수·학습과 관련된 선행 연구를 분석을 바탕으로 초등학교 학생들이 비와 비율 학습에서 보이는 인식론적 장애의 형태를 알아보고 원인을 분석하여 그에 따른 적절한 지도방안을 마련하기 위함이다.
본 연구의 목적은 학생들이 비와 비율을 유독 어려워하고 오류를 보이는 학생들이 많다는 점에서 착안하여 인식론적 장애의 유형을 파악하고 원인을 분석하여 그에 따른 지도방안을 제시하기 위함이었다. 이를 위해 선행 연구 분석 및 문헌 연구, 검사지 결과 분석, 면담을 통해 연구 문제에 대해 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.

제안 방법

문헌연구 결과를 바탕으로 비와 비율에 관해 학생들이 알아야 할 기본적인 내용 지식으로써 비와 비율에 대한 개념 이해, 비의 표현 방법, 비를 읽는 방법, 비율의 변화 (소수, 분수), 비의 특성, 비율의 특성을 선정하였다. 검사지는 학습 목표를 바탕으로 평가 내용을 선정한 후 TIMSS 2003, TIMSS 2007에서 비와 비율 관련 문제, 수학 교과서와 수학 익힘책에 나와 있는 문제중 기본적인 개념들이 들어있고 평가 내용과 부합하는 10개의 문항을 선정하였다. 선정한 문항은 타당도를 높이기 위해 수학교육 전문가 1명과 수학교육 석사 학위를 가진 초등학교 교사 2명의 협의를 통해 수정, 보완하였다.
또한 지필 검사에 앞서 서울특별시 성북구에 소재하고 있는 J초등학교 6학년 학생들 2반을 대상으로 예비 검사를 실시하고 검사 결과를 바탕으로 내용을 수정·보완하였다.
비와 비율에서 나타나는 학생들의 인식론적 장애를 분석하기에 앞서 문헌 연구를 실시하였다. 문헌연구 결과를 바탕으로 비와 비율에 관해 학생들이 알아야 할 기본적인 내용 지식으로써 비와 비율에 대한 개념 이해, 비의 표현 방법, 비를 읽는 방법, 비율의 변화 (소수, 분수), 비의 특성, 비율의 특성을 선정하였다. 검사지는 학습 목표를 바탕으로 평가 내용을 선정한 후 TIMSS 2003, TIMSS 2007에서 비와 비율 관련 문제, 수학 교과서와 수학 익힘책에 나와 있는 문제중 기본적인 개념들이 들어있고 평가 내용과 부합하는 10개의 문항을 선정하였다.
비와 비율에 대한 선행연구 및 문헌연구를 토대로각 인식론적 장애의 원인에 따라 지도방안을 살펴보았다.
검사지는 학습 목표를 바탕으로 평가 내용을 선정한 후 TIMSS 2003, TIMSS 2007에서 비와 비율 관련 문제, 수학 교과서와 수학 익힘책에 나와 있는 문제중 기본적인 개념들이 들어있고 평가 내용과 부합하는 10개의 문항을 선정하였다. 선정한 문항은 타당도를 높이기 위해 수학교육 전문가 1명과 수학교육 석사 학위를 가진 초등학교 교사 2명의 협의를 통해 수정, 보완하였다. 또한 지필 검사에 앞서 서울특별시 성북구에 소재하고 있는 J초등학교 6학년 학생들 2반을 대상으로 예비 검사를 실시하고 검사 결과를 바탕으로 내용을 수정·보완하였다.
제7차 교육과정에서 6학년에서 다루던 ‘비와 비율’을 2007 개정 교육과정에서는 5학년에서 가르칠 수 있도록 조정하였다.
'달은 얼마나 높이 있을까?'에서는 크기와 축척과 관련하여 그림이나 사진 띠 등을 사용하여 활동을 하도록 구성되어 있다. 특히 머리와 키의 비, 실물 화상기에 올려놓은 물체의 길이 비, 축척을 활용하여 지구와 달, 태양까지의 거리 알아보기와 같은 흥미로우면서도 확대와 축소 닮음과 같이 비례적인 관점이 필요한 생활 속 현상들로 문제를 구성하였다. 따라서 비와 비율 학습 시 비와 비율에 대한 개념 이해 및 수를 처리하는 도식과 시각적 모델 사용을 권장하여 직관적인 경험을 충분히 한 후 기능을 습득하도록 해야 한다.

대상 데이터

지역에 따른 차이를 최소화 하기 위해 여러 교육청의 초등학교에서 연구 대상을 선정하였으며, A초등학교 28명, B초등학교 30명, C초등학교 27명, D초등학교 26명, E초등학교 27명, 총 138명을 대상으로 연구를 진행하였다. 2주의 간격으로 3번의 검사를 실시하고 그 결과를 바탕으로 지속적인 오류를 보이는 학생 중 A초등학교의 3명을 면담 대상자로 선정하였다.
본 연구는 성북교육청 소속의 A, B초등학교, 북부 교육청 소속의 C초등학교, 강서교육청 소속의 D초등 학교, 강동교육청 소속의 E초등학교 5학년 중 한 학급씩을 대상으로 하였다. 지역에 따른 차이를 최소화 하기 위해 여러 교육청의 초등학교에서 연구 대상을 선정하였으며, A초등학교 28명, B초등학교 30명, C초등학교 27명, D초등학교 26명, E초등학교 27명, 총 138명을 대상으로 연구를 진행하였다.
본 연구는 성북교육청 소속의 A, B초등학교, 북부 교육청 소속의 C초등학교, 강서교육청 소속의 D초등 학교, 강동교육청 소속의 E초등학교 5학년 중 한 학급씩을 대상으로 하였다. 지역에 따른 차이를 최소화 하기 위해 여러 교육청의 초등학교에서 연구 대상을 선정하였으며, A초등학교 28명, B초등학교 30명, C초등학교 27명, D초등학교 26명, E초등학교 27명, 총 138명을 대상으로 연구를 진행하였다. 2주의 간격으로 3번의 검사를 실시하고 그 결과를 바탕으로 지속적인 오류를 보이는 학생 중 A초등학교의 3명을 면담 대상자로 선정하였다.

성능/효과

3) 고정된 관계 : 정해진 요금이나 고정된 측도와 같은 관계로 가령 반지름이 2배가 되면 커진 원의 원주도 처음 원주의 두 배가 되는 것은 고정된 관계로 성립한다. 그러나 정사각형의 변이 길이를 두 배로 하여도 그 정사각형의 넓이는 두 배가 아니고 네 배가 되어 버린다.
둘째, 인식론적 장애의 원인은 그 유형에 따라 다르다. ‘용어’와 관련된 장애의 원인은 처음 배우는 용어이기 때문에 현실적인 맥락에서 다양한 사례를 접한 다음 도입을 해야 하는데 현실 맥락이 부족하다는 점과 교과서 약속에 정의되어 있는 내용이 지나치게 형식적이라는 점이다.
마지막으로 ‘표현’과 관련된 장애의 원인은 비 기호의 도입시기가 너무 이르고, 백분율 % 기호는 학생들에게 혼란을 줄 수 있도록 정의되어 있다는 것이다.
셋째, 인식론적 장애를 지도하기 위한 방안을 유형에 따라 살펴보면 '용어'와 관련된 장애의 첫 번째 원인인 비와 비율 도입을 위한 현실적인 맥락이 부족하다는 문제를 해결하기 위해 MIC 교과서와 같이 보다 실제적이고 다양한 사례 속에서 용어나 개념을 도입해야 한다.

후속연구

또한 6학년 1학기 6단원 '비율그래프'의 지도시기를 앞당겨 띠그래프와 원그래프에 대해 먼저 학습하고 '비와 비율'을 배운다면 학생들이 그래프라는 수학적 개념과 분수와 소수, 백분율 사이의 연결성을 찾아 새로운 수학적 개념을 학습하는데 도움이 될 것이다.
6학년에서 배우는 비율그래프의 지도 시기를 앞당기고, 도형의 대칭 단원에서 점대칭 위치에 있는 도형을 학습할 때 비와 비율 개념을 가볍게 도입할 수 있다. 또한 비와 비율을 배울 때 점대칭 위치에 있는 도형을 활용하여 거리의 비 등을 학습한다며 수학적 개념의 연결성을 찾아 새로운 개념 학습에 도움이 될 것이다.
물론 TIMSS 2003의 결과보다 수학 성취도가 향상되었고 상대적으로 다른 나라들에 비해 정수, 방정식 등을 포함한 대부분의 영역에서 높은 점수를 받았지만 특정 영역에서 낮은 점수를 받았다는 것은 이 부분의 교수·학습 과정에 대하여 보다 깊은 연구를 할 필요가 있음을 시사해준다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	인식론적 장애란?	인식론적 장애란 과학 정신의 형성과정에서 그 형성을 가로막는 체계화된 오류들로서 과학적 활동에서의 인식론적 장애물은 사유의 정지를 가져온다. Bachelard가 무엇보다도 문제시하는 것은 바로 이 부분이며, 따라서 그는 인식론적 장애들이 구체적으로 어떻게 작동하고 있는가를 보여주려고 한다(김태훈, 2001)
	비와 비율의 개념 이해가 가지고 있는 내재된 특징을 3가지로 특징 지어 보면?	비와 비율의 개념 이해는 그것이 가지고 있는 내재된 특징을 파악하고 있는지를 포함한다. 내재된 특징에는 3가지를 들 수 있는데 순서적 관계, 곱셈적 관계, 고정된 관계로 특징지어 볼 수 있다(Baroody & Coslick, 2006)
	Brousseau가 말하는 수학 교수학적 상황이란?	Brousseau가 말하는 ‘수학 교수학적 상황’이란 학생이 어떤 수학적 지식을 학습하도록 하는 것을 목표로 하는 교사, 학생, 환경 사이의 관계 상황이며, 교사가 교수학적 의도가 담긴 문제 상황 속에서 학생과 상호작용 하는 상황(우정호, 2000)이다. 교사는 형식적인 수학적 지식을 보다 의미 있게 가르치기 위해서 그 지식의 근원, 의미, 동기, 쓰임새를 알게 해주는 일련의 활동을 교실 문맥으로 구성하려는 시도를 하지 않을 수 없게 된다.

참고문헌 (33)

교육과학기술부(2010). 초등학교 수학 5-2. 서울: 두산동아주식회사.
교육인적자원부(2007). 교육인적자원부 고시 제 2007-79호에 따른 초등학교 교육과정 해설 III. 서울: 대한교과서 주식회사.
교육인적자원부(2008). 교육인적자원부 고시 제 2006-75호 및 제2007-79호에 따른 초등학교 교육과정 해설 IV. 서울: 대한교과서 주식회사.
교육과학기술부(2011). 교육인적자원부 고시 제 2011-361호 [별책8] 수학과 교육과정. 서울: 대한교과서주식회사.
김경희？백희수(2010). 비와 비율 영역에 대한 우리나라와 싱가포르 교육과정 및 교과서 비교-TIMSS 평가목표와 공개문항을 중심으로. 대한수학교육학회지 , 12(4), 473-489.

원문보기 상세보기
김선희？김경희(2009). 교육과정에 근거한 TIMSS 2007 공개 추이문항의 정답률 분석. 대한수학교육학회지 , 19(1), 99-120.

원문보기 상세보기
김성희？방정숙(2005). 수학 교수.학습 과정에서 과제의 인지적 수준 분석-초등학교 '비와 비율' 단원을 중심으로-. 대한수학교육학회지 , 15(3), 251-272.

원문보기 상세보기
김수현？나귀수(2008). 비와 비율 지도에 대한 연구- 교과서 재구성을 중심으로. 대한수학교육학회지 , 18(3), 309-329.

원문보기 상세보기
김태훈(2001). 바슐라르(G. Bachelard)의 과학철학 연구-쿤(T. S. Kuhn)과의 비교-. 중앙대학교 대학원 석사학위논문.
배종수(2005). 초등수학교육 내용지도법. 서울: 경문사.
우정호(2000). 수학 학습 지도 원리와 방법. 서울대학교출판부.
나온교육연구소(역)(2004a). 수학으로 보는 세상-백분율은 100을 좋아해. 서울: 나온연구소.
나온교육연구소(역)(2004b). 수학으로 보는 세상-달은 얼마나 높이 있을까. 서울: 나온연구소.
나온교육연구소(역)(2004c). 수학으로 보는 세상-신문속의 분수. 서울: 나온연구소.
나온교육연구소(역)(2004d). 수학으로 보는 세상-늘었다 줄었다. 서울: 나온연구소.
나온교육연구소(역)(2004e). 수학으로 보는 세상-비와 비율. 서울: 나온연구소.
나온교육연구소(역)(2004f). 수학으로 보는 세상-백분율은 100을 좋아해 교사용 지도서. 서울: 나온연구소.
나온교육연구소(역)(2004g). 수학으로 보는 세상-달은 얼마나 높이 있을까 교사용 지도서. 서울: 나온연구소.
나온교육연구소(역)(2004h). 수학으로 보는 세상-신문속의 분수 교사용 지도서. 서울: 나온연구소.
나온교육연구소(역)(2004i). 수학으로 보는 세상-늘었다 줄었다 교사용 지도서. 서울: 나온연구소.
나온교육연구소(역)(2004j). 수학으로 보는 세상-비와 비율 교사용 지도서. 서울: 나온연구소.
유현주(1995). 분수개념의 교수현상학적 분석과 학습-지도 방향에 관한 연구. 서울대학교 박사학위논문.
이종희(1999). 함수 개념의 역사적 발달과 인식론적 장애. 대학수학교육학회지 . 9(1), 133-150.

원문보기 상세보기
이종희(2002). 중학생의 수학적 오류 분석 및 교수학적 처방을 위한 학습 지도 방법 개발. 교과교육 연구 활성화 방안 연구. 한국교원대학교 석사학위논문.
정은실(2003a). 비 개념에 대한 교육적 분석. 대한수학교육학회지 . 13(3), 247-265.

원문보기 상세보기
정은실(2003b). 비 개념에 대한 역사적, 수학적, 심리적 분석. 대한수학교육학회지 . 5(4), 421-437

원문보기 상세보기
Bachelard. G.(1998). 현대 물리학의 합리주의적 활동. (정계섭 역). 서울: 민음사.
Bachelard. G.(1996). 부정의 철학. (김용선 역). 서울: 인간사랑. (불어 원작은 1940년 출판).
Bachelard. G.(2002). The formation ofthe science mind : A contribution to a psychanalysis ofobjective knowledge(tr. by Mary McAllester Jones). Manchester: Clinamen.(불어 원작은 1938년 출판).
Baroody, A., & Coslick, R. (2006). 수학의 힘을 길러주자. (권성룡 외 역). 서울: 경문사. (영어 원작은 1998년 출판).
National Council of Teachers of Mathematics(2000). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: Author.
Piaget, J., Grize, J., Szeminska, A., & Bang, V. (1997). Epistemology and psychology of functions, Castellanos, F.X. Anderson, V. D.(trans.), Dordrecht: D. Reidel Publishing Company.
Streefland, L. (1985). Search for the roots of ratio: Some thoughts on the long term learning process (towards a theory) part II: The outline of the long term learning process. Educational Studies in Mathematics, 16(1), 75-94.

상세보기

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

내보내기 구분	파일저장 인쇄 메일전송
구성항목	기본정보 상세정보 관리번호, 논문명, 저널/프로시딩명, 저자 , 발행년, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, 발행기관 관리번호, 논문명, 대등논문명, 저자 , 저널/프로시딩명, 발행기관, 발행년, 발행언어, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, ISBN, ISSN, 주제분야, 키워드, 초록(한글), 초록(영문), 저자(소속기관)
저장형식	Text(ASCII format) Excel format RefWorks Direct Export RIS format (for Reference Manager, ProCite, EndNote), Scholar's Aids, Mendeley
메일정보	받는사람 (필수) @ 보내는사람 (선택) @ 제목 내용 KISTI 검색결과 이메일 서비스
안내	총 건의 자료가 검색되었습니다. 다운받으실 자료의 인덱스를 입력하세요. (1-10,000) 검색결과의 순서대로 최대 10,000건 까지 다운로드가 가능합니다. 데이타가 많을 경우 속도가 느려질 수 있습니다.(최대 2~3분 소요) 다운로드 파일은 UTF-8 형태로 저장됩니다. 파일의 내용이 제대로 보이지 않을실 때는 웹브라우저 상단의 보기 -> 인코딩 -> 자동선택 여부를 확인하십시오. ~ Text(ASCII format) Excel format

연합인증