[논문]2-모수 파레토분포의 객관적 베이지안 추정

손영숙

doi:10.5351/kjas.2013.26.5.713

2-모수 파레토분포의 객관적 베이지안 추정
Objective Bayesian Estimation of Two-Parameter Pareto Distribution 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.26 no.5, 2013년, pp.713 - 723

초록
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본 연구에서는 2-모수 파레토분포에 대해 무정보사전분포인 준거사전분포의 가정 하에서 객관적 베이지안 모수추정 절차를 제안하였다. 베이지안 추정은 깁스샘플링에 의해서 수행된다. 깁스샘플러에서 모수생성하는 방법은 형태모수는 감마분포로부터 생성하고 척도모수는 적응기각표집 알고리즘에 의해 생성한다. 제안된 베이지안 모수추정 절차는 모의실험과 자료분석에서 기존의 추정방법들인 L-적률추정법, 최우추정법, 공액사전분포 하의 주관적 베이지안 모수추정법과 비교된다.

Abstract ▼ AI-Helper

An objective Bayesian estimation procedure of the two-parameter Pareto distribution is presented under the reference prior and the noninformative prior. Bayesian estimators are obtained by Gibbs sampling. The steps to generate parameters in the Gibbs sampler are from the shape parameter of the gamma distribution and then the scale parameter by the adaptive rejection sampling algorism. A numerical study shows that the proposed objective Bayesian estimation outperforms other estimations in simulated bias and mean squared error.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구에서는 2-모수 파레토분포에 대해 무정보사전분포인 준거사전분포의 가정 하에서 객관적 베이지안 모수추정 절차를 제안하였다. 베이지안 추정은 깁스샘플링에 의해서 수행된다.
본 연구에서는 Fu 등 (2012)이 사용한 준거사전분포의 가정 하에서 2-모수 파레토분포에 대한 객관적베이지안 모수추정 절차를 제안한다. 제안된 베이지안 추정법은 모의실험과 자료 분석을 통하여 L-적률 추정법 및 최우추정법과 비교 평가된다.
본 절에서는 Arnold와 Press (1983)가 제안한 공액사전분포 가정 하에서의 베이지안 모수추정 결과를 소개한다. 식 (3.

제안 방법

그리고 α = 0.5, 1, 3, 5, 10인 Pareto(α, β)로 부터 표본의 크기가 n = 15, 30, 100인 자료세트를 각각 1,000회 반복 생성하여 모의실험을 하였다.
본 연구에서 제안한 객관적 베이지안 모수추정을 위하여 Figure 3.1의 Gibbs sampler를 I = 11,000회반복 수행하여 처음 1,000회를 버리고 나머지 10,000회 반복 생성한 α와 β값들로 사후분포를 구성하였다.
본 절에서는 Fu 등 (2012)이 제안한 객관적 사전분포로서 다음의 준거사전분포(reference prior)의 가정 하에서 객관적 베이지안 모수추정 절차를 제안한다.
3)를 사용하여 이루어졌다. 파레토, 감마 확률변수 생성을 위하여 rpareto 및 rgamma 함수를 각각 사용하였고 ARS 알고리즘을 구현하기 위하여 ars.new 함수를 사용하였다. 또한 HPD(highest posterior density) interval을 구하기 위하여 HPDinterval 함수를 사용하였다.

대상 데이터

Table 4.2의 자료는 Arnold와 Press (1989)가 공액사전분포의 가정 하에서 제안한 베이지안 추정 절차에 의해 Pareto(α, β)분포에 적합하였던 연간 임금(annual wage) 자료이다.

데이터처리

본 연구에서 제안한 객관적 베이지안 모수추정법의 평가를 위하여 모의실험과 자료분석을 수행하였다. 모든 계산은 R package(version 2.
본 연구에서는 Fu 등 (2012)이 사용한 준거사전분포의 가정 하에서 2-모수 파레토분포에 대한 객관적베이지안 모수추정 절차를 제안한다. 제안된 베이지안 추정법은 모의실험과 자료 분석을 통하여 L-적률 추정법 및 최우추정법과 비교 평가된다.

이론/모형

기각표집법을 사용하여 정규화상수 위까지만 명시되어 있는, 즉, pdf의 kernel만 주어진 kernel pdf 로부터 변수를 생성하고자 하는 경우에 필요한 kernel pdf의 덮개함수(envelope function)를 찾는 것은 현실적으로 어렵다. Gilks와 Wild (1992)가 제안한 적응기각표집법(adaptive rejection sampling; ARS)은 kernel pdf의 로그-오목성(log-concavity)을 이용하여 kernel pdf의 로그함수에 접선을 연결하여 만든 조각직선덮개함수(piecewise linear envelope function)를 사용한다.
new 함수를 사용하였다. 또한 HPD(highest posterior density) interval을 구하기 위하여 HPDinterval 함수를 사용하였다. HPDinterval 함수는 경험적 cdf로 부터 지정된 확률을 가지는 모든 가능한 구간 중에서 가장 길이가 짧은 구간을 HPD interval로 계산한다.
본 절에서는 고전적 추정방법으로서 L-적률추정법 및 최우추정법에 의하여 2-모수 파레토분포의 모수 α 및 β에 대한 추정량을 계산한다.

성능/효과

Singh와 Guo (1995)는 전통적인 추정 방법으로 적률법, 확률가중법, 최대엔트로피법, 최우추정법의 성능을 평가하는 모의실험을 수행하였다. RMSE(root mean square error)의 기준 하에서 적률법은 다른 세 개의 추정법보다 현저하게 큰 RMSE 값을 주었으며 소표본 및 대표본에서 최우추정법이 가장 우수하였다. 일반적으로 최우추정법을 선호하는 대표적인 이유는 확률분포가 정규조건(regularity condition)을 만족하는 경우에 최우추정량이 점근 정규성을 가지므로 대표본에서 모수의 함수에 대한 구간추정을 가능하게 한다.
둘째, α의 값이 커질수록 분포의 산포가 커지므로 α 추정치들의 bias와 MSE도 점점 커진다.
제안된 객관적 베이지안추정법이 최우추정법보다 다소 더 좋은 결과를 보여 주었다. 본 논문에 모의실험 결과를 제시하지는 않았으나 주관적 베이지안 추정의 경우에 공액사전분포의 초모수 선택의 주관적 판단에 따라 모형 적합 결과는 매우 좌우되며 오히려 오차가 크게 발생하게 하는 결과를 준다.
둘째, α의 값이 커질수록 분포의 산포가 커지므로 α 추정치들의 bias와 MSE도 점점 커진다. 셋째, 표본의 크기가 커짐에 따라 bias와 MSE는 점점 작아진다.
5는 P-P plot(probability-probability plot)을 보여준다. 이상과 같은 모형적합 결과로 부터 객관적 베이지안 추정이 최우추정보다 다소 더 적합한 그러나 대체로 비슷한 적합도를 보여주고 있으며, 공액사전분포 하의 베이지안 추정은 이들 보다 적합도가 떨어짐을 알 수 있다. 원 자료의 확률 히스토그램과 최우추정 및 베이지안 추정에 의해 추정된 파레토 pdf를 동시에 보여주고 있는 Figure 4.
제안된 베이지안 모수추정 절차는 모의실험과 자료분석에서 기존의 추정방법들인 L-적률추정법, 최우추정법, 그리고 공액사전분포 하의 주관적 베이지안 모수추정법과 비교된다. 제안된 객관적 베이지안추정법이 최우추정법보다 다소 더 좋은 결과를 보여 주었다. 본 논문에 모의실험 결과를 제시하지는 않았으나 주관적 베이지안 추정의 경우에 공액사전분포의 초모수 선택의 주관적 판단에 따라 모형 적합 결과는 매우 좌우되며 오히려 오차가 크게 발생하게 하는 결과를 준다.
깁스샘플러에서 형태모수는 감마분포로 부터 생성되고, 척도모수는 Gilks와 Wild (1992)의 ARS 알고리즘에 의해 생성된다. 제안된 베이지안 모수추정 절차는 모의실험과 자료분석에서 기존의 추정방법들인 L-적률추정법, 최우추정법, 그리고 공액사전분포 하의 주관적 베이지안 모수추정법과 비교된다. 제안된 객관적 베이지안추정법이 최우추정법보다 다소 더 좋은 결과를 보여 주었다.
모의실험 결과는 다음과 같이 요약된다. 첫째, 모형 및 표본의 크기에 관계없이 bias와 MSE의 기준 하에서 BAYES, MLE, LME 순으로 우수하였다. BAYES는 소표본(n = 15)에서 MLE보다 더 우수하고 대표본(n = 100)에서는 비슷하다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	2-모수 파레토 pdf의 두가지 모수는 무엇을 의미하는가?	여기서 α는 분포의 모양을 결정하는 형태(shape) 모수이고, β는 척도(scale) 모수이다. 분포가 시작하는 위치를 나타낸다는 의미에서 β를 위치(location) 모수라고도 한다.
	파레토분포와 지수분포의 차이?	Pareto (1897)에 의해 처음 소개되었던 파레토분포(Pareto distribution)는 인구 규모, 주가 변동, 보험 손실, 보험금 청구, 소득, 급여, 인터넷 트래픽, 최대 풍속, 최대 강우량, 지진 혹은 산불과 같은 자연 재해의 규모, 유전 지역에서 오일 매장량 등과 같이 인구, 사회, 경제, 자연 환경적 현상 등 많은 분야의 자료에 적용되는 확률모형으로 중요한 역할을 해 왔다 (Crovella 등, 1998; Harris 등, 2000; Smith, 2003; Embrechts 등, 1997; Jackson과 Kagan, 1999; Cumming, 2001; Arnold, 1983; Arnold와 Press, 1989). 파레토분포는 지수분포와 모양은 비슷하나 꼬리가 더 두터우므로 극대값의 발생이 상대적으로 더 많이 발생하는 자료의 적용에 유용하다. 2-모수 파레토 pdf(probability density function)는 다음과 같이 정의된다.
	파레토분포의 역할?	Pareto (1897)에 의해 처음 소개되었던 파레토분포(Pareto distribution)는 인구 규모, 주가 변동, 보험 손실, 보험금 청구, 소득, 급여, 인터넷 트래픽, 최대 풍속, 최대 강우량, 지진 혹은 산불과 같은 자연 재해의 규모, 유전 지역에서 오일 매장량 등과 같이 인구, 사회, 경제, 자연 환경적 현상 등 많은 분야의 자료에 적용되는 확률모형으로 중요한 역할을 해 왔다 (Crovella 등, 1998; Harris 등, 2000; Smith, 2003; Embrechts 등, 1997; Jackson과 Kagan, 1999; Cumming, 2001; Arnold, 1983; Arnold와 Press, 1989). 파레토분포는 지수분포와 모양은 비슷하나 꼬리가 더 두터우므로 극대값의 발생이 상대적으로 더 많이 발생하는 자료의 적용에 유용하다.

참고문헌 (20)

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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