[논문]점화식 an=an-1+an-3, a1=a2=a3=1의 일반항에 대하여

노문기; 정재훈; 강정기

doi:10.7468/jksmee.2013.27.4.357

점화식 an=an-1+an-3, a1=a2=a3=1의 일반항에 대하여
On the general terms of the recurrence relation an=an-1+an-3, a1=a2=a3=1 원문보기

Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Series E: Communications of Mathematical Education, v.27 no.4, 2013년, pp.357 - 367

노문기 (창원과학고등학교) , 정재훈 (창원중앙고등학교) , 강정기 (남산중학교)

초록
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교사 위주의 수업보다 학생 중심의 탐구 활동이 지속적으로 강조되고 있지만, 이를 실행하기란 쉽지 않은 것이 현실이다. 학생들의 지적 호기심은 주관적이며, 지적 호기심을 충족해주는 것은 교육 과정에 충실한 교육 못지않게 중요하다. 본 연구는 문제를 해결하는 과정에서 얻은 수열로부터 시작되었다. 이 수열은 점화식 $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$ ($n{\geq}4$), $a_1=a_2=a_3=1$으로 표현되었는데, 우리는 이 수열의 일반항을 찾아보고자 시도하였다. 주어진 문제의 점화식은 피보나치 수열의 점화식과 형태는 비슷해 보이지만 일반항을 구하는 과정은 결코 비슷하지 만은 않았다. 각고의 노력 끝에 우리는 같지만 서로 다르게 표현되는 두 개의 아름다운 일반항을 얻을 수 있었다. 본 연구와 같은 탐구과정이 교육 현장에 활력을 불어 넣는 데 일조할 수 있기를 기대한다.

Abstract ▼ AI-Helper

It is important to make students do research for oneself. But the practice of inquiry activity is not easy in the mathematics education field. Intellectual curiosities of students are unpredictable. It is important to meet intellectual curiosities of students. We could get a sequence in the process solving a problem. This sequence was expressed in a form of the recurrence relation $a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$ ($n{\geq}4$), $a_1=a_2=a_3=1$. We tried to look for the general terms of this sequence. This sequence is similar to Fibonacci sequence, but the process finding the general terms is never similar to Fibonacci sequence. We can get two general terms expressed in different form after our a great deal of effort. We hope that this study will give the spot of education energy.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

그리고 이 문제가 곧 점화식 an =an-1+an-3(n ≥ 4), a1 = a2 = a3= 1의 일반항을 구하는 문제임을 확인하였으며, 이것의 일반항을 구하기 위해 유사 문제로 피보나치 수열의 일반항을 구하는 방법을 검토해 보았다.
본 연구에서는 점화식으로부터 일반항을 구하는 문제의 이러한 가치에 입각하여 점화식 an = an-1+an-3 (n ≥ 4), a1 = a2 = a3= 1의 일반항을 구하는 두 가지 방법을 모색해 보았다.
본 절에서는 Binet이 피보나치 수열의 일반항을 구한 방법을 간략하게 소개한다.
본고에서는 점화식 an =an-1+an-3 (n ≥ 4), a1 = a2 = a3= 1의 일반항을 구하는 방법과 그 일반항을 탐구해 보았다.
이 수열에 대해 관심을 가지고 그 일반항을 찾아보고자 하였다. 연구자는 서로 다른 두 가지 방법으로 일반항을 구하였으며, 그 일반항의 모양은 각각 다른 형태의 아름다운 식이었다.
= 1을 얻었다. 이 점화식으로부터 일반항을 구해보고자 시도하여, 이 점화식의 일반항을 구하는 것을 본 연구의 연구문제로 설정하였다. 연구문제의 설정은 자연스러운 탐구 과정이고, 설정된 문제의 해결 또한 고등학교 수준의 수학적 지식을 활용하여 충분히 가능함을 본고에 제시된 증명을 통해 확인할 수 있었다.
이 점화식의 일반항은 ‘조류 문제’로부터 비롯되었으며, 이것을 보다 일반적인 시각에서 해결을 모색해 보고자 하였다.
피보나치 수열은 수학 연구에서 첫 번째로 알려진 점화수열이다(정옥경․김용구^,2008). 이러한 귀납적 수열은 n번째 항을 구하기 위해 n보다 작은 인접한 항을 구해야 하는 번거로움을 지니고 있기 때문에 수학자들은 이들을 일반항으로 표현하고자 하였다. 이러한 요구에 따라 점화식을 일반항으로 표현하는 많은 방법이 계발되었고, 이들 방법은 현재 학교수학에서 지도되고 있다.
이에 본 연구에서는 연구를 위해 엄선한 문제가 아니라, 우리 주위에서 찾을 수 있는 문제로부터 출발하여 이와 같은 탐구를 시도해 보고자 한다. 일반 학생을 대상으로 하기보다, 탐구심이 강하고 지적 호기심이 왕성한 수준급 학생을 염두에 두었으며, 이들에게 탐구의 필요성이나 가치를 인식시키는 기회가 되게 하고자 한다.
이에 본 연구에서는 연구를 위해 엄선한 문제가 아니라, 우리 주위에서 찾을 수 있는 문제로부터 출발하여 이와 같은 탐구를 시도해 보고자 한다. 일반 학생을 대상으로 하기보다, 탐구심이 강하고 지적 호기심이 왕성한 수준급 학생을 염두에 두었으며, 이들에게 탐구의 필요성이나 가치를 인식시키는 기회가 되게 하고자 한다.
즉, 주위에 있는 문제에서 출발하여 ‘100번째 항은?’, ‘일반항은?’ 등과 같은 몇 가지 질문으로 흥미있는 탐구를 유발할 수 있었다. 제기된 질문을 해결하기 위해 제시된 수열의 규칙성을 살피고, 이를 점화식으로 표현하여, 그 일반항을 구해보고자 하였다. 사실 점화식 표현과 일반항은 별개의 문제이며, 우리는 점화식에서 일반항을 구해보고자 하는 것이다.
본 연구의 결과는 2009 개정에 따른 수학과 교육과정에서 증명의 중요성에도 불구하고, 증명 교육이 기대하는 만큼의 효과를 거두지 못함에 따라 형식적이고 엄밀한 증명 대신 추론을 강조하는 시점에서 시사하는 바가 크다. 즉, 본 연구는 객관식 위주의 평가로 학생들의 논리력이 약화되는 현 시점에서 추론과 그것의 검증을 위한 논리의 중요성을 일깨워 준다. 또한 본 연구의 탐구 과정은 지적 호기심이 왕성한 학생들을 대상으로 자신만의 문제제기와 아이디어 설정을 통해 문제 해결을 추구하여, 만들어 가는 수학의 경험을 일깨워 준다는 점에서 수학교육에서 시사하는 바가 크다 하겠다.
피보나치 수열의 정의 F1 = 1, F2 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 3)에서 일반항 Fn을 계산하기 위해서는 n보다 작은 항들의 수를 모두 계산해야 하는 번거로움이 있었기 때문에, 이러한 지루함을 해소하기 위해 일반항이 무엇인지 밝혀보고자 하였다.

제안 방법

몇 차례 어려움을 겪기도 하였지만, 이들을 극복해가면서 문제해결에 도달할 수 있었다. 그리고 간단한 형태로 표현하기 위해 많은 노력을 기울여 주어진 점화식의 일반항을 서로 다른 두 가지 표현으로 제시하였다. 이 두 가지 표현은 Binet이 제시한 피보나치 수열의 일반항처럼 이를 통해 100번째 항을 구하기는 쉽지 않지만 단순하고 아름답게 표현되어 있기에 수학적으로 의미 있다고 생각되어 진다.
그리고 이 문제가 곧 점화식 a_n =a_n-1+a_n-3(n ≥ 4), a₁ = a₂ = a₃= 1의 일반항을 구하는 문제임을 확인하였으며, 이것의 일반항을 구하기 위해 유사 문제로 피보나치 수열의 일반항을 구하는 방법을 검토해 보았다. 그리고 이를 통해 두 가지 방법으로 주어진 점화식의 일반항을 구해 보았다.
본 장에서는 점화식 an = an-1 + an-3(n ≥ 4), a1 = a2 = a3 = 1의 일반항을 구하는 문제의 배경을 소개하며, 이 점화식의 일반항을 구하는 두 가지 방법을 제시하였다.
그리고 이러한 피보나치 수열은 다양한 성질과 응용력으로 인하여 수업에 활용할 수 있는 탐구 요소가 풍부하다. 뿐만 아니라 이 수열의 변형을 생각해 볼 수 있으며, 루카스는 피보나치 수열을 변형하여 루카스 수열을 만들고 이를 탐구하였다. 본고에서는 점화식 a_n =a_n-1+a_n-3 (n ≥ 4), a₁ = a₂ = a₃= 1의 일반항을 구하는 방법과 그 일반항을 탐구해 보았다.
이 수열에 대해 관심을 가지고 그 일반항을 찾아보고자 하였다. 연구자는 서로 다른 두 가지 방법으로 일반항을 구하였으며, 그 일반항의 모양은 각각 다른 형태의 아름다운 식이었다.

이론/모형

= 1의 해를 생성함수를 이용하여 구해 보자. 그 방법은 이지윤(2006)을 참고하였다.

성능/효과

또한 본 연구에서 제시한 일반화의 과정은 엄선한 문제가 아니라, 주위에서 접하는 문제로부터 시작하여, 그러한 문제에서도 충분히 탐구할 수 있음을 보여주었다. 즉, 주위에 있는 문제에서 출발하여 ‘100번째 항은?’, ‘일반항은?’ 등과 같은 몇 가지 질문으로 흥미있는 탐구를 유발할 수 있었다.
본고에서는 어떤 문제를 해결하는 과정에서 이 문제를 보다 일반적으로 해결해 보고자 항 사이의 관계를 기술한 결과 피보나치 수열의 점화식 및 루카스 수열의 점화식과 비슷한 점화식 an =an-1+an-3(n ≥ 4), a1 = a2 = a3 = 1을 얻었다.
= 1와 같은 또 다른 점화식의 일반항을 구하는 문제를 설정하며 해결하는 생각을 갖게 할 수 있을 것으로 기대된다. 뿐만 아니라 본고의 소재가 우수한 영재 학생들의 수학적 탐구력을 자극하고, 새로운 발견에 도달하게 되었을 때의 성취감을 경험할 수 있게 하고, 문제 해결을 보다 정교하게 다듬는 기회를 제공할 수 있는 좋은 자료가 될 수 있음을 확인하였다.
이 점화식으로부터 일반항을 구해보고자 시도하여, 이 점화식의 일반항을 구하는 것을 본 연구의 연구문제로 설정하였다. 연구문제의 설정은 자연스러운 탐구 과정이고, 설정된 문제의 해결 또한 고등학교 수준의 수학적 지식을 활용하여 충분히 가능함을 본고에 제시된 증명을 통해 확인할 수 있었다. 한편 이러한 결과는 학생들의 수학적 탐구력을 자극하고, 새로운 발견에 도달하게 되었을 때의 성취감을 경험할 수 있게 할 것이다.

후속연구

또한 문제 해결을 보다 정교하게 다듬는 기회를 제공할 수 있는 좋은 자료가 될 수 있을 뿐만 아니라 이런 과정을 목도하는 교사에게도 흥미로운 사실이 될 것이다.
즉, 본 연구는 객관식 위주의 평가로 학생들의 논리력이 약화되는 현 시점에서 추론과 그것의 검증을 위한 논리의 중요성을 일깨워 준다. 또한 본 연구의 탐구 과정은 지적 호기심이 왕성한 학생들을 대상으로 자신만의 문제제기와 아이디어 설정을 통해 문제 해결을 추구하여, 만들어 가는 수학의 경험을 일깨워 준다는 점에서 수학교육에서 시사하는 바가 크다 하겠다.
본 연구의 소재는 영재 학생들을 위한 좋은 교육적 소재가 될 수 있을 것으로 생각되며, 또한 이 소재를 통한 교육적 경험은 스스로 an = an-2+an-3 (n ≥ 4), a1 = a2 = a3= 1와 같은 또 다른 점화식의 일반항을 구하는 문제를 설정하며 해결하는 생각을 갖게 할 수 있을 것으로 기대된다.
한편, 본 연구에서는 학교수학에서 다루지 않는 생성함수의 개념을 통해 일반항을 구하는 과정을 제시하였는데, 이 개념을 지적 호기심이 왕성한 학생들에게 제시하여 탐구를 유발하는 것이 필요하다고 생각된다. 생성함수를 이용한 방법은 부분분수 분해와 무한급수 개념의 연결을 통해 나타난 것이므로, 학교수학에서 교사의 적절한 안내에 의해 충분히 다룰 수 있는 내용이며, 아울러 관련 개념의 응용을 경험할 수 있는 소재가 될 수 있을 것이다. 이때 주어진 무한급수의 수렴값을 구하는 것이 아니라, 수렴값을 무한급수화하는 역의 과정이 필요하므로 무한급수의 수렴성에 대한 등호 구조를 대칭적 구조로서 인식할 수 있는 지도가 수반되어야 할 것이다.
생성함수를 이용한 방법은 부분분수 분해와 무한급수 개념의 연결을 통해 나타난 것이므로, 학교수학에서 교사의 적절한 안내에 의해 충분히 다룰 수 있는 내용이며, 아울러 관련 개념의 응용을 경험할 수 있는 소재가 될 수 있을 것이다. 이때 주어진 무한급수의 수렴값을 구하는 것이 아니라, 수렴값을 무한급수화하는 역의 과정이 필요하므로 무한급수의 수렴성에 대한 등호 구조를 대칭적 구조로서 인식할 수 있는 지도가 수반되어야 할 것이다. 교육 과정에 제시되지 않는 개념이라고 해서 무조건적으로 지도하지 않는 것은 바람직스럽지 못하며, 그 개념을 학습할 준비가 되어 있고 학습 의욕이 충만한 학생들에게는 개념 지도를 통해 새로운 방향의 탐구를 유발할 수 있도록 안내할 필요가 있다.
따라서 학습 의욕이 왕성한 학생들의 지적 호기심을 충족시켜주기 위해, 교사들은 교육 과정에서 흔히 접하는 소재들의 발전 가능성을 인식하고 준비해야 할 것이다. 이런 점에서 피보나치 수열이 변형된 점화식을 대상화하여 다룬 본 연구는 학생들의 지적 호기심에 대응하는 교사들의 준비에 도움이 될 수 있을 것으로 생각된다.
연구문제의 설정은 자연스러운 탐구 과정이고, 설정된 문제의 해결 또한 고등학교 수준의 수학적 지식을 활용하여 충분히 가능함을 본고에 제시된 증명을 통해 확인할 수 있었다. 한편 이러한 결과는 학생들의 수학적 탐구력을 자극하고, 새로운 발견에 도달하게 되었을 때의 성취감을 경험할 수 있게 할 것이다. 또한 문제 해결을 보다 정교하게 다듬는 기회를 제공할 수 있는 좋은 자료가 될 수 있을 뿐만 아니라 이런 과정을 목도하는 교사에게도 흥미로운 사실이 될 것이다.
한편, 본 연구에서는 학교수학에서 다루지 않는 생성함수의 개념을 통해 일반항을 구하는 과정을 제시하였는데, 이 개념을 지적 호기심이 왕성한 학생들에게 제시하여 탐구를 유발하는 것이 필요하다고 생각된다. 생성함수를 이용한 방법은 부분분수 분해와 무한급수 개념의 연결을 통해 나타난 것이므로, 학교수학에서 교사의 적절한 안내에 의해 충분히 다룰 수 있는 내용이며, 아울러 관련 개념의 응용을 경험할 수 있는 소재가 될 수 있을 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	피보나치 수열의 개념이 처음으로 기록된 산반서의 토끼 문제는 무엇인가?	피보나치 수열의 개념은 1202년에 간행된 피보나치의 유명한 저서 산반서(算盤書, Liber abaci)에 나오는 토끼 문제에서 비롯되었다. 토끼 문제는 “한 쌍의 새끼 토끼가 한 달이 되면 어미가 되고 어미가 되면 매월 한 쌍의 새끼를 낳는다고 하면 처음 한 쌍의 새끼 토끼로부터 1년 뒤에는 모두 몇 쌍의 토끼가 있게 되는가?”이다 (Dunlap, 1997). 이 문제로부터 피보나치 수열로 알려진 점화식 Fn+2 = Fn+1 + Fn, F1=F2=1 이 나타나게 되었다.
	피보나치 수열은 수학뿐 아니라 어떤 분야와도 연계되어 있는가?	피보나치 수열에 대한 이러한 연구 동향은 1963년에 Hoggatt 박사와 Brousseau 박사를 중심으로 피보나치 협회(The Fibonacci Association)의 창설과 수학 저널 피보나치 쿼털리(The Fibonacci Quarterly)의 간행으로 이어질 만큼 피보나치 수열은 수학에서 관심의 대상이었다(Wikipedia, 2012). 이러한 피보나치 수열은 현재 수학뿐 아니라 자연 현상과 생물체, 예술과 건축물, 음악과 시, 과학과 공학 등의 분야와 연계되어 광범위하게 연구 되고 있다. 이에 대해 Garland(1987)는 피보나치 수열은 수학적 연구의 보고라고 지적하기도 하였다.
	피보나치 수열은 수학에서 어떤 존재인가?	피보나치(Fibonacci) 수열은 수학에서 가장 간단하고 단순하면서도 심오한 이론을 가진 문제 중 하나이며, 수학의 아름다움을 추구하는 대상이기도 하다. 그럼에도 불구하고 현재 우리나라에는 피보나치 수열과 관련된 연구 자료가 많지 못하며, 또한 고등학교 수학 교과서에서 사고력과 문제 해결 능력을 신장시키기 위해 피보나치 수열이 연구과제 또는 수학 산책과 같은 난에 단편적으로 소개되고 있는 실정이다(양영오․김태오, 2008).

참고문헌 (13)

김익표 (2010). 안내된 재발명을 포함한 탐구-중심 수업이 학생들의 수학적 활동에 미치는 영향에 관한 사례연구. 한국수학교육학회지 시리즈 A , 49(2), 223-246.
양영오？김태호 (2008). 피보나치 수열의 일반화에 관한 고찰. 한국수학사학회지, 21(4), 87-104.
이지윤 (2006). 점화식과 생성함수의 지도 방법에 대하여. 인제대학교 석사학위논문.
정관훈 (2003). 점화식 수열의 효과적인 지도 방안. 충북대학교 석사학위논문.
정옥경？김용구 (2008). 피보나치수열을 이용한 학습자료 개발. 과학교육연구지, 32(1), 41-54.
조은령 (2008). 점화식의 유형별 일반해법에 관한 연구. 한국외국어대학교 석사학위논문.
Dunlap, R. A. (1997). The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. World Scientific.
Garland, T. H. (1987). Fascinating Fibonaccis: Mystery and Magic in Numbers. Dale Seymour.
Goos, M. (2004). Learning Mathematics in a Classroom Community of Inquire, Journal for Research in Mathematics Education, 35(4), 258-291.

상세보기
Hoggatt, Jr. Verner E. (1969). Fibonacci and Lucas Numbers. Houghton Mifflin Co.
Vorob'ev, N. N. (1961). Fibonacci Numbers. New York: Blasidell Pub. Co.
Wikipedia (2012). http://en.wikipedia.org/wiki/The_Fibonacci_Association.
Wikipedia (2013). http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8E%98%EB%A5%B4%EB%A7%88%EC%9D%98_% EB%A7%88%EC%A7%80%EB%A7%89_%EC%A0%95%EB%A6%AC

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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