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문제 정의
- 본 연구는 초등학교 3학년 학생들의 곱셈적 사고 수준을 알아보고, 학생들의 곱셈적 사고 수준에 따른 비례 문제 해결 방법을 분석하는 것을 목적으로 한다. 이를 위해 곱셈 검사지, 비례 검사지, 면담이 이루어졌는데, 우선 곱셈 설문지를 통해 3학년 학생들의 곱셈적 사고 수준을 파악하였으며, 이를 통해 선별된 6명의 학생들에게 비례 설문지 및 면담을 실시하여 사고 과정을 면밀히 분석하였다.
- 본 연구는 학생들의 곱셈적 사고를 조사하고, 곱셈적 사고 수준에 따라 비례 추론 문제 해결 능력이 어떠한지 살펴보고자 한다. 이를 위해 초등학교 3학년 학생들을 연구 대상으로 하였다.
- 여러 학자들이 비례 추론을 연구하고 그 개념이 무엇인지 정확하게 밝히고자 했다. 예를 들어, Inhelder와 Piaget(1958)는 두 비 사이의 이차적 관계를 포함하는 것을 비례 추론으로 보았으며, Lamon(2007)은 공변과 불변을 동시에 포함하고 있는 상황에서 구조적 관계를 인식하고 이를 지지하는 추론을 비례 추론이라 제시하였다.
- 이에 부합하여, 학생들이 덧셈적 사고에서 곱셈적 사고로 이행해 가는 과정을 살펴보고 수준을 나눈 연구의 예로 Clark와 Kamii(1996)의 연구가 있다. 이 연구에서는 미국의 한 국립학교의 초등학교 1-5학년 336명의 학생들에게 곱셈 과제를 제시하고 그 결과를 분석하여 수준을 나누었다. 연구 결과, 4가지 수준으로 분류할 수 있었는데, 예를 들어 가장 낮은 1수준은 수치나 연산에 대한 언급 없이 오직 질적으로 생각하는 수준이었으며, 가장 높은 수준은 대상 사이의 관계를 곱셈적으로 생각하는 수준이었다.
- 그 뒤, 각 수준의 학생들 중 몇 명을 선택하여 곱셈적 사고가 비례 문제 해결 과정에서 어떻게 발현되는지, 곱셈적 사고 수준의 차이에 따른 비례 문제 해결 능력의 차이가 발생하는지를 면밀히 살펴보았다. 이와 같은 연구를 통해 후속학습의 기초로서의 곱셈적 사고의 신장을 위한 지도 방향에 대한 시사점을 얻고자 한다.
- 이와 같은 연구의 필요성에 의해 본 연구에서는 학생들의 곱셈적 사고 수준에 대한 실태를 조사하고, 비례 문제 해결 과정에서 이러한 곱셈적 사고가 어떻게 발현되는지 살펴보고자 한다. 이를 위해 우선 초등학교 3학년 학생들을 대상으로 이들의 곱셈적 사고를 분석하고 이를 몇 개의 수준으로 분류하였다.
제안 방법
- 곱셈 검사지는 Sinclair(1977)와 Steffe(1994)가 교수 실험에서 사용한 과제를 변형하여 제작하였다().
- 곱셈 문제 해결과정에서 드러난 4가지 사고 수준의 학생들 중 질적 수준을 제외한 나머지 세 수준에서 각각 2명의 학생을 선정하여 이 비례 검사지를 투입하고 해결 과정을 면밀히 살펴보았다. 연구 문제 1에서 분류한 사고 수준Ⅰ의 학생들은 아직 수나 양에 대한 인식이 부족하며, 덧셈과 곱셈의 기본 연산도 제대로 수행하지 못하기 때문에 비례 검사지를 해결하는 것이 부족하다고 생각되었기 때문에 연구문제 2의 대상자에서 이 수준의 학생은 제외시켰다.
- 이를 위해 우선 초등학교 3학년 학생들을 대상으로 이들의 곱셈적 사고를 분석하고 이를 몇 개의 수준으로 분류하였다. 그 뒤, 각 수준의 학생들 중 몇 명을 선택하여 곱셈적 사고가 비례 문제 해결 과정에서 어떻게 발현되는지, 곱셈적 사고 수준의 차이에 따른 비례 문제 해결 능력의 차이가 발생하는지를 면밀히 살펴보았다. 이와 같은 연구를 통해 후속학습의 기초로서의 곱셈적 사고의 신장을 위한 지도 방향에 대한 시사점을 얻고자 한다.
- 반비례 상황의 미지수 구하기 문제에서 하나의 양이 증가할 때 나머지 양은 줄어든다는 것을 적용하여 문제를 해결했다. 또한 단위 비율이나 변화 비율이 비 정수일 때 이를 동치비로 만든 다음 여기에 정수배를 하여 문제를 해결했다. 아직 비와 비례를 학습하지 않았지만, 이 수준의 학생은 상대적인 사고를 할 수 있으며, 두 수나 양 사이의 곱셈적 관계를 어느 정도 이해하고 있다고 이해할 수 있다.
- 예비 검사 결과를 토대로 수정ㆍ보완하여 완성된 본 검사지를 가지고 검사를 실시하였다. 먼저 곱셈 검사지에 대한 반응을 분석하여 곱셈적 사고 수준을 파악한 후, 각 수준에 해당하는 학생을 2명씩 선발하여 설문과 면담을 통해 비례 검사지의 해결과정을 살펴보았다. 면담에서는 검사지를 통해 드러나지 않은 학생의 사고 과정에 대해 질문하였고, 이는 비디오로 녹화하였다.
- 먼저 곱셈 검사지에 대한 반응을 분석하여 곱셈적 사고 수준을 파악한 후, 각 수준에 해당하는 학생을 2명씩 선발하여 설문과 면담을 통해 비례 검사지의 해결과정을 살펴보았다. 면담에서는 검사지를 통해 드러나지 않은 학생의 사고 과정에 대해 질문하였고, 이는 비디오로 녹화하였다. 이 때 곱셈적 사고의 Ⅰ수준에 해당하는 학생들은 아직 수나 양에 대한 인식이 부족하며 덧셈과 곱셈의 기본 연산도 제대로 수행하지 못하기 때문에, 비례 검사지를 해결할 수 없다고 판단하여 이 수준의 학생은 제외하였다.
- 둘째, 과도기적 사고 수준의 학생은 반비례 상황을 어느 정도 인식할 수 있었으며 동치비를 적용하여 비례 문제를 해결할 수 있었다. 반비례 상황의 미지수 구하기 문제에서 하나의 양이 증가할 때 나머지 양은 줄어든다는 것을 적용하여 문제를 해결했다. 또한 단위 비율이나 변화 비율이 비 정수일 때 이를 동치비로 만든 다음 여기에 정수배를 하여 문제를 해결했다.
- 마지막으로, 본 연구 결과 학생들의 곱셈적 사고 수준에 따라 사용하는 비례 추론 전략 및 발생하는 오류 유형이 다르게 나타났다. 본 연구에서 비례 문제를 해결하기 위해 대부분의 학생들이 사용한 비례 추론 전략은 덧셈적 추론 전략이고, 발생한 오류 유형도 잘못된 덧셈적 추론이다. 수준에 따라 정도의 차이는 있지만 곱셈적 사고 수준의 학생이라도 비례 문제 유형 전반에 걸쳐 덧셈적 추론 전략을 가장 많이 사용했다.
- 비례 추론 능력의 하나로 비례인 상황과 비례가 아닌 상황을 구별할 수 있는 능력도 포함되므로(Lamon, 2007), 비례가 아닌 문제도 포함시켜 검사지를 제작하였다. 비례 문제는 크게 4가지 유형으로 나뉘며, 각각 2문항씩 제시하였다. 개발한 검사 도구 및 분석 도구의 타당성을 높이기 위해 초등수학교육 전문가 5인의 검토를 받았으며, 검사 도구의 신뢰도를 구한 결과 Cronbach α값은 0.
- 한편, 비례 검사지는 Cramer, Post & Currier(1993)와 Van Dooren 외(2003)를 참고하여<표 Ⅲ-2>와 같이 제작하였다. 비례 추론 능력의 하나로 비례인 상황과 비례가 아닌 상황을 구별할 수 있는 능력도 포함되므로(Lamon, 2007), 비례가 아닌 문제도 포함시켜 검사지를 제작하였다. 비례 문제는 크게 4가지 유형으로 나뉘며, 각각 2문항씩 제시하였다.
- 예비 검사 결과를 토대로 수정ㆍ보완하여 완성된 본 검사지를 가지고 검사를 실시하였다. 먼저 곱셈 검사지에 대한 반응을 분석하여 곱셈적 사고 수준을 파악한 후, 각 수준에 해당하는 학생을 2명씩 선발하여 설문과 면담을 통해 비례 검사지의 해결과정을 살펴보았다.
- 셋째, 덧셈적 수준의 학생은 비례 추론 문제 유형에 따라 문제 해결 수행 능력의 차이를 드러냈다. 이 수준의 학생은 4가지 비례 추론 문제 유형 중 질적 예측 및 비교 문제를 가장 잘 수행했으며, 이 때 질적 추론 전략을 사용하였다. 반면 미지수 구하기나 수리적 비교와 같은 문제 유형은 해결하지 못하였으며, 잘못된 덧셈적 전략을 사용하는 것을 발견할 수 있었다.
- 또한 Siemon 외(2006)는 곱셈적 사고의 수준을 판단할 수 있는 틀을 개발했다. 이 연구에서는 우선 가상적으로 9개 수준의 학습 경로(learning trajectories)를 세우고, 다양한 범위의 과제를 만들어 4학년부터 8학년의 1400명의 학생들에게 제시하고 그 반응을 분석하여 최종 8단계의 곱셈적 사고 수준을 제시하였다. 이 곱셈적 사고 발달 단계를 살펴보면 1단계에서 4단계까지는 덧셈적 사고에 의존하여 문제를 해결하며, 5단계부터 8단계까지는 점점 수의 영역을 확장하고 곱셈적 사고로 발달된다.
- 곱셈 문제를 해결하는 과정에서 드러난 학생들의 사고 수준을 구분하기 위한 분석틀은 문헌 검토(Clark & Kamii, 1996; Piaget, 1987; Siemon & Bread, 2006; Steffe, 1994)와 예비 검사 결과를 바탕으로 <표 Ⅲ-3>과 같이 마련하였다. 이러한 분석틀을 근거로 하여 학생들의 사고 수준을 나누어 빈도수와 백분율로 구하고 각 수준별로 학생들의 반응을 예로 들었다. 한편 학생들이 비례 추론 문제를 해결하는 과정에서 사용하는 전략유형은 문헌 검토 및 예비검사 결과를 바탕으로 <표 Ⅲ-4>와 같이 해결 전략 및 오답 유형으로 세분화하여 살펴보았다.
- 본 연구는 초등학교 3학년 학생들의 곱셈적 사고 수준을 알아보고, 학생들의 곱셈적 사고 수준에 따른 비례 문제 해결 방법을 분석하는 것을 목적으로 한다. 이를 위해 곱셈 검사지, 비례 검사지, 면담이 이루어졌는데, 우선 곱셈 설문지를 통해 3학년 학생들의 곱셈적 사고 수준을 파악하였으며, 이를 통해 선별된 6명의 학생들에게 비례 설문지 및 면담을 실시하여 사고 과정을 면밀히 분석하였다.
- 이와 같은 연구의 필요성에 의해 본 연구에서는 학생들의 곱셈적 사고 수준에 대한 실태를 조사하고, 비례 문제 해결 과정에서 이러한 곱셈적 사고가 어떻게 발현되는지 살펴보고자 한다. 이를 위해 우선 초등학교 3학년 학생들을 대상으로 이들의 곱셈적 사고를 분석하고 이를 몇 개의 수준으로 분류하였다. 그 뒤, 각 수준의 학생들 중 몇 명을 선택하여 곱셈적 사고가 비례 문제 해결 과정에서 어떻게 발현되는지, 곱셈적 사고 수준의 차이에 따른 비례 문제 해결 능력의 차이가 발생하는지를 면밀히 살펴보았다.
- 반면, 학생들이 곱셈적 사고가 정립되어있지 못하다면 덧셈적 사고로 인해 비례 추론 문제 해결에서 어려움을 겪게 된다는 것을 알 수 있다. 이에 본 연구에서는 이러한 점을 고려하여 학생들이 비례 추론 문제 해결 과정에서 드러나는 오류 또한 분석하였다.
- 한편 학생들이 비례 추론 문제를 해결하는 과정에서 사용하는 전략유형은 문헌 검토 및 예비검사 결과를 바탕으로 와 같이 해결 전략 및 오답 유형으로 세분화하여 살펴보았다.
대상 데이터
- 이를 위해 대전광역시에 소재한 초등학교 중학생들의 학력수준과 가정의 사회 경제적 수준이 중간 정도에 속하는 지역에 위치하는 5개의 초등학교를 선정한 뒤, 각각의 학교에서 3학년 1개 반씩 총 170명의 학생들을 대상으로 하였다. 곱셈적 사고를 조사하기위한 연구 대상은 이들 170명의 학생들이며, 곱셈적 사고에 따른 비례 추론 능력을 조사하기 위한 연구 대상은 앞선 조사를 통해 밝혀진 곱셈적 사고의 4개의 수준 중 1수준을 제외한 나머지 3개의 수준에서 각각 2명씩 총 6명이다. 여기서 6명의 학생을 질적으로 분석한 이유는 학생들의 비례 문제 해결 과정을 면밀히 살펴보고자 함이나, 적은 수의 인원으로 인해 본 연구 결과를 일반화 하는데에는 한계가 있음을 염두에 두어야 한다.
- 이를 위해 대전광역시에 소재한 초등학교 중학생들의 학력수준과 가정의 사회 경제적 수준이 중간 정도에 속하는 지역에 위치하는 5개의 초등학교를 선정한 뒤, 각각의 학교에서 3학년 1개 반씩 총 170명의 학생들을 대상으로 하였다. 곱셈적 사고를 조사하기위한 연구 대상은 이들 170명의 학생들이며, 곱셈적 사고에 따른 비례 추론 능력을 조사하기 위한 연구 대상은 앞선 조사를 통해 밝혀진 곱셈적 사고의 4개의 수준 중 1수준을 제외한 나머지 3개의 수준에서 각각 2명씩 총 6명이다.
- 본 연구는 학생들의 곱셈적 사고를 조사하고, 곱셈적 사고 수준에 따라 비례 추론 문제 해결 능력이 어떠한지 살펴보고자 한다. 이를 위해 초등학교 3학년 학생들을 연구 대상으로 하였다. 수학과 교육과정에 따르면 2학년에 곱셈 및 곱셈구구, 3학년에 나눗셈 및 곱셈과 나눗셈의 관계, 5학년에 비와 비율, 6학년에 비례식, 연비와 비례 배분이 도입된다.
이론/모형
- 한편, 비례 검사지는 Cramer, Post & Currier(1993)와 Van Dooren 외(2003)를 참고하여와 같이 제작하였다.
성능/효과
- 개발한 검사 도구 및 분석 도구의 타당성을 높이기 위해 초등수학교육 전문가 5인의 검토를 받았으며, 검사 도구의 신뢰도를 구한 결과 Cronbach α값은 0.694로 신뢰할 수 있는 것으로 나타났다.
- 한편 학생들이 비례 추론 문제를 해결하는 과정에서 사용하는 전략유형은 문헌 검토 및 예비검사 결과를 바탕으로 <표 Ⅲ-4>와 같이 해결 전략 및 오답 유형으로 세분화하여 살펴보았다. 결과에 대한 객관도를 알아보기 위하여 연구자를 포함한 3인의 채점자를 선정하여 채점자간 신뢰도를 산출한 결과 각각 0.891, 0.886, 0.893이 나와 채점자간 신뢰도가 있음을 확인할 수 있었다.
- 1%로 가장 높게 나타났다. 그 다음으로 덧셈적으로만 사고하는 Ⅱ수준과 덧셈이 아직도 곱셈 문제 해결에 영향을 주여 덧셈과 곱셈을 혼용하는 Ⅲ수준이 각각 29.4%로 나타났다. 곱셈 단원의 도입과 곱셈 구구의 학습이 초등학교 2학년 시기에 이루어진다는 점으로 미루어볼 때, Ⅱ수준과 Ⅲ수준이 각각 29.
- 넷째, 본 연구 결과 학생들의 곱셈적 사고 수준에 따라 비례 문제 수행 능력에 있어서 차이를 보였다. 즉, 곱셈적 사고 수준 > 과도기적 사고 수준 > 덧셈적 사고 수준의 순으로 비례 추론 문제를 잘 해결했으며, 이 때 덧셈적 사고 수준의 학생은 거의 모든 유형의 비례 문제를 해결하지 못하였다.
- 다섯째, 본 연구 결과 비례 문제 유형에 따라 학생들의 수행 능력의 차이가 있었다. 학생들은 대체적으로 비례와 비례가 아닌 문제를 구별할 수 있었으며, 질적 예측 및 비교하기 문제 > 미지값 구하기 > 수리적 비교의 순으로 문제를 해결했다.
- 둘째, 곱셈적 사고 수준의 학생이 문제 해결 과정에서 잘못된 덧셈적 추론과 그림에 의존한 문제 해결 등의 오류 유형을 확인할 수 있었다. 비록 배 개념과 부분-전체를 이해하고 있는 곱셈적 사고 수준의 학생이더라도 비례 문제를 해결할 때 그림을 그리거나 동수누가로 문제를 해결하였으며, 이 때 이러한 방법들이 도움이 될 때도 있었지만 잘못된 방향으로 가는 경우도 있었다.
- 둘째, 과도기적 사고 수준의 학생은 반비례 상황을 어느 정도 인식할 수 있었으며 동치비를 적용하여 비례 문제를 해결할 수 있었다. 반비례 상황의 미지수 구하기 문제에서 하나의 양이 증가할 때 나머지 양은 줄어든다는 것을 적용하여 문제를 해결했다.
- 둘째, 덧셈적 수준의 학생은 비례 문제를 해결할 때 주로 잘못된 덧셈적 추론을 하는 오류를 보였다. 이 수준의 학생이 가지고 있는 덧셈적 사고로 인해 비례 문제를 올바르게 해결하기 위해 필요한 상대적인 관점의 사고나 두 수나 양의 곱셈적 관계를 인식하는 것으로 나아가는 것을 어렵게 한다.
- 둘째, 본 연구에서 문제 유형에 따라 사고 수준의 분포가 다르게 나타났다. ‘배 개념 알기’문제에서는 곱셈적 사고 수준의 학생들이 과도기적 사고 수준보다 더 많은 비율을 보인 반면, ‘부분-전체 알기’문제는 과도기적 사고 수준의 학생들이 곱셈적 사고 수준보다 더 많은 비율을 차지했다.
- 또한 전체 학생의 약 20%정도가 아직도 덧셈적 사고 수준에 머물러 있었다. 또한 문제 유형에 따라 사고 수준의 분포가 차이가 있다는 것도 알 수 있었다.
- 마지막으로, 본 연구 결과 학생들의 곱셈적 사고 수준에 따라 사용하는 비례 추론 전략 및 발생하는 오류 유형이 다르게 나타났다. 본 연구에서 비례 문제를 해결하기 위해 대부분의 학생들이 사용한 비례 추론 전략은 덧셈적 추론 전략이고, 발생한 오류 유형도 잘못된 덧셈적 추론이다.
- 이 수준의 학생은 4가지 비례 추론 문제 유형 중 질적 예측 및 비교 문제를 가장 잘 수행했으며, 이 때 질적 추론 전략을 사용하였다. 반면 미지수 구하기나 수리적 비교와 같은 문제 유형은 해결하지 못하였으며, 잘못된 덧셈적 전략을 사용하는 것을 발견할 수 있었다. 이는 덧셈적 수준의 학생은 문제에 특정한 수리적 정보가 제시되면 문제 상황보다 문제에 제시된 수에 주목하여 그 수들을 더하여 해결하려고 하는 반면, 문제에 구체적인 수가 제시되지 않았을 때는 문제 상황을 이해하고 그에 맞게 해결하려는 모습을 보인다고 짐작할 수 있다.
- 셋째, 덧셈적 수준의 학생은 비례 추론 문제 유형에 따라 문제 해결 수행 능력의 차이를 드러냈다. 이 수준의 학생은 4가지 비례 추론 문제 유형 중 질적 예측 및 비교 문제를 가장 잘 수행했으며, 이 때 질적 추론 전략을 사용하였다.
- 셋째, 본 연구에서 전체적으로 곱셈적 사고와 과도기적 사고 수준의 학생이 더 많은 분포와 비율을 보였지만 덧셈적 사고 수준의 학생도 전체의 약 20%를 차지하고 있었다. 곱셈이 처음 도입되는 시기가 2학년이라는 점을 고려하면 덧셈적 사고 수준의 학생이 다른 수준에 비해 낮은 비율을 보였다는 사실보다, 이 수준 학생들이 차지하는 빈도와 비율에 주목할 필요가 있다.
- 셋째, 수준에 따라 학생들의 문제 해결 방법에서 차이가 있었다. 덧셈적 사고 수준에 있는 많은 학생들을 상황을 그림으로 나타내어 해결했다.
- 이 연구에서는 미국의 한 국립학교의 초등학교 1-5학년 336명의 학생들에게 곱셈 과제를 제시하고 그 결과를 분석하여 수준을 나누었다. 연구 결과, 4가지 수준으로 분류할 수 있었는데, 예를 들어 가장 낮은 1수준은 수치나 연산에 대한 언급 없이 오직 질적으로 생각하는 수준이었으며, 가장 높은 수준은 대상 사이의 관계를 곱셈적으로 생각하는 수준이었다.
- 예를 들어, Cramer, Post, & Currier(1993)는 비례 추론 과제 유형을 미지값 구하기, 수리적 비교 문제 및 질적 예측 및 비교 문제의 세 유형으로 나누어 학생들에게 제시했다. 연구 결과, 학생들은 단위 비율 전략, 변화 인수 전략, 분수 전략, 대각선 곱 알고리듬과 같은 여러 가지 전략을 사용하여 문제를 해결하였다. 5～7학년 학생들의 비례 추론 능력에 대한 실태를 조사한 안숙현(2008)에 따르면, 비례 문제 해결에서 학생들은 비례 문제 유형에 따라 비례공식 전략, 분수 전략, 변화인수전략, 단위비율전략, 구성전략, 질적 추론과 같은 여러 전략을 사용하는 것을 확인할 수 있었다.
- 종합해보면, 학생들은 비례 문제 유형에 따라 사용하는 전략이 서로 다름을 알 수 있다. 따라서 학생들의 비례 추론 능력을 살펴보기 위해서는 한 가지 문제가 아닌 다양한 문제를 제시할 필요가 있으며, 문제 해결과정에서 드러나는 전략을 통해 비례 추론 능력을 살펴볼 수 있다.
- 첫째, ‘배 개념 알기’ 문제에서 곱셈적 사고를 통하여 문제를 해결하는 학생들이 전체의 37.1%로 가장 높게 나타났다.
- ‘부분-전체 알기’ 문제를 해결하는 과정에서 드러난 학생들의 사고의 특징을 살펴보면 다음과 같다. 첫째, [그림Ⅳ-4]와 같이 완전한 곱셈적 사고 수준에 있는 학생보다 불완전한 곱셈적 사고 수준의 학생이 63.5%로 더 높은 비율을 차지했다. 이것은 곱셈이 도입되는 초등학교 2학년의 교과서에서 제시되는 곱셈 상황의 대부분이 묶음 상황으로, 부분-전체 추론을 필요로 하는 문제라기보다 제시된 두 수를 단지 곱하면 되기 때문이라고 볼 수 있다.
- 곱셈적 수준의 학생의 비례 추론 능력을 분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 곱셈적 사고 수준의 학생은 본 연구의 비례 검사지에 제시된 대부분의 문제 유형을 해결할 수 있었다. 곱셈적 사고 수준의 학생들은 반비례 상황의 미지값 구하기, 질적 예측 및 비교하기의 비례 문제 유형과 비례가 아닌 문제 유형의 2문제를 모두 해결했다.
- 과도기적 수준의 학생의 비례 추론 능력을 분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 과도기적 사고 수준의 학생들은 문제 해결 시 덧셈과 곱셈을 혼용하여 해결했다. 또한 곱셈식을 세우더라도 덧셈으로 해결하는 모습을 종종 볼 수 있었는데, 그 이유에 대해 과도기적 사고 수준에 있는 한 학생은 곱셈으로도 해결할 수 있지만 덧셈으로 계산하는 것이 더욱 확실한 느낌이 들기 때문이라고 말하였다.
- 덧셈적 수준의 학생의 비례 추론 능력을 분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 덧셈적 수준 문제에 대해 정답률도 낮을 뿐만 아니라 풀이과정에서 오류를 발견할 수 있었다. 특히 [그림 Ⅳ-6]과 같이 문제에 제시된 두 수를 의미없이 더하거나, 두 수를 상대적으로 보지 못하고 절대적으로 보며 두 수의 차이를 구하여 이를 나머지 수에서도 그대로 적용하는 모습을 종종 발견할 수 있었다.
- 첫째, 초등학교 3학년 학생들의 사고 수준은 문제 유형에 따라 달랐지만 두 가지 유형의 문제유형을 종합하여 전체적으로 살펴보면 과도기적 사고 수준(46.5%) > 곱셈적 사고 수준(30.3%) > 덧셈적 사고 수준(20.9%) > 질적 사고 수준(0.3%)의 순서로 나타났다.
후속연구
- 초등학교 3학년 학생들은 곱셈과 나눗셈을 이해하고 이를 이용한 문제 해결이 가능하나 아직 비와 비례는 학습하지 않은 상태이다. 따라서 3학년 학생들을 연구 대상으로 함으로써 후속학습인 비와 비례의 토대로서 곱셈적 사고가 어떠한 역할을 하는지 살펴볼 수 있을 것이라 기대되었다.
- 비례 추론에서는 관련된 양을 이해하고 그들의 관계를 파악할 수 있는 능력이 매우 중요하다. 이에 본 연구를 통해 드러난 학생들의 질적 예측 및 비교하기 문제에 대한 수행 정도가 가장 높다는 본 연구 결과는 시사하는 바가 크며, 따라서 평소 3학년 학생들이라도 곱셈 단원을 포함한 다양한 곱셈과 비례 상황에서 상대적인 관점과 곱셈적 관계를 생각해 볼 수 있는 기회를 제공하는 것이 바람직하다.
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