해약율의 추정은 최근 보험제도의 변화 (국제회계기준의 도입에 따른 현금흐름방식의 가격산출체계 시행, 무해약환급금 보험상품의 판매 허용 등)에 따라 보험료의 결정과 손익분석 그리고 리스크 관리 등에 있어서 중요한 요소로 부각되고 있다. 특히, 변액연금은 최저보증옵션으로 인하여 보험계약자의 해약요소가 중요시되고 다른 보험 상품에 비해 복잡하므로 차별성 있는 통계모형의 선택과 분석이 필요하다. 기존의 해약률 연구는 실태분석 또는 회귀분석을 위주로 모형화하는 것에 초점이 맞추어져 있었으나 본 연구에서는 변액연금 계약과 관련된 여러 변수와 최저보증옵션을 반영하기 위하여 생존분석기법 중 하나인 Cox 비례위험모형을 이용하여 해지율을 추정하였다. 변액연금 해지율에 영향을 미치는 주요변수로는 납입방법, 보험료, 보험기간 대비 유지기간, 계약자적립금 대비 최소보증금, 계약자연령이 있으며 본 연구에서는 이에 관하여 분석해보았다.
해약율의 추정은 최근 보험제도의 변화 (국제회계기준의 도입에 따른 현금흐름방식의 가격산출체계 시행, 무해약환급금 보험상품의 판매 허용 등)에 따라 보험료의 결정과 손익분석 그리고 리스크 관리 등에 있어서 중요한 요소로 부각되고 있다. 특히, 변액연금은 최저보증옵션으로 인하여 보험계약자의 해약요소가 중요시되고 다른 보험 상품에 비해 복잡하므로 차별성 있는 통계모형의 선택과 분석이 필요하다. 기존의 해약률 연구는 실태분석 또는 회귀분석을 위주로 모형화하는 것에 초점이 맞추어져 있었으나 본 연구에서는 변액연금 계약과 관련된 여러 변수와 최저보증옵션을 반영하기 위하여 생존분석기법 중 하나인 Cox 비례위험모형을 이용하여 해지율을 추정하였다. 변액연금 해지율에 영향을 미치는 주요변수로는 납입방법, 보험료, 보험기간 대비 유지기간, 계약자적립금 대비 최소보증금, 계약자연령이 있으며 본 연구에서는 이에 관하여 분석해보았다.
The importance of lapse rate is highly increasing due to the introduction of Cash Flow Pricing system, non-refund-of-reserve insurance policy, and IFRS (International Financial Reporting System) to the Korean insurance market. Researches on lapse rate have mainly focused on simple data analysis and ...
The importance of lapse rate is highly increasing due to the introduction of Cash Flow Pricing system, non-refund-of-reserve insurance policy, and IFRS (International Financial Reporting System) to the Korean insurance market. Researches on lapse rate have mainly focused on simple data analysis and regression analysis, etc. However, lapse rate can be analyzed by survival analysis and can be well explained in terms of several covariates with Cox proportional hazard model. Guaranteed minimum benefits embedded in variable annuities require more elegant statistical analysis of lapse rate. Hence, this paper analyzes data of policyholders with variable annuities by using Cox proportional hazard model. The key variables of policy holder that influences the lapse rate are payment method, premium, lapse insured to term insured, reserve-GMXB ratio, and age.
The importance of lapse rate is highly increasing due to the introduction of Cash Flow Pricing system, non-refund-of-reserve insurance policy, and IFRS (International Financial Reporting System) to the Korean insurance market. Researches on lapse rate have mainly focused on simple data analysis and regression analysis, etc. However, lapse rate can be analyzed by survival analysis and can be well explained in terms of several covariates with Cox proportional hazard model. Guaranteed minimum benefits embedded in variable annuities require more elegant statistical analysis of lapse rate. Hence, this paper analyzes data of policyholders with variable annuities by using Cox proportional hazard model. The key variables of policy holder that influences the lapse rate are payment method, premium, lapse insured to term insured, reserve-GMXB ratio, and age.
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문제 정의
이 절에서는 Cox 비례모형으로 분석하는데 필요한 생존분석의 기본성질을 먼저 논의하고 Cox 비례 모형의 기본성질을 살펴본다. 또한 보험의 해지율과 유지율의 측면에서 논의를 추가하여 전개하고자 한다. 생존분석에서 생존시간은 어떤 사건 (event)이 일어날 때까지의 시간을 말하며 본 연구에서 사건은 해지 (해약)이며 시간은 계약자에 의해서 생명보험계약이 해지될 때까지의 시간을 의미한다.
Lee (2009)은 탈퇴원인별 소수 연령분포가 상이하다는 가정 하에 절대탈퇴율에서 다중탈퇴율로의 공식 전환을 유도하였다. 또한 이를 이용하여 계약자적립금과 최소보증금액의 수준에 따라 달라지는 변액연금보험의 해지현상을 반영하기 위해 동적해지율이 적용된 다중탈퇴율의 전환과정을 설명하였다. 동적해지율에 대한 자세한 개요는 Kwon (2011)을 참조하기 바란다.
이와 같은 점을 감안하여 본 논문에서는 투자형 보험상품인 변액연금을 분석대상 으로 한정하였으며 본 연구의 목적은 이러한 계약자의 행동을 반영한 해지율을 추정해 봄으로써 변액연금의 리스크 관리에 도움이 되고자 하는 것이다.
가설 설정
기납입보험료와 계약자적립금은 관행상 계약이 해지된 시점에 산출되기 때문에 유지되고 있는 계약에 대한 가정이 필요하였다. 기납입보험료의 경우 계약시점부터 현시점 (2011.11.15)까지 보험료가 100% 완납되었다고 가정하였다. 변액연금에 경우 계약자적립금과 최소보증금 수준이 해약여부에 영향을 미친다고 볼 수 있기 때문에 계약자적립금 대비 최소보증금의 비율을 공변수로 포함시키고자 한다.
하지만 유지되고 있는 계약에 대해서는 계약자적립금의 수준을 알 수 없음을 지적한 바 있다. 따라서 해약건에 대한 계약자적립금 대비 최소보증금의 수준을 분석한 후 유지건에 대한 수준을 추정하여 가정하였다.
비례위험모형에서 채택하고 있는 가장 중요한 가정은 공변수의 위험률에 대한 비례성 가정이다. 즉, 비례위험모형 내의 하나의 공변수가 증가 혹은 감소할 경우 그에 대한 위험률도 공변수의 증감에 비례하여 변화하고, 이러한 경향은 시간에 관계없이 일정하게 유지된다고 하는 것이다.
제안 방법
실증분석에 앞서 모형의 특성을 잘 설명해줄 수 있는 공변수를 알아보기 위하여 다음과 같은 기초분석을 실시하였다. 5개의 보험계약관련 변수, 1개의 계약자관련 변수, 1개의 피보험자관련변수 그 외에 새로 생성한 2개의 신계약변수를 채택, 총 9개의 변수들을 1차 생존예측모형의 분석대상변수로 선정하였다.
따라서 유지건에 대해서는 계약자적립금 대비 최소보증금의 비율을 1이상의 값으로 하되 난수를 생성하여 결정하였다. 기납입보험료는 계약자적립금 대비 최소보증금의 비율을 이용하여 역으로 산출하였다.
다른 상품에 비해 투자형 상품에 대한 계약자의 행동예측이 어렵다는 점과 실무에서 변액연금의 대한 해지율의 연구가 필요한 추세에 부합하도록 변액연금상품을 대상으로 국내 보험사의 계약자 데이터 (2004.5∼2011.11)를 반영하여 현실적인 해약률 모형을 추정해 보았다.
탈퇴요인을 보다 잘 설명할 수 있는 모형을 구축하기 위해서는 공변수의 가능한 모든 조합 및 공변수간의 상호작용 그리고 시간종속 공변수에 대한 검토를 수행하여야 한다. 먼저, 공변수에 대한 단일분석을 통하여 각 변수가 생존율과 연관이 있는지를 살펴보고, 생존율에 영향을 준다고 판단되는 변수를 일차적으로 선정하였다. Table 3.
비례성 가정을 검토하고자 공변수가 하나일 때 그 공변수에 따라 나누어진 각 부분군에서 KaplanMeier 생존율 S(t)를 구한 후 이를 이용하여 ln[−lnS(t)]를 그래프로 그려보았다.
생존시간의 최종적인 비례위험모형을 구축하기 위하여, 먼저 모든 공변수에 대한 단일분석을 통하여 생존확률에 영향을 준다고 판단되는 변수를 일차적으로 선정하였다. 선정된 공변수를 대상으로 공변수 간의 상호작용을 검토한 후
앞서 소개한 방법론을 이용하여 실제 자료들을 바탕으로 검증해 보았다. 실증분석에 사용된 자료는 국내 생명보험사의 변액연금상품으로 2004년 05월부터 2011년 11월까지 표본으로 선정된 12,412명의 생명보험 계약자 데이터이다.
우선 특정 기간 사이 (2004.05∼2011.11)에 해약 또는 효력상실이 발생한 계약자를 종속변수로 두었으며 해약 또는 효력상실이 발생한 계약자의 경우 ‘1’의 값을 입력하였고 유지하고 있는 계약자의 경우 ‘0’의 값을 입력하여 이분형으로 나누었다.
이 절에서는 Cox 비례모형으로 분석하는데 필요한 생존분석의 기본성질을 먼저 논의하고 Cox 비례 모형의 기본성질을 살펴본다. 또한 보험의 해지율과 유지율의 측면에서 논의를 추가하여 전개하고자 한다.
기존 보험계약의 해지율 연구와 본 연구와의 차별성은 두 가지이다. 첫 번째는 데이터 분석의 접근이 기존 연구에서는 합산된 자료를 이용하여 분석하였지만 본 연구에서는 변액연금의 개별 건별 계약 데이터를 활용하여 분석한다. 두 번째는 기존의 연구가 실태분석 또는 회귀분석에 초점이 맞추어져 있었지만 본 연구에서는 계약 데이터의 관측기간이 91개월이므로 중도절단 (censoring)을 포함하고 있기 때문에 생존분석기법 중 하나인 Cox 비례위험모형을 이용하여 추정하는 것이 타당성 있다.
대상 데이터
앞서 소개한 방법론을 이용하여 실제 자료들을 바탕으로 검증해 보았다. 실증분석에 사용된 자료는 국내 생명보험사의 변액연금상품으로 2004년 05월부터 2011년 11월까지 표본으로 선정된 12,412명의 생명보험 계약자 데이터이다. 생명보험 해지에 따른 계약자의 이탈 여부는 기준 월 당시 유지하고 있는 계약이 해약 또는 효력상실 할 경우로 정의한다.
전진방법에 의해 5단계의 선택과정을 거쳐 최종적으로 선택된 변수는 유의수준 5%이내에서 납입방법, 계약자연령, 보험기간 대비 유지기간, 보험료, 계약자적립금 대비 최소보증금이 선정되었다.
데이터처리
각 생존시간 군에 대해 선정된 공변수들의 위험률에 대한 비례성 검토를 실시하여 비례성 가정에 위반될 경우에는 그 공변수를 시간종속형 변수로 추가하여 반영한다. 모형에 선정된 공변수와 그 회귀계수값을 결정한 후 기저생존함수 및 기저위험함수를 추정하면 생존시간에 대한 비례위험모형의 구축이 완료되며, 모형에 포함될 공변수의 선택과 최대우도 추정법을 이용한 회귀계수의 추정은 통계분석용 소프트웨어인 SAS System을 이용하였다.
최종모형으로 선택된 공변수를 대상으로 상관분석을 실시해보았다. 상관분석결과 대부분의 공변수들이 양의 상관관계를 보였으며 계약자적립금 대비 최소보증금과 보험기간 대비 유지기간은 음의 상관관계를 보였다.
이론/모형
본 연구에서 Cox 비례위험모형은 계약자의 해지율을 모형화하는 통계적 모형으로서, 계약자의 탈퇴 (해지)에 작용하는 요인의 영향을 파악하고 시간에 따른 계약자의 유지율을 추정하는데 사용할 수 있다. 비례위험모형의 가장 큰 특징은 공변수의 특성을 표현하는 함수와 기저함수를 분리하여 탈퇴에 영향을 주는 요인들 간의 상대적 효과를 산정하는 것이 가능하다는 것이다.
여기에서 회귀계수가 양수이면 계약자의 위험이 증가하는 것이고 음수이면 감소함을 의미한다. 일차적으로 유의하게 선택된 9개의 변수에 대해서 분석을 실시하였으며 변수선택방법은 전진 (forward) 방법을 사용하였다.
성능/효과
투자형 상품인 변액연금은 예정이율 외에 펀드수익률에 따라 계약자적립금 수준이 달라지기 때문에 계약자 입장에서는 자신이 받을 수 있는 최소보증금 수준보다 적립되어 있는 금액이 클 경우 즉, 계약자적립금 대비 최소보증금이 1보다 작을 경우 해약요인이 발생한다는 것을 직관적으로 생각해 볼 수 있다. 그러나 분석결과 비율이 한 단위 증가할 때마다 위험율이 감소할 것이라는 예상과 달리 위험율이 증가하는 것으로 나타났다. 이는 계약자적립금 대비 최소보증금이라는 공변수가 비율이라는 점을 감안하면 분자인 최소 보증금과 분모인 계약자적립금 수준의 증감에 따라 달리 해석될 수 있기 때문에 해석 상 오류를 범할 수 있다.
넷째, 계약자적립금 대비 최소보증금의 경우 회귀계수가 양의 값이 나왔으므로 위험률과의 관계가 비례한 것으로 나타났다. 위험비는 1.
4은 일차적으로 유의한 변수를 선별하기 위해 실시한 단일분석의 결과를 보여주고 있다. 단일분석 결과 계약자적립금을 제외한 공변수들이 유의수준 5%에서 생존율에 영향을 준다고 판명되었다.
첫 번째는 데이터 분석의 접근이 기존 연구에서는 합산된 자료를 이용하여 분석하였지만 본 연구에서는 변액연금의 개별 건별 계약 데이터를 활용하여 분석한다. 두 번째는 기존의 연구가 실태분석 또는 회귀분석에 초점이 맞추어져 있었지만 본 연구에서는 계약 데이터의 관측기간이 91개월이므로 중도절단 (censoring)을 포함하고 있기 때문에 생존분석기법 중 하나인 Cox 비례위험모형을 이용하여 추정하는 것이 타당성 있다. 또한 부록에 있는 그래프에서 확인할 수 있듯이 공변수 (covariates)별로 유지율 (생존율)의 차이가 있음이 나타나기 때문에 이를 반영하여 모형에 적용하는 것이 필요하다.
둘째, 보험료의 경우 회귀계수는 0.03724로 양의 관계를 보였으며 위험비는 1.038로 산출되었다. 이는 보험료 한 단위 (백만원)가 증가하면 위험률이 3.
마지막으로 계약자연령의 경우 위험률과 양의 상관관계를 보이고 위험비는 1.005이 나왔으며 위험비율의 95% 신뢰구간에 1을 포함하지 않기 때문에 이 비율은 유의한 것으로 나타났다. 즉, 계약자연령이 1세 증가할수록 위험이 1.
분석 결과 해지율에 영향을 미치는 변수는 납입방법, 보험료, 보험기간 대비 유지기간, 계약자적립금 대비 최소보증금, 계약자 연령순으로 중요도가 높게 나타났다. 보험기간 대비 유지기간을 제외한 모든 변수들이 양의 관계를 가졌으며 이는 변수들이 한 단위 증가할 때마다 위험률이 증가하는 것으로 해석할 수 있다.
Wald 추정량은 모형에서 각 공변수가 얼마나 공헌하고 있는가를 나타내며 Wald 추정량이 클수록 모형에서 변수의 공헌도가 크다는 것을 의미한다. 분석결과 중요변수는 납입방법, 보험료, 유지기간/보험기간, 계약자적립금 대비 최소보증금, 계약자연령 순으로 나타났다.
최종모형으로 선택된 공변수를 대상으로 상관분석을 실시해보았다. 상관분석결과 대부분의 공변수들이 양의 상관관계를 보였으며 계약자적립금 대비 최소보증금과 보험기간 대비 유지기간은 음의 상관관계를 보였다. 이는 Table 3.
셋째, 보험기간 대비 유지기간은 위험률과 음의 관계를 보였으며 이는 보험기간 중 유지기간이 차지하는 비율이 증가할수록 위험률이 감소함을 뜻한다. 또한 위험도를 나타내는 위험비 역시 0.
첫째, 납입방법의 경우 변수입력 시 월납의 경우에는 ‘0’, 일시납의 경우에는 ‘1’로 입력하였다.
본 연구의 한계와 향후 연구과제는 다음과 같다. 첫째로, 분석에 사용된 해지건에 대한 데이터들의 유지기간이 1년을 채 넘기지 못한 데이터가 상당수 있었다. 이는 특정 보험회사에서만 보이는 특성인지 전반적인 흐름인지에 대한 연구가 선행되지 않아 분석결과에 대한 신뢰성이 떨어질 수 있다.
후속연구
보험기간 대비 유지기간을 제외한 모든 변수들이 양의 관계를 가졌으며 이는 변수들이 한 단위 증가할 때마다 위험률이 증가하는 것으로 해석할 수 있다. 계약자적립금 대비 최소보증금의 수준이 계약자의 행동에 크게 영향을 미친다는 분석이 보고된 바 본 연구에서는 그 결과가 반대로 나왔으며 공변수가 비율이라는 점을 감안하면 해석 상 오류를 범하지 않도록 주의해야겠다. 또는 최근 몇 차례 금융위기를 겪으면서 투자 형 상품에 대한 불안증으로 인하여 투자형 상품에서 이탈되는 계약이 많았다는 것으로도 해석할 수 있다.
따라서 차후에는 여러 보험회사의 데이터를 이용하여 패턴을 분석한 후 정교한 예측이 이루어지도록 연구할 필요성이 있다. 둘째로, 본 논문에서는 8개의 기초변수를 대상으로 분석을 실시하였으나 투자 형 상품인 만큼 계약자의 자산 및 신용상태 등 그 외에 고려될 수 있는 변수가 다양하나 데이터의 제약으로 인해 포함하지 못하였다. 따라서 해지율의 예측력을 더욱 높이기 위해서는 해지에 영향을 줄 수 있는 다양한 공변수들이 반영되어야 할 것이며 결과해석에 있어서도 더욱 객관적인 판단과 해석이 이루어져야 할 것이다.
이는 특정 보험회사에서만 보이는 특성인지 전반적인 흐름인지에 대한 연구가 선행되지 않아 분석결과에 대한 신뢰성이 떨어질 수 있다. 따라서 차후에는 여러 보험회사의 데이터를 이용하여 패턴을 분석한 후 정교한 예측이 이루어지도록 연구할 필요성이 있다. 둘째로, 본 논문에서는 8개의 기초변수를 대상으로 분석을 실시하였으나 투자 형 상품인 만큼 계약자의 자산 및 신용상태 등 그 외에 고려될 수 있는 변수가 다양하나 데이터의 제약으로 인해 포함하지 못하였다.
둘째로, 본 논문에서는 8개의 기초변수를 대상으로 분석을 실시하였으나 투자 형 상품인 만큼 계약자의 자산 및 신용상태 등 그 외에 고려될 수 있는 변수가 다양하나 데이터의 제약으로 인해 포함하지 못하였다. 따라서 해지율의 예측력을 더욱 높이기 위해서는 해지에 영향을 줄 수 있는 다양한 공변수들이 반영되어야 할 것이며 결과해석에 있어서도 더욱 객관적인 판단과 해석이 이루어져야 할 것이다. 세 번째로, 본 연구에서는 선택된 공변량이 비례성 가정을 만족하여 추가적인 분석이 이루어지지 않았으나 변수가 더욱 다양해진다면 공변량이 시간에 따라 달라지는 모형 (time dependent covariates)이 발견될 수 있으며 이를 적용한 연구가 이루어져야 할 것이다.
따라서 해지율의 예측력을 더욱 높이기 위해서는 해지에 영향을 줄 수 있는 다양한 공변수들이 반영되어야 할 것이며 결과해석에 있어서도 더욱 객관적인 판단과 해석이 이루어져야 할 것이다. 세 번째로, 본 연구에서는 선택된 공변량이 비례성 가정을 만족하여 추가적인 분석이 이루어지지 않았으나 변수가 더욱 다양해진다면 공변량이 시간에 따라 달라지는 모형 (time dependent covariates)이 발견될 수 있으며 이를 적용한 연구가 이루어져야 할 것이다. 이 외에 비모수적 방법이 아닌 모수적 방법의 활용으로도 많은 연구가 이루어져야 할 것이다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
투자형 상품의 경우계약자가 예상하는 투자적립금 수준과 실제 적립금의 차이가 계약자 행동에 영향을 주게 되는 이유는?
또한 투자형 상품의 경우 고정적인 예정이율을 보장해주는 상품과 달리 펀드수익률에 따라 투자적립금의 수준이 달라지기 때문에 계약자가 예상하는 투자적립금 수준과 실제 적립금의 차이가 계약자 행동에 영향을 주게 된다. 이와 같은 점을 감안하여 본 논문에서는 투자형 보험상품인 변액연금을 분석대상 으로 한정하였으며 본 연구의 목적은 이러한 계약자의 행동을 반영한 해지율을 추정해 봄으로써 변액연금의 리스크 관리에 도움이 되고자 하는 것이다.
Cox의 모형은 공변수들이 위험률에 비례적으로 변한다는 것을 어떻게 분석할 수 있는가?
Cox의 모형은 공변수의 효과를 모형 안에서 고려함으로써 이 공변수들이 위험률에 비례적으로 변한다는 것을 분석할 수 있다. 즉, 두 관측의 위험률 비가 시간에 대해 일정하다는 것을 의미하므로 공변수의 서로 다른 값에서 log(− log(S(t)))는 t시점에 관계없이 일정하게 된다.
기존 보험계약의 해지율 연구와 본 연구와의 차별성은 무엇인가?
기존 보험계약의 해지율 연구와 본 연구와의 차별성은 두 가지이다. 첫 번째는 데이터 분석의 접근이 기존 연구에서는 합산된 자료를 이용하여 분석하였지만 본 연구에서는 변액연금의 개별 건별 계약 데이터를 활용하여 분석한다. 두 번째는 기존의 연구가 실태분석 또는 회귀분석에 초점이 맞추어져 있었지만 본 연구에서는 계약 데이터의 관측기간이 91개월이므로 중도절단 (censoring)을 포함하고 있기 때문에 생존분석기법 중 하나인 Cox 비례위험모형을 이용하여 추정하는 것이 타당성 있다. 또한 부록에 있는 그래프에서 확인할 수 있듯이 공변수 (covariates)별로 유지율 (생존율)의 차이가 있음이 나타나기 때문에 이를 반영하여 모형에 적용하는 것이 필요하다.
참고문헌 (17)
Allison, P. D. (1995). Survival analysis using SAS: A practical guide, SAS Institute, North Carolina.
Chung, Y. S. (1992). Suggestions for improving the persistency rates of life insurance contracts. Korea Insurance Academic Society, 39, 241-273.
Cox, D. R. (1972). Regression models and life tables. Journal of Royal Statistic Society, 34, 187-220.
Fox, J. (2011). An R companion to applied regression, SAGE Publications, California.
IOAK. (1990). Improvement method for continuous contract rate using model analysis, Institute of Actuaries of Korea, Seoul.
Jung, S. C. and Ouh S. C. (2007). An empirical study on the lapse rate in the life insurance industry. Korea Insurance Academic Society, 82, 155-179.
Jung, S. C., Ouh, S. C. and Kang, J. C. (2011). An empirical study on the influence of product portfolio and interest rate on the lapse rate in the life insurance industry. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 22, 73-80.
Kang, M. and Lee J. W. (2009). Survival analysis small and medium size construction enterprises using Cox proportional hazards model. Journal of the Korea Real Estate Analysts Association, 15, 44-45.
Kim, S. N. (2008). Study on a prediction model for the cancellation of a life insurance contract using logistic and survival analysis, Master Thesis, Ewha Womans University, Seoul.
KIRI. (2009). Analysis on the suspension of effect and the cancellation of life insurance contracts, Korea Insurance Research Institute, Seoul.
KIRI. (2010). Estimation and prediction models for the cancellation rate for each life insurance products, Korea Insurance Research Institute, Seoul.
Kuo, W., Tsai, C. and Chen, W. (2003). An empirical study on the lapse rate; The cointegration approach. Journal of the American Risk and Insurance Association, 70, 489-508.
Kwon, J. Y. (2011). Study of dynamic lapse rate model, Master Thesis, SungKyunKwan University, Seoul.
Lee, H. (2009). Decrement models with an application to variable annuities under fractional age distributions. Communications for Statistical Applications and Methods, 16, 85-102.
Park, J. K., Oh, K. H. and Kim, M. S. (2012). Survival analysis on the business types of small business using Cox's proportional hazard regression model, Journal of the Korean Data & Information Science Society, 23, 257-269.
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