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문제 정의
- 둘째로, 본 연구에서는 대수와 기하의 수학적 연결성을 기본적인 틀로 하고 있는 해석기하학의 관점에서 방정식의 기하학적 해법이 갖는 의미를 고찰해보고, 특히 삼차방정식의 기하학적 해법을 교수학적으로 활용할 수 있는 가능성을 이론적으로 고찰해보았다. 하지만, 본 연구에서 하나의 틀로 제시한 대수와 기하의 연결에 관한 해석기하학 관점의 논의는 수학적 연결성과 관련된 학교 수학의 다양한 교수학적 현상의 일부분에 해당하는 것이다.
- 본고에서는, Descartes가 분류한 2종의 방정식에 해당하는 삼차방정식에 대한 기하학적 해법을 고찰해보고자 한다. 삼차방정식은 두 개의 원뿔곡선의 방정식을 연립한 형태로 해석할 수 있으며, 좌표평면에 표현된 원뿔곡선들의 교점을 활용하여 삼차방정식의 해를 기하학적으로 제시할 수 있으므로 삼차방정식의 기하학적 해법을 다루면서 Descartes가 해석기하학을 발전시키면서 주로 사용했던 원뿔곡선을 통하여 기하학적 해를 제시할 수 있다는 교수학적인 시사점이 있다.
- 이와 같이 학교 수학에서 대수와 기하의 연결은 매우 중요한 교수학적 관점이 될 수 있다는 전제하에, 본 연구에서는 대수와 기하의 연결 고리를 마련했다는 점에서 수학사에 큰 공헌을 한 17세기의 프랑스의 수학자 Descartes의 관점을 재조명하고, 교수학적 시사점을 찾는 것을 목적으로 하고 있다. 이를 위하여 해석기하학의 기본 원리와 전개 방식의 특징을 살펴보았으며, 국내·외 교육과정 문서 및 해석기하학을 다루고 있는 선행 연구에 대한 분석을 하였다.
- 특히, 대수 곡선들의 교점으로 방정식의 해를 제시하는 해석기하학의 관점(Allaire & Bradley, 2001)을 바탕으로, 원뿔곡선을 활용하여 기하학적인 해를 구성할 수 있는 방법을 소개하고 삼차방정식을 기하학적으로 해석하여 대수와 기하의 수학적 연결성에 관한 통찰의 기회를 제공할 수 있는 가능성을 고찰해보고자 한다.
가설 설정
- 을 사용하였다. 문제가 해결되었다고 가정하 고, 처음 주어진 선분들 중 하나인 선분 AB의 길이와 주어진 조건을 만족시키도록 작도한 선분들 중 하나인 선분 BC의 길이를 각각 x, y라 놓았다4). 그리고 처음에 주어진 각 선분의 연장선과 선분 AB의 연장선이 만나서 생기는 교점 E, G와 선분 BC의 연장선이 만나 생기는 교점 R, T, S에 대하여, 각 점을 잇는 선분의 길이를 x와 y에 관한 식으로 나타낼 수 있었다.
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