[논문]한계상태식의 3차 다항식 근사를 통한 구조물 신뢰도 평가

이승규; 김성찬; 김태욱

doi:10.7734/coseik.2013.26.3.183

한계상태식의 3차 다항식 근사를 통한 구조물 신뢰도 평가
Structure Reliability Analysis using 3rd Order Polynomials Approximation of a Limit State Equation 원문보기

한국전산구조공학회논문집 = Journal of the computational structural engineering institute of Korea, v.26 no.3, 2013년, pp.183 - 189

이승규 (한국항공우주연구원) , 김성찬 (한국항공우주연구원) , 김태욱 (한국항공우주연구원)

초록
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본 논문에서는 불확실성을 확률변수로 가정하고 구조물의 파손기준을 한계상태식(Limit State Equation)으로 정의하였다. 한계상태식을 Fleishman의 3차 다항식으로 근사하고 이론적인 확률 모멘트(Moments)를 계산하였다. Fleishman은 표준정규 분포 확률변수에 대해서만 3차 다항식을 제시하였으나, 본 논문에서는 이를 확장하여 베타, 감마, 균일 분포 등 다양한 확률 변수에 적용하였다. 확률 모멘트를 계산하기 위해서 누률(Cumulants)과 정규화된 한계상태식을 활용하였으며, 피어슨 시스템(Pearson System)을 통해 한계상태식의 확률분포를 근사하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper, uncertainties and failure criteria of structure are mathematically expressed by random variables and a limit state equation. A limit state equation is approximated by Fleishman's 3rd order polynomials and the theoretical moments of an approximated limit state equation are calculated. Fleishman introduced a 3rd order polynomial in terms of only standard normal distiribution random variables. But, in this paper, Fleishman's polynomial is extended to various random variables including beta, gamma, uniform distributions. Cumulants and a normalized limit state equation are used to calculate a theoretical moments of a limit state equation. A cumulative distribution function of a normalized limit state equation is approximated by a Pearson system.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서는 이러한 과정을 통해 한계상태식의 정확한 확률모멘트를 계산하는 방안을 제시한다. 또한, Fleishman은 표준정규분포로만 구성된 다항식을 고려하였으나, 본 연구에서는 Fleishman의 다항식 모델을 확장하여 표준정규분포 이외의 확률변수로도 다항식을 구성하여 구조물 신뢰도 해석에 적용하였다.
본 논문에서는 한계상태식을 교차항이 없는 다항식으로 정의할 수 있는 경우에 한 해, 한계상태식의 이론적인 확률모멘트를 계산하고 구조 신뢰도 해석에 적용하는 방법을 제안하였다. 이를 위해 Fleishman의 3차 다항식 모델을 활용하였다.
이 장에서는 신뢰도 해석의 일반적인 방법을 소개한 후, 한계상태식의 다항식 근사 및 확률모멘트 계산방법과 간단한 예제에 대해 적용한 결과를 소개하고자 한다.

가설 설정

해석 대상 구조물은 Yang(2003)이 신뢰도 해석에 인용한 예제를 변형한 것으로 10개의 Bar로 구성되어 있으며, 절점 2곳을 통하여 수직방향의 하중 40kN이 부과되었다. Bar의 길이는 대각선 방향의 Bar를 제외하고 동일하게 9,000mm로 가정하였으며 Elastic Modulus는 70 GPa, Poisson Ratio는 0.3으로 가정하였다. Bar의 단면적(A1∼A10)은 정규분포 및 균일분포로 가정하였으며 Table 2과 같다.
Bar의 단면적(A1∼A10)은 정규분포 및 균일분포로 가정하였으며 Table 2과 같다.
구조물 끝단의 수직 변위가 -37.5mm이하인 경우를 구조물 파손기준으로 가정하고 신뢰도를 계산하였다. 예를 들면 구조물의 끝단 변위가 -40.

제안 방법

본 논문에서는 식 (6)의 한계상태식을 교차항이 없는 3차 다항식(식 (7))으로 근사하여 확률모멘트의 이론적인 해를 계산하고 파손확률 계산에 활용하였다. Fleishman(1978), Headrick(2002)은 임의의 분포를 모사하기 위해 표준정규 분포 확률변수로만 구성된 3차, 5차 다항식을 구성하였지만, 본 논문에서는 이를 확장하여 균일분포, 베타분포, 감마분포, 지수분포, 대수정규분포 등 정규분포 이외의 확률변수로 구성된 다항식에 대해서도 확률모멘트를 계산하여 신뢰도 계산에 활용하였다.
이를 위해 Fleishman의 3차 다항식 모델을 활용하였다. Fleishman은 표준정규분포 확률변수로만 정의된 3차 다항식 모델을 활용하였으나, 본 논문에서는 이를 확장하여 표준정규분포 이외의 확률변수로도 다항식을 구성하고 확률모멘트를 계산하였다.
X₁₌-3, -1, 1, 3, X₂₌-3, -1, 1, 3의 Sampling Point를 사용하여 한계상태식을 3차 다항식으로 근사하였으며 그 결과는 Fig 5와 같다. X₁ >5와 X₁ <-5 영역에서 3차 다항식은 한계상태식과 오차를 가지는 것을 확인할 수 있다.
본 논문에서는 이러한 과정을 통해 한계상태식의 정확한 확률모멘트를 계산하는 방안을 제시한다. 또한, Fleishman은 표준정규분포로만 구성된 다항식을 고려하였으나, 본 연구에서는 Fleishman의 다항식 모델을 확장하여 표준정규분포 이외의 확률변수로도 다항식을 구성하여 구조물 신뢰도 해석에 적용하였다.
몬테칼로 시뮬레이션은 반복횟수(N)가 클수록 정확한 파손확률을 계산할 수 있다. 몬테칼로 시뮬레이션 N번 수행시 추정되는 오차는 유의수준 5% 수준에서 식 (3)과 같으며 본 논문에서는 이러한 오차를 반영하여 몬테칼로 시뮬레이션 결과를 제시하였다(Haldar et al., 2000).
식 (15)에 정의된 누률은 4차까지도 합의 법칙이 성립하므로 식 (16)를 통해 한계상태식의 누률을 계산하고 확률모멘트로 다시 변환하였다. 이렇게 계산된 한계상태식의 확률모멘트를 기반으로 피어슨 시스템의 Type을 결정하고 확률밀도함수를 선정하였다.
따라서, 확률변수 Y_i의 4차 확률모멘트의 합으로 확률변수 Z=(∑Y_i)의 4차 확률모멘트는 계산할 수 없다. 이에 대한 해결책으로 누률(Cumulant)를 사용하였다. 식 (15)에 정의된 누률은 4차까지도 합의 법칙이 성립하므로 식 (16)를 통해 한계상태식의 누률을 계산하고 확률모멘트로 다시 변환하였다.

대상 데이터

본 논문에서 제시한 방법으로 간단한 구조물의 변위 신뢰도를 해석하고 몬테칼로 시뮬레이션, 신뢰도 지수법의 결과와 비교하였다. 해석 대상 구조물은 Yang(2003)이 신뢰도 해석에 인용한 예제를 변형한 것으로 10개의 Bar로 구성되어 있으며, 절점 2곳을 통하여 수직방향의 하중 40kN이 부과되었다. Bar의 길이는 대각선 방향의 Bar를 제외하고 동일하게 9,000mm로 가정하였으며 Elastic Modulus는 70 GPa, Poisson Ratio는 0.

데이터처리

본 논문에서 제시한 방법으로 간단한 구조물의 변위 신뢰도를 해석하고 몬테칼로 시뮬레이션, 신뢰도 지수법의 결과와 비교하였다. 해석 대상 구조물은 Yang(2003)이 신뢰도 해석에 인용한 예제를 변형한 것으로 10개의 Bar로 구성되어 있으며, 절점 2곳을 통하여 수직방향의 하중 40kN이 부과되었다.

이론/모형

근사적인 방법은 크게 모의실험법, 신뢰도지수법, 모멘트법이 있다. 모의실험법의 대표적인 방법은 몬테칼로 시뮬례이션이다. 한계상태식에 존재하는 확률변수의 분포특성을 알고 있다고 했을 때, 분포특성에 맞게 무수히 많은 난수를 발생시키고 한계상태식에 대입하여 음의 값을 갖는 횟수를 관찰하는 방법이다.
한계상태식이 음의 값을 갖는 경우에 대한 확률뿐만 아니라, 한계상태식의 확률밀도 함수도 구할 수 있다는 장점이 있다. 본 논문에서는 피어슨 시스템을 사용하였다.
본 논문에서는 한계상태식을 교차항이 없는 다항식으로 정의할 수 있는 경우에 한 해, 한계상태식의 이론적인 확률모멘트를 계산하고 구조 신뢰도 해석에 적용하는 방법을 제안하였다. 이를 위해 Fleishman의 3차 다항식 모델을 활용하였다. Fleishman은 표준정규분포 확률변수로만 정의된 3차 다항식 모델을 활용하였으나, 본 논문에서는 이를 확장하여 표준정규분포 이외의 확률변수로도 다항식을 구성하고 확률모멘트를 계산하였다.
확률변수는 전부 표준정규분포이지만, 한계상태식 자체의 비선형성이 좀 더 큰 경우에 대한 파손확률을 계산하기 위해 식 (17)과 같이 지수함수를 포함한 한계상태식에 본 논문의 방법을 적용하였다(Kim et al., 1997).

성능/효과

몬테칼로 시뮬레이션 결과가 상대적으로 정확한 결과라고 가정을 했을 때, 본 논문에서 제시한 방법이 신뢰도 지수법보다 정확한 신뢰도를 계산하였다. 신뢰도 지수법을 사용할 경우, 균일분포를 표준정규분포로 전환하는 과정에서 비선형성이 발생하기 때문에 한계상태식의 비선형성이 약하다 하더라도, 정확한 파손확률을 계산할 수 없는 것으로 판단된다.
몬테칼로 시뮬레이션, 신뢰도 지수법과 본 논문에서 제시한 방법으로 파손확률(Z <-1인 확률)을 계산하였으며, SORM (Breitung)과 본 논문의 제시방법은 몬테칼로 시뮬레이션과 같은 파손확률을 계산하였음을 확인할 수 있다(Table 4).
신뢰도 지수법을 사용할 경우, 균일분포를 표준정규분포로 전환하는 과정에서 비선형성이 발생하기 때문에 한계상태식의 비선형성이 약하다 하더라도, 정확한 파손확률을 계산할 수 없는 것으로 판단된다. 본 논문에서 제시한 방법 역시 몬테칼로 시뮬레이션 결과와 차이는 있지만, 신뢰도 지수법에 비해 훨씬 근접한 신뢰도를 계산하였음을 확인할 수 있다. 한계상태식을 다항식으로 근사하고 확률모멘트를 기반으로 파손확률을 근사하여 파손확률을 계산하는데, 이렇게 2차례의 근사화 과정을 통해 발생한 오차 때문에 몬테칼로 시뮬레이션 결과와 차이가 생기는 것으로 판단된다.
본 논문에서 제시한 방법으로 계산한 확률밀도 및 누적확률을 몬테칼로 시뮬레이션과 비교했을 때(Fig. 3, 4) 거의 같음을 확인할 수 있다.
몬테칼로 시뮬레이션, 신뢰도 지수법과 본 논문에서 제시한 방법으로 파손확률(Z <-1인 확률)을 계산하였으며, SORM (Breitung)과 본 논문의 제시방법은 몬테칼로 시뮬레이션과 같은 파손확률을 계산하였음을 확인할 수 있다(Table 4). 본 논문의 제시방법은 작은 차이지만 SORM에 비해 한계상태식 전체의 누적확률분포 역시 잘 모사하고 있음을 확인할 수 있다(Fig. 6, 7).
한계상태식의 확률모멘트를 기반으로 피어슨 시스템에서 적절한 분포를 선택 및 계산하였으며 신뢰도 지수법에 비해 개선된 결과를 얻을 수 있음을 확인하였다. 하지만, 본 논문의 제시방법은 한계상태식이 교차항이 없는 다항식으로 근사 가능할 때만 적용 가능하다는 한계점이 있다.

후속연구

한계상태식의 확률모멘트를 기반으로 피어슨 시스템에서 적절한 분포를 선택 및 계산하였으며 신뢰도 지수법에 비해 개선된 결과를 얻을 수 있음을 확인하였다. 하지만, 본 논문의 제시방법은 한계상태식이 교차항이 없는 다항식으로 근사 가능할 때만 적용 가능하다는 한계점이 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	모멘트법이란 무엇인가?	모멘트법은 한계상태식의 확률모멘트를 계산하고, 이를 이용하여 임의의 확률분포로 근사하고 특정 한계상태식 값에 대한 확률을 구한다. 임의의 확률분포로 근사하기 위해서 주로 피어슨 시스템(Pearson System) 또는 존슨 시스템(Johnson System)이 사용된다.
	신뢰도 지수방법이란 무엇인가?	신뢰도 지수방법은 한계상태식이 정규분포라는 가정 하에 한계상태식의 평균과 표준편차의 비로 신뢰도 지수를 정의하고 표준정규분포에 대입하여 파손확률을 구한다. 한계상태식의 평균과 표준편차의 비로 정의된 신뢰도 지수는 불변성이 결여되는 문제점이 발견되었으며, 그 후 표준정규분포 공간상에서 원점과 한계상태식의 최단 거리로 다시 정의되어 불변성 결여 문제가 해결되었다.
	파손확률은 불확실성을 확률변수로 정의하고 해당 확률변수를 기반으로 파손기준을 정의한 한계상태식의 3가지 계산방법은 무엇인가?	파손확률은 불확실성을 확률변수로 정의하고 해당 확률변수를 기반으로 파손기준을 정의한 한계상태식(Limit Sate Equation)이 음의 값을 갖는 확률이며 크게 3가지의 계산 방법이 있다. 첫 번째 방법은 수많은 확률변수를 생성하여 파손확률을 계산하는 모의실험법으로 몬테칼로 시뮬레이션(Monte Calro Simulation)이 대표적인 방법이다. 몬테칼로 시뮬레이션은 다른 방법에 비해 정확하지만, 수치비용이 많이 소모되는 단점이 있다. 두 번째 방법은 신뢰도 지수법으로 표준정규분포 확률변수 공간에서 한계상태식과 원점과의 최단거리로 정의되는 신뢰도 지수(Reliability Index)를 통해 파손확률을 계산할 수 있는 것으로 신뢰도 지수를 계산하는 것은 최적화 문제를 푸는 것과 동일하다. 마지막으로 한계상태식의 확률모멘트 정보를 기반으로 피어슨 시스템(Pearson System)에서 확률분포를 선택 및 계산하는 방법이 있다. 일반적인 한계상태식의 확률모멘트는 가우스 구적법(Gauss Quadrature)을 통해 계산하는 방안이 제시되었으나, 한계상태식 비선형이고 확률변수의 수가 많을 경우, 많은 계산량이 필요하다. 예를 들어, 확률변수 10개로 구성되고 3차정도 비선형성을 갖는 한계상태식 모멘트를 구하기 위해 5점 가우스 적분을 사용할 경우, 510번의 한계상태식 계산이 필요하다.

참고문헌 (8)

Choi, H.S. (2005) Moment Based Reliability Analysis for Genernal Distributions using Multi-level DOE, Master's Thesis, KAIST, p.95.
Fleishman, A.I. (1978) A Method for Simulating Non-normal Distributions, Psychometrika, 43(4), pp.521-532.

상세보기
Haldar, A., Mahadevan, S. (2000) Reliability Assessment Using Stochastic Finite Element Analysis, John Wiley & Sons, INC., USA, p.328.
Headrick, T.C. (2002) Fast Fifth-order Polynomial Transforms for Generating Univariate and Multivariate Nonnormal Distributions, Computational Statistics & Data Analysis, 40, pp.685-711.

상세보기
Johnson, N.L., Kotz, S. (1970) Continuous Univariate Distribution-1, John Wiley & Sons, INC., USA, p.300.
Kim, S.H., Na, S.W. (1997) Response Surface Method using Vector Projected Sampling Points, Structural Safety, 19(1), pp.3-19.

상세보기
Xu, H., Rahman, S. (2005) Decomposition Methods for Structural Reliability Analysis, Probabilistic Engineering Mechanics, 20, pp.239-250.

상세보기
Yang, Y.S., Ruy, W.S., Kim, B.J. (2003) Co-evolutionary Structural Design Framework : Min(Volume Minimization)-Max(Critical Load) MDO Problem of Topology Design under Uncertainty, Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea, 16(3), pp.281-290.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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