통합형 수리논술 지도 사례 - 구체물과 공학적 도구를 활용한 원뿔곡선 수업 - A Case Study of Teaching Mathematics for Integrated Essay Education: Instruction of Conic Section using Concrete Materials and Technology원문보기
대학 입학 전형에서 통합 논술이 시행되면서 학교 교사나 학생들은 통합 논술의 중요성을 인식하고 필요하다고 생각하지만 실제 교사들은 지도 방법의 어려움을 갖고 있다. 본 연구는 예비수학교사를 대상으로 통합 논술 지도를 위한 수업의 사례를 통해 교육적 시사점을 도출해보고자 한다. 수업은 내용 지식으로서 수학에서의 원뿔곡선의 정의와 안테나 반사판의 설계에 적용된 원뿔곡선의 반사 성질을 주제로 하고, 수학사, 구체물, 종이접기, 컴퓨터 등을 이용하여 학생들이 원뿔곡선의 정의와 성질을 발견하게 하였다. 이러한 교수 학습 과정에서 학생들은 수학사를 통해 수학적 지식이 인간에 의해서 발명되었음을 이해할 수 있고, 정의나 명제를 만들고 정당화 해봄으로써 수학적 명제의 타당성을 평가할 수 있을 것이다. 또한, 발견한 성질들 사이의 관계를 논리적으로 기술할 수 있으며, 정당화 과정에서 이유나 근거를 설득력 있게 기술할 수 있다. 통합 논술을 지도함에 있어서 내용에 따라 다양한 접근의 수업 자료와 지도 방법에 대한 연구가 계속되어야 할 것이다.
대학 입학 전형에서 통합 논술이 시행되면서 학교 교사나 학생들은 통합 논술의 중요성을 인식하고 필요하다고 생각하지만 실제 교사들은 지도 방법의 어려움을 갖고 있다. 본 연구는 예비수학교사를 대상으로 통합 논술 지도를 위한 수업의 사례를 통해 교육적 시사점을 도출해보고자 한다. 수업은 내용 지식으로서 수학에서의 원뿔곡선의 정의와 안테나 반사판의 설계에 적용된 원뿔곡선의 반사 성질을 주제로 하고, 수학사, 구체물, 종이접기, 컴퓨터 등을 이용하여 학생들이 원뿔곡선의 정의와 성질을 발견하게 하였다. 이러한 교수 학습 과정에서 학생들은 수학사를 통해 수학적 지식이 인간에 의해서 발명되었음을 이해할 수 있고, 정의나 명제를 만들고 정당화 해봄으로써 수학적 명제의 타당성을 평가할 수 있을 것이다. 또한, 발견한 성질들 사이의 관계를 논리적으로 기술할 수 있으며, 정당화 과정에서 이유나 근거를 설득력 있게 기술할 수 있다. 통합 논술을 지도함에 있어서 내용에 따라 다양한 접근의 수업 자료와 지도 방법에 대한 연구가 계속되어야 할 것이다.
As integrated essay writing is performed in university entrance examinations, teachers and students recognize the importance of integrated essay, but teachers have still difficulties of teaching methods. The purpose of this study is to derive educational implications through case of mathematics inst...
As integrated essay writing is performed in university entrance examinations, teachers and students recognize the importance of integrated essay, but teachers have still difficulties of teaching methods. The purpose of this study is to derive educational implications through case of mathematics instruction for integrated essay education to pre-service mathematics teachers. The content knowledge of this class is a definition of conic section in mathematics and properties of conic section in an antenna reflector. The students have to discover them using the history of math, manipulative material, paper-folding and computer simulation. In this teaching and learning process the students can realize mathematical knowledge invented by humans through history of mathematics. The students can evaluate the validity of that as create and justify a mathematical proposition. Also, the students can explain the relation between them logically and descript cause or basis convincingly in the process of justifying. We should keep our study to instructional materials and teaching methods in integrated essay education.
As integrated essay writing is performed in university entrance examinations, teachers and students recognize the importance of integrated essay, but teachers have still difficulties of teaching methods. The purpose of this study is to derive educational implications through case of mathematics instruction for integrated essay education to pre-service mathematics teachers. The content knowledge of this class is a definition of conic section in mathematics and properties of conic section in an antenna reflector. The students have to discover them using the history of math, manipulative material, paper-folding and computer simulation. In this teaching and learning process the students can realize mathematical knowledge invented by humans through history of mathematics. The students can evaluate the validity of that as create and justify a mathematical proposition. Also, the students can explain the relation between them logically and descript cause or basis convincingly in the process of justifying. We should keep our study to instructional materials and teaching methods in integrated essay education.
* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.
문제 정의
교육부와 교육청에서는 통합 논술 지도 방법을 안내하는 직무연수를 실시하고, 통합 논술 교재를 개발 및 보급하였으며, 사이버 논술 지도 프로그램을 개발하였다. 또한 고등학교 교육과정에 논술 과목을 설치하는 것과 교사 양성 과정에서 통합 논술 지도교사를 양성하도록 하는 방안을 제시하였다. 이에 모든 사범대학에서 각 교과의 논리 및 논술 교과가 신설되고 교원자격검정 대상 학생들에게는 필수적으로 이수해야하는 과목이 되었다.
본 연구는 예비수학교사에게 통합 논술 지도를 위한 수업의 예를 고안하여 실행하였다. 본 연구에서 실행한 수업의 예는 예비수학교사들이 중등수학의 학습내용을 타 교과와 통합하여 이해함과 동시에 장차 학교현장에서 통합 논술을 지도하게 될 때 계속해서 새로운 지도법에 관심을 갖고 연구하게 하는 것을 목적으로 하고 있다.
본 연구는 예비수학교사에게 통합 논술 지도를 위한 수업의 예를 고안하여 실행하였다. 본 연구에서 실행한 수업의 예는 예비수학교사들이 중등수학의 학습내용을 타 교과와 통합하여 이해함과 동시에 장차 학교현장에서 통합 논술을 지도하게 될 때 계속해서 새로운 지도법에 관심을 갖고 연구하게 하는 것을 목적으로 하고 있다.
이러한 지식과 정보의 유추, 추론, 종합, 분석, 비판을 쓰기로 표현하기 위한 전략으로서 방법적 지식에 대한 학습이 함께 이루어질 때 바람직한 논술 수업이 될 것이라 생각한다. 본 연구에서는 교과간의 통합 논술의 측면에서 교과 내용을 서로 관련지어서 유추, 추론, 종합, 분석 등의 사고를 하게 함으로써 지식 범주에 해당하는 명제적 지식과 방법적 지식을 교육하는데 중점을 두었다.
그 다음 포물선의 접선을 접어서 포물선의 윤곽이 보여지는 종이 접기를 하게 하였다. 여기서는 학생들이 포물선의 모양을 발견하고, 왜 포물선이 되는지 그 이유를 정당화 하는데 중점을 두었다. 마찬가지로 원, 타원, 쌍곡선의 접선에 대해서는 컴퓨터를 이용하여 보여주고, 각각이 왜 그렇게 되는지 정당화하게 하게 하면서 컴퓨터를 직접 이용할 수 있도록 하였다.
마지막으로 안테나에서 빛이 반사되는 경로를 컴퓨터 시뮬레이션으로 제공해 주고, 학생들이 빛의 경로를 통해 원뿔곡선 각각의 성질을 발견하고 정당화하게 하는데 중점을 두었다. 이렇게 원뿔곡선이 다른 분야에서 응용되고 있음을 설명하고 또 다른 분야에서 적용되는 예를 찾아 논의 하도록 하였다. 이 모든 과정을 각자 논리적으로 서술하도록 하였다.
이에 본 연구는 예비수학교사를 대상으로 통합 논술 지도를 위한 수업의 사례를 통해 교육적 시사점을 도출 해보고자 한다. 수업은 내용 지식을 중심으로 수학에서의 원뿔곡선의 정의와 안테나 반사판의 설계에 적용된 원뿔곡선의 반사 성질을 소재로 하고, 학생들은 원뿔곡선의 정의와 성질을 발견하는 과정과 정당화하는 과정을 글 쓰기로 표현할 수 있도록 하였다.
제안 방법
본 연구에서는 역사적 사실을 통해 원뿔곡선의 기하학적 의미를 파악하고 차이점을 인식하게 하고, 구체물 관찰을 통해 차이점을 찾아 정의를 만들게 하였다. 그 다음 종이접기나 컴퓨터 프로그램을 이용하여 원뿔곡선의 접선을 그리고 원뿔곡선의 정의를 이용하여 정당화하게 하였다. 또한 안테나 반사기에서 전파 경로를 관찰하고 원뿔곡선의 성질을 명제화 하게하고 이에 대해 정당화하게 하였다.
원뿔곡선들 간의 차이를 설명하게 하기 위해 발문을 하고 학생들 간의 토의를 유도하였다. 그 다음 포물선의 접선을 접어서 포물선의 윤곽이 보여지는 종이 접기를 하게 하였다. 여기서는 학생들이 포물선의 모양을 발견하고, 왜 포물선이 되는지 그 이유를 정당화 하는데 중점을 두었다.
그 다음 종이접기나 컴퓨터 프로그램을 이용하여 원뿔곡선의 접선을 그리고 원뿔곡선의 정의를 이용하여 정당화하게 하였다. 또한 안테나 반사기에서 전파 경로를 관찰하고 원뿔곡선의 성질을 명제화 하게하고 이에 대해 정당화하게 하였다. 끝으로 원뿔곡선이 다른 분야에 적용되는 예를 찾아 토론하게 하였다.
마찬가지로 원, 타원, 쌍곡선의 접선에 대해서는 컴퓨터를 이용하여 보여주고, 각각이 왜 그렇게 되는지 정당화하게 하게 하면서 컴퓨터를 직접 이용할 수 있도록 하였다. 마지막으로 안테나에서 빛이 반사되는 경로를 컴퓨터 시뮬레이션으로 제공해 주고, 학생들이 빛의 경로를 통해 원뿔곡선 각각의 성질을 발견하고 정당화하게 하는데 중점을 두었다. 이렇게 원뿔곡선이 다른 분야에서 응용되고 있음을 설명하고 또 다른 분야에서 적용되는 예를 찾아 논의 하도록 하였다.
예비수학교사를 대상으로 3차시의 수업을 진행하였다. 먼저 원뿔곡선의 발생과 관련된 역사적 이야기를 소개하고, [그림 7]과 같은 원뿔곡선 교구를 제공해 주었다. 원뿔곡선들 간의 차이를 설명하게 하기 위해 발문을 하고 학생들 간의 토의를 유도하였다.
본 연구에서 실행한 수업의 예는 단지 수학과 공학의 통합적 측면을 다루고 있다. 내용에 따라 다양한 접근으로 시도함으로서 새로운 수업 자료와 지도 방법에 대한 연구가 계속되어야 할 것이며 수학교사들 간에 활발히 공유되어야 할 것이다.
본 연구에서는 역사적 사실을 통해 원뿔곡선의 기하학적 의미를 파악하고 차이점을 인식하게 하고, 구체물 관찰을 통해 차이점을 찾아 정의를 만들게 하였다. 그 다음 종이접기나 컴퓨터 프로그램을 이용하여 원뿔곡선의 접선을 그리고 원뿔곡선의 정의를 이용하여 정당화하게 하였다.
#의 수직이등분 선 l을 작도한다. 여기서 점 A가 원 위에서 움직일 때 직선 l의 자취를 관찰하게 하였다.
먼저 원뿔곡선의 발생과 관련된 역사적 이야기를 소개하고, [그림 7]과 같은 원뿔곡선 교구를 제공해 주었다. 원뿔곡선들 간의 차이를 설명하게 하기 위해 발문을 하고 학생들 간의 토의를 유도하였다. 그 다음 포물선의 접선을 접어서 포물선의 윤곽이 보여지는 종이 접기를 하게 하였다.
이와 같은 과정을 거쳐서 학생이 종이접기를 통해 포물선임을 보인 것이 [그림 8]이다. 준선 위에 점 C를 잡고 점 C와 점 F가 포개어지도록 종이를 접어서 선분 CF의 수직이등분선을 그렸다. 또 점 C에서 준선이 서로 포개어지도록 접어서 점 C에서의 수선을 그렸다.
마이크로파는 빛과 마찬가지로 직진하고 장애물이 있으면 반사한다. 컴퓨터 프로그램을 이용하여 안테나에서의 전파 경로를 동적으로 제시해 주었다. 학생들이 전파의 투입과 반사 경로를 관찰하면서 원뿔곡선의 반사 성질을 말하고 그것을 정당화하게 하였다.
학생들은 구체물을 통해 원뿔곡선의 생성 과정을 이해하고 그들 간의 차이를 인식하여 구분하였다. 학생들이 발견하는 첫 번째는 쌍곡선은 두 개가 짝을 이룬다는 점이다.
컴퓨터 프로그램을 이용하여 안테나에서의 전파 경로를 동적으로 제시해 주었다. 학생들이 전파의 투입과 반사 경로를 관찰하면서 원뿔곡선의 반사 성질을 말하고 그것을 정당화하게 하였다. 이때, 형식적인 정당화로서 공리적 방법으로 기술하는 것뿐만 아니라 경험적 정당화와 증명의 아이디어를 논리적으로 기술하는 것도 허용하였다.
대상 데이터
1995년에 발사된 무궁화 위성에 탑재되는 안테나로 사용된 그레고리안 안테나의 주반사판은 포물 면이고 부반사판은 타원면이다. 타원면의 한 초점은 1차 복사기의 개구면(Of)에 위치하고 있고 다른 한 초점은 주반사판의 초점(O)과 일치한다(이동진, 2008).
예비수학교사를 대상으로 3차시의 수업을 진행하였다. 먼저 원뿔곡선의 발생과 관련된 역사적 이야기를 소개하고, [그림 7]과 같은 원뿔곡선 교구를 제공해 주었다.
후속연구
본 연구에서 실행한 수업의 예는 단지 수학과 공학의 통합적 측면을 다루고 있다. 내용에 따라 다양한 접근으로 시도함으로서 새로운 수업 자료와 지도 방법에 대한 연구가 계속되어야 할 것이며 수학교사들 간에 활발히 공유되어야 할 것이다.
이러한 교수·학습 과정에서 수학사를 통해 수학적 지식이 인간에 의해서 발명되었음을 이해할 수 있다. 또 학생들이 정의나 명제를 만들고 그것에 대해 정당화 해봄으로써 수학적 명제의 타당성을 평가할 수 있을 것이다. 이러한 과정에서 범교과적 지식이나 정보를 유추하고 추론하면서 새로운 관계를 찾아 논리적으로 기술하고, 정당화 과정에서 요구되는 전제, 이유, 근거 등을 분석하고 종합하여 설득력 있게 기술 할 수 있다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
수리논술이 도입 실시된 배경은 무엇인가?
2008학년도 대입 전형 기본계획(교육인적자원부, 2006)에서 수능 9등급제를 도입함에 따라 수능이 차지하는 영향력이 약화되고 그 대신 대학별 고사가 본격적으로 시행되면서 2008학년도 자연계열 입시부터 교과 간 통합을 바탕으로 한 수리논술(이하 통합 논술)이 도입 실시되었다. 이는 비판적 사고력, 논리적 사고력, 창의적 문제 해결력 등 고등 사고 능력을 평가함으로써 미래사회가 요구하는 우수한 학생을 선발하기 위함이다.
수리논술교육의 장애 요인은 무엇인가?
한편 교사는 통합 논술 지도 방법에 대해 배운 적이 없어서 어떻게 지도해야 할지 모른다는 입장이다. 실제 로 손상원(2010) 연구에서 수리논술교육의 장애요인으로 교사의 경우 수리논술을 어떻게 가르쳐야 하는가에 대한 지도 방향의 부재, 적절한 교재의 부재, 통합교과적 부분에 대한 지도 어려움 등이 가장 많았다.
수리논술을 도입한 이유는 무엇인가?
2008학년도 대입 전형 기본계획(교육인적자원부, 2006)에서 수능 9등급제를 도입함에 따라 수능이 차지하는 영향력이 약화되고 그 대신 대학별 고사가 본격적으로 시행되면서 2008학년도 자연계열 입시부터 교과 간 통합을 바탕으로 한 수리논술(이하 통합 논술)이 도입 실시되었다. 이는 비판적 사고력, 논리적 사고력, 창의적 문제 해결력 등 고등 사고 능력을 평가함으로써 미래사회가 요구하는 우수한 학생을 선발하기 위함이다. 또한 타 교과와의 통합형을 추구하여 특정 과목에 편중되지 않은 초·중등 교육의 정상화를 위한 것이기도 하다.
참고문헌 (12)
교육과학기술부 (2009). 2009년도 교원자격검정 실무편람, 교육과학기술부.
교육인적자원부 (2006), 2008학년도 대학입학전형기본계획, 교육인적자원부.
류황 (1997). Jacobi-Bessel 급수를 이용한 옵셑 그레고리안 안테나의 복사특성 해석, The Journal of Engineering Vol.1, No.1, 배재대학교.
박영민 (2006). 쓰기 교육에서 지식의 범주와 교육 내용의 구조. 국어교육학연구 제25집.
박영배 (2004). 수학 교수.학습의 구성주의적 전개, 서울: 경문사.
손상원 (2010). 수리논술에 관한 효율적인 지도방안 연구, 부산대학교 대학원 석사학위논문.
이우상 (2005). Spillover 억제를 위한 HPM용 카세그레인 반사판 안테나 설계에 관한 연구, 연세대학교 대학원 석사학위논문.
이동진 (2008). 위성통신용 고효율 오프셋 그레고리안 반사경 안테나 설계, 단국대학교 대학원 박사학위논문.
Carl B. Boyer & Uta C. Merzbach (1968). A History of Mathematics. 양영오, 조윤동 역(2000), 수학의 역사 상, 서울: 경문사.
Emig. J. (1977). Writing as model of learning, College Composition and Communication Vol 28, No. 2. (pp.122-128).
※ AI-Helper는 부적절한 답변을 할 수 있습니다.