[논문]3변수 Weibull 분포형의 형상매개변수 및 극치값 가중치를 고려한 EDF 검정에 대한 연구

김태림; 신홍준; 허준행

doi:10.3741/jkwra.2013.46.6.643

3변수 Weibull 분포형의 형상매개변수 및 극치값 가중치를 고려한 EDF 검정에 대한 연구
A Study on Empirical Distribution Function with Unknown Shape Parameter and Extreme Value Weight for Three Parameter Weibull Distribution 원문보기

Journal of Korea Water Resources Association = 한국수자원학회논문집, v.46 no.6, 2013년, pp.643 - 653

김태림 (연세대학교 대학원 토목공학과) , 신홍준 (연세대학교 대학원 토목공학과) , 허준행 (연세대학교 사회환경시스템공학부)

초록
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적절한 확률분포형을 결정하고 그에 따른 확률수문량을 산정하는 것은 빈도해석에서 가장 중요한 절차이며, 이를 수행하기 위해서는 경험적 확률분포에서 얻어지는 자료와 가정한 확률분포에서 얻어지는 자료의 일치 정도를 판별하는 적합도 검정을 거쳐야 한다. 지금까지 일반적으로 적용된 적합도 검정 방법은 분포형의 전체적인 적합정도를 판별하여 최근의 기상이변으로 인한 극치 사상에 대하여는 충분히 고려하지 못하고 있다. 따라서 본 연구에서는 분포형의 극치 사상에 가중치를 주는 modified Anderson-Darling(AD) 검정 방법을 3변수 Weibull 분포형에 적용하여 검정통계량 한계값과 기각력을 살펴보았으며 이를 실제자료에 적용한 결과, modified AD 검정 방법이 다른 기존의 적합도 검정보다 더 우수한 기각력을 가지고 있음을 확인하였다. 이는 앞으로 3변수 Weibull 분포형을 이용한 극치 수문량 선정에 있어 modified AD 방법이 하나의 기준으로 작용할 수 있을 것이라 판단된다.

Abstract ▼ AI-Helper

The most important procedure in frequency analysis is to determine the appropriate probability distribution and to estimate quantiles for a given return period. To perform the frequency analysis, the goodness-of-fit tests should be carried out for judging fitness between obtained data from empirical probability distribution and assumed probability distribution. The previous goodness-of-fit could not consider enough extreme events from the recent climate change. In this study, the critical values of the modified Anderson-Darling test statistics were derived for 3-parameter Weibull distribution and power test was performed to evaluate the performance of the suggested test. Finally, this method was applied to 50 sites in South Korea. The result shows that the power of modified Anderson-Darling test has better than other existing goodness-of-fit tests. Thus, modified Anderson-Darling test will be able to act as a reference of goodness-of-fit test for 3-parameter Weibull model.

주제어

AI 본문요약
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제안 방법

01을 고려하여 발생시켰다. 10개의 표본 크기에 대하여 각각 10,000번을 반복 수행하였으며, 각 분포의 매개변수는 일관성 유지를 위하여 위치매개변수 및 크기매개변수는 각각 0, 1로 고정하였고 형상매개변수는 왜곡도 계수에 따라 각 분포형별 허용 범위 내에서 10가지 경우를 고려하였다. 분포형별로 발생된 표본을 Weibull 분포에 적합시켜 매개변수를 구하고 앞에서 언급한 기존의 적합도 검정 방법에 적용하여 기각여부를 판단하였다.
각 지점별 강우지속시간 1, 2, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 48시간에 대하여 모멘트법(MM), 최우도법(ML), 확률가중모멘트법(PWM)을 이용하여 매개변수를 추정하였으며 CS, KS, CVM, AD 및 modified AD 검정 방법을 통해 적합도 검정을 수행한 결과를 비교하였다. 전체적인 기각력을 살펴보기 위하여 각 지점의 강우지속시간과 매개변수 추정 방법별로 기각시킨 횟수를 합하여 나타낸 결과 modified AD 검정 63회, CS 검정 52회, AD 검정 50회, KS 및 CVM 검정 각각 0회로, 앞에서 모의한 결과와는 CS 검정과 AD 검정의 순위에 차이가 있지만 modified AD 검정은 변함없이 가장 높은 기각력을 가지고 있음을 보였고, 이를 Table 5에 나타내었다.
1과 같다. 각각 6개 지점의 관측 자료를 점으로 표시하였으며, 매개변수에 따른 확률강우량은 실선으로 표시하였다. 대부분의 관측값이 처음에는 매개변수에 따른 확률강우량을 잘 따라가는 듯 보였으나 극치값에 가까워질수록 차이가 나타나는 결과를 보였다.
(2003), Laio (2004)에 의해 현재까지도 꾸준히 여러 방법과 적용을 거듭하며 이루어지고 있으며, 따라서 본 연구에서는 지역빈도해석에 관한 연구에서 많이 활용된바 있는 Weibull 분포형에 대하여 Monte Carlo 모의 실험으로부터 표본을 발생시키고, 극치값 가중치를 고려한 modified AD 검정으로 적합도 검정을 실시하여 유의수준별, 표본크기별로 구분한 뒤 Weibull 분포의 매개변수 조건에 따른 왜곡도 계수 해당 범위 내에서 임의의 형상 매개변수를 지정하여 변화시켜가며 그에 따른 검정통계량 한계값과 회귀식을 제시한 후 여러 분포형에 대하여 극치값 가중치를 고려한 검정 방법 및 기존 적합도 검정 방법들과의 기각력을 비교하였다. 또한 앞의 결과들을 바탕으로 실제 자료에 적용하여 그 결과를 살펴보았다.
본 연구에서는 Monte Carlo 모의실험을 수행하여 3변수 Weibull 분포에 대한 modified AD 검정의 검정통계량 한계값을 산정하였다. 모의실험은 표본 크기를 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 50, 100의 총 9가지 경우로 정하고, 일관성 유지를 위하여 Weibull 분포의 위치매개변수 및 크기매개변수를 각각 0과 1로 고정시킨 후 형상매개변수를 1.5, 2.0, 2.2, 2.4, 2.6, 2.8, 3.0, 4.0, 5.0, 9.0으로 변화시키면서 표본크기별로 각각 10,000개의 임의의 난수를 발생시켰다. 여기서 형상매개변수 β는 0보다 커야하는 Weibull 분포의 매개변수 조건에 따라 왜곡도 계수에 해당하는 범위 내에서 변화시켜 나타내었으며 이에 해당하는 식은 Eq.
본 연구에서는 Monte Carlo 모의실험을 수행하여 3변수 Weibull 분포에 대한 modified AD 검정의 검정통계량 한계값을 산정하였다. 모의실험은 표본 크기를 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 50, 100의 총 9가지 경우로 정하고, 일관성 유지를 위하여 Weibull 분포의 위치매개변수 및 크기매개변수를 각각 0과 1로 고정시킨 후 형상매개변수를 1.
10개의 표본 크기에 대하여 각각 10,000번을 반복 수행하였으며, 각 분포의 매개변수는 일관성 유지를 위하여 위치매개변수 및 크기매개변수는 각각 0, 1로 고정하였고 형상매개변수는 왜곡도 계수에 따라 각 분포형별 허용 범위 내에서 10가지 경우를 고려하였다. 분포형별로 발생된 표본을 Weibull 분포에 적합시켜 매개변수를 구하고 앞에서 언급한 기존의 적합도 검정 방법에 적용하여 기각여부를 판단하였다.
이상의 결과를 바탕으로 국내 기상청 지점 중 관측기간이 10년 미만의 지점을 제외한 총 50개 지점을 선택하여 modified Anderson-Darling 검정 방법을 실제 우리나라 강우 자료에 적용하였으며 적용 지점은 Table 4에 나타내었다.
이후 Pakyari와 Balakrishnan (2012)은 2변수 분포인 normal, Gumbel 및 log-normal 분포형으로부터 발생시킨 변수를 KS, CVM, AD 검정 방법으로 Gumbel과 Weibull 분포형에 적용하여 비교하였다. 이와 같은 연구는 Lewis et al. (1961), Stephens (1974, 1977), Littell et al. (1979), Arshad et al. (2003), Laio (2004)에 의해 현재까지도 꾸준히 여러 방법과 적용을 거듭하며 이루어지고 있으며, 따라서 본 연구에서는 지역빈도해석에 관한 연구에서 많이 활용된바 있는 Weibull 분포형에 대하여 Monte Carlo 모의 실험으로부터 표본을 발생시키고, 극치값 가중치를 고려한 modified AD 검정으로 적합도 검정을 실시하여 유의수준별, 표본크기별로 구분한 뒤 Weibull 분포의 매개변수 조건에 따른 왜곡도 계수 해당 범위 내에서 임의의 형상 매개변수를 지정하여 변화시켜가며 그에 따른 검정통계량 한계값과 회귀식을 제시한 후 여러 분포형에 대하여 극치값 가중치를 고려한 검정 방법 및 기존 적합도 검정 방법들과의 기각력을 비교하였다. 또한 앞의 결과들을 바탕으로 실제 자료에 적용하여 그 결과를 살펴보았다.
표본 크기 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 50, 100, 200의 경우에 대하여 normal(NOR), Cauchy (CAU), Logistic (LGS), generalized extreme value (GEV), generalized logistic (GLO), generalized Pareto (GPA), exponential (EXP), Weibull(WBU) 등 각각 8가지 분포형을 모집단으로 하는 표본을 유의수준 0.2, 0.15, 0.10, 0.05, 0.01을 고려하여 발생시켰다. 10개의 표본 크기에 대하여 각각 10,000번을 반복 수행하였으며, 각 분포의 매개변수는 일관성 유지를 위하여 위치매개변수 및 크기매개변수는 각각 0, 1로 고정하였고 형상매개변수는 왜곡도 계수에 따라 각 분포형별 허용 범위 내에서 10가지 경우를 고려하였다.

데이터처리

1) Monte Carlo 모의실험을 통하여 표본크기, 유의수준, Weibull 분포의 매개변수 조건과 왜곡도 계수를 고려한 형상매개변수별로 3변수 Weibull 분포에 대한 modified AD 검정통계량 한계값을 산정하였다.
2) 유도된 검정통계량값을 이용하여 유의수준별로 표본크기 및 형상매개변수를 포함하는 비선형회귀방정식을 유도하였다. 유도된 비선형회귀방정식의 결정계수를 통하여 높은 정확도를 가지고 있음을 확인하였다.
Modified Anderson-Darling (AD) 검정 방법의 적합성과 기각력을 검토하기 위하여 Weibull 분포에 기존의 적합도 검정 방법인 x²(CS) 검정, Kolmogorov-Smirnov(KS) 검정, Cramer von Mises (CVM) 및 AndersonDariling (AD) 검정 결과와 비교 검토해 보았다.
또한 위에서 산정된 한계값을 하나의 식으로 나타내기 위해 유의수준(p), 형상매개변수(β), 표본크기(n)의 함수로 표현되는 다중 비선형회귀방정식을 적용하였다.
(1988)은 AD 검정 방법을 수정하여 오른쪽 또는 왼쪽으로 뻗어있는 꼬리부분의 한쪽의 극치사상에 가중치를 두는 modified AD 검정 방법을 제시하였다. 이를 generalized extreme value (GEV) 분포와 generalized logistic (GLO) 분포에 대해 모의실험을 하고 확률가중모멘트법으로 매개변수를 추정한 뒤 극치값에 대한 가중치를 고려하는 적합도 검정 방법인 modified AD 검정 방법에 적용하여 각 분포에 대한 한계값을 추정 하였다. 또한 Sinclair et al.

이론/모형

본 연구에서 적합도 검정 방법 중의 하나인 Ahmad et al. (1988)에 의해 개발된 modified AD 검정 방법을 3변수 Weibull 분포에 적용하여 형상매개변수 및 극치값 가중치를 고려한 검정통계량 한계값 산정과 기각력 검토에 대하여 연구한 결과 다음과 같은 결론을 도출하였다.

성능/효과

3) 또한 기각력을 검토하기 위해 기존에 일반적으로 쓰이던 통계적 적합도 검정 방법과 modified AD 검정 방법을 8가지 분포형으로부터 난수를 발생시킨 값으로 기각력을 비교하여 modified AD 검정 방법이 기존의 통계적 적합도 검정 방법보다 우수한 기각력을 가지고 있음을 확인하였다.
4) 이러한 결과를 바탕으로 실제 우리나라 우량관측지점에 적용한 결과 역시 기존의 적합도 검정 방법보다 modified AD 검정 방법이 더 우수한 기각력을 나타내고 있음을 확인하였다.
검토 결과 기각력은 modified AD, AD, CS, CVM, KS 순으로 높음을 보였고, modified AD에 의한 기각력이 다른 방법에 의한 기각력보다 높음을 확인할 수 있었다. 특히 기존의 적합도 방법으로 널리 쓰이고 있는 KS, CVM 검정 방법에 비하여 월등히 높은 기각력을 보이고 있었다.
다음의 Table 3은 위의 8가지 분포형을 모집단으로 하여 발생한 표본을 3변수 Weibull 분포에 적합시켰을 때 여러 적합도 검정 방법에 따른 기각력 정도를 나타낸 그림이다. 기각력은 총 100,000개의 표본 중에서 기각된 표본의 개수의 비로 나타내었고, 여기서는 표본 크기 10, 30, 50, 100에 해당하는 경우와 일반적으로 많이 쓰이는 유의수준 5%에 대한 결과를 표현하였다.
(1989)은 2변수 Weibull 분포형과 3변수 Weibull 분포형의 적합도 검정 비교에서 2변수 Weibull 분포형으로부터 발생시킨 변수에 적합도 검정을 실시하였을 때 AD 검정 방법이 다른 적합도 검정 방법보다 우수함을 보였고, 3변수 Weibull 분포형으로부터 발생시킨 변수 들의 적합도 검정 결과의 상관계수가 더 높음을 확인하였다. 또한 기각값은 표본 크기의 범위와 관련이 있음을 보였고 기각력은 분포형으로부터의 자료에 가장 영향을 많이 받음을 밝힌 바 있다. 한편 Choulakian and Stephens (2001)는 CVM 검정과 AD 검정 방법으로 generalized Pareto (GPA) 분포에 대하여 적합도 검정을 수행하였고, Luceno (2006)는 경험적 분포함수를 기반으로 한 KS, CVM, AD 검정 방법과 modified AD 검정 방법을 오른쪽 꼬리, 왼쪽 꼬리, 2차 오른쪽 꼬리, 2차 왼쪽 꼬리, 2차 AD 방법의 총 다섯 가지 방법으로 분류하여 normal 분포와 GPD 분포에 적용한 후 비교하였다.
특히 기존의 적합도 방법으로 널리 쓰이고 있는 KS, CVM 검정 방법에 비하여 월등히 높은 기각력을 보이고 있었다. 또한 모든 검정 방법의 경우 표본 크기가 증가할수록 기각력 역시 증가하는 것으로 나타났다. 한편 Cauchy 분포형의 경우 AD 검정 방법이 modified AD 검정 방법보다 약간 높은 기각력을 보였지만 큰 차이가 없으며 표본크기가 커질수록 차이도 줄어들어 거의 동일해짐을 보였다.
2) 유도된 검정통계량값을 이용하여 유의수준별로 표본크기 및 형상매개변수를 포함하는 비선형회귀방정식을 유도하였다. 유도된 비선형회귀방정식의 결정계수를 통하여 높은 정확도를 가지고 있음을 확인하였다.
(b) 울진, (c) 이천, (d) 보령의 경우는 AD 검정 방법 및 modified AD 검정 방법이 함께 기각시키는 양상을 보였고, (a) 원주, (e) 금산, (f) 부안의 경우는 5가지 검정 방법 중 유일하게 modified AD 검정만 기각을 시키는 결과를 나타냈다. 이는 기존의 통계적 적합도 검정 방법에서는 사용 가능하다고 판단했던 분포형을 modified AD 검정 방법이 기각시킴으로서 기존의 방법과는 또 다른 기준을 제시하고 있음을 보였다. 다음과 같은 결과를 바탕으로 도시위치 공식(plotting position)을 이용하여 확률수문량을 도시하면 Fig.
각 지점별 강우지속시간 1, 2, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 48시간에 대하여 모멘트법(MM), 최우도법(ML), 확률가중모멘트법(PWM)을 이용하여 매개변수를 추정하였으며 CS, KS, CVM, AD 및 modified AD 검정 방법을 통해 적합도 검정을 수행한 결과를 비교하였다. 전체적인 기각력을 살펴보기 위하여 각 지점의 강우지속시간과 매개변수 추정 방법별로 기각시킨 횟수를 합하여 나타낸 결과 modified AD 검정 63회, CS 검정 52회, AD 검정 50회, KS 및 CVM 검정 각각 0회로, 앞에서 모의한 결과와는 CS 검정과 AD 검정의 순위에 차이가 있지만 modified AD 검정은 변함없이 가장 높은 기각력을 가지고 있음을 보였고, 이를 Table 5에 나타내었다. 이 중에서 modified AD 검정만 유일하게 기각을 시키는 경우가 나타났으며 AD 및 modified AD 검정 방법이 함께 기각력을 보이는 경우도 있었다.
(x)는 경험적 누가분포함수를 나타낸다. 제시된 AD함수는 오른쪽과 왼쪽 꼬리부분 양쪽 모두 가중치를 줌으로써 일반 분포보다 극치값의 적합 정도에 가중을 주어 계산하는 방법으로 극한 수문사상의 빈도해석에 적절한 방법이라 할 수 있다. 또한, 일반적인 계산의 편의를 위해 Eq.
검토 결과 기각력은 modified AD, AD, CS, CVM, KS 순으로 높음을 보였고, modified AD에 의한 기각력이 다른 방법에 의한 기각력보다 높음을 확인할 수 있었다. 특히 기존의 적합도 방법으로 널리 쓰이고 있는 KS, CVM 검정 방법에 비하여 월등히 높은 기각력을 보이고 있었다. 또한 모든 검정 방법의 경우 표본 크기가 증가할수록 기각력 역시 증가하는 것으로 나타났다.
또한 모든 검정 방법의 경우 표본 크기가 증가할수록 기각력 역시 증가하는 것으로 나타났다. 한편 Cauchy 분포형의 경우 AD 검정 방법이 modified AD 검정 방법보다 약간 높은 기각력을 보였지만 큰 차이가 없으며 표본크기가 커질수록 차이도 줄어들어 거의 동일해짐을 보였다. 따라서 본 연구에서 제시한 modified AD 검정은 기존의 여러 가지 통계적 적합도 검정 방법보다 더 우수한 기각력을 가지고 있으며 기후변화에 따른 극치사상이 중요 해짐에 따라 향후 극치사상에 더 적합한 분포형을 선정하는 기준으로의 역할을 할 수 있을 것으로 판단된다.

후속연구

한편 Cauchy 분포형의 경우 AD 검정 방법이 modified AD 검정 방법보다 약간 높은 기각력을 보였지만 큰 차이가 없으며 표본크기가 커질수록 차이도 줄어들어 거의 동일해짐을 보였다. 따라서 본 연구에서 제시한 modified AD 검정은 기존의 여러 가지 통계적 적합도 검정 방법보다 더 우수한 기각력을 가지고 있으며 기후변화에 따른 극치사상이 중요 해짐에 따라 향후 극치사상에 더 적합한 분포형을 선정하는 기준으로의 역할을 할 수 있을 것으로 판단된다.
통계적 적합도 검정 방법으로는 x² 분포 기반의 x² (CS) 검정, 경험적 분포 기반의 Kolmogorov-Smirnov (KS) 검정, Cramervon Mises (CVM) 검정, 상관성 기반의 확률도시 상관계수(probability plot correlation coefficient; PPCC) 검정 등의 방법이 기존에 주로 사용되고 있으며 우수한 기각력을 보이고 있지만, 표본 자료들의 적합 정도를 전체적으로 분포형에 동일하게 고려하기 때문에 확률분포형의 극치사상에 대한 적합도가 전체적인 양상의 적합도보다 떨어지는 단점이 있다. 따라서 전체적인 표본의 양상을 고려하는 것도 중요하지만, 최근 강우량 및 홍수량의 발생경향은 기상이변에 따른 극치사상의 발생이 증가하고 있는 추세이므로 적합도 검정 역시 극치사상에 대한 적합여부를 더 고려하여 추정해야 할 것으로 판단된다.
이상의 결과를 통하여 기존의 적합도 검정 방법보다 제시된 modified AD 검정 방법이 더 우수한 기각력을 보이므로 향후 Weibull 분포형을 이용한 극치수문량을 산정시 유용하게 사용될 수 있을 것으로 판단된다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	적합도 검정이란?	여러가지 확률분포형 중에서 모집단 전체를 완벽하게 나타내는 확률분포형은 없으므로 보다 적절한 분포형을 선택하는 것이 중요시되고 있다. 최적 확률분포형을 선정하기 위해서는 적합도 검정을 거치게 되는데 이 방법은 대상 자료로부터 얻어지는 경험적 빈도분포와 가정한 확률분포의 일치 정도를 판단하는 방법으로, 관측수문 자료로부터 검정통계치를 산정한 후 이를 표본자료의 수와 유의수준에 의해 결정되는 검정방법별 검정한계 치와 비교하여 가정한 분포형과의 적합여부를 판단한 후 확률분포형을 결정하게 된다. 적합도 검정 방법에는 확률지를 사용하는 도시적인 방법과 확률분포를 이용하는 통계적인 방법이 있는데, 도시적인 방법보다 객관적인 방법인 통계적 적합도 검정을 많이 이용하고 있다.
	적합도 검정 방법의 종류는 무엇인가?	최적 확률분포형을 선정하기 위해서는 적합도 검정을 거치게 되는데 이 방법은 대상 자료로부터 얻어지는 경험적 빈도분포와 가정한 확률분포의 일치 정도를 판단하는 방법으로, 관측수문 자료로부터 검정통계치를 산정한 후 이를 표본자료의 수와 유의수준에 의해 결정되는 검정방법별 검정한계 치와 비교하여 가정한 분포형과의 적합여부를 판단한 후 확률분포형을 결정하게 된다. 적합도 검정 방법에는 확률지를 사용하는 도시적인 방법과 확률분포를 이용하는 통계적인 방법이 있는데, 도시적인 방법보다 객관적인 방법인 통계적 적합도 검정을 많이 이용하고 있다. 통계적 적합도 검정 방법으로는 x2 분포 기반의 x2 (CS) 검정, 경험적 분포 기반의 Kolmogorov-Smirnov (KS) 검정, Cramer von Mises (CVM) 검정, 상관성 기반의 확률도시 상관계수(probability plot correlation coefficient; PPCC) 검정 등의 방법이 기존에 주로 사용되고 있으며 우수한 기각력을 보이고 있지만, 표본 자료들의 적합 정도를 전체적으로 분포형에 동일하게 고려하기 때문에 확률분포형의 극치사상에 대한 적합도가 전체적인 양상의 적합도보다 떨어지는 단점이 있다.
	Anderson-Darling 검정 방법을 Ahmad et al. (1988)이 수정하여 제시한 방법은 무엇인가?	또한 Ahmad et al. (1988)은 AD 검정 방법을 수정하여 오른쪽 또는 왼쪽으로 뻗어있는 꼬리부분의 한쪽의 극치사상에 가중치를 두는 modified AD 검정 방법을 제시하였다. 이를 generalized extreme value (GEV) 분포와 generalized logistic (GLO) 분포에 대해 모의실험을 하고 확률가중모멘트법으로 매개변수를 추정한 뒤 극치값에 대한 가중치를 고려하는 적합도 검정 방법인 modified AD 검정 방법에 적용하여 각 분포에 대한 한계값을 추정 하였다.

참고문헌 (19)

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원문보기 상세보기
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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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