[논문]로그-정규분포와 파레토 합성 분포의 임계점 추정

김보배; 노지숙; 백창룡

doi:10.5351/kjas.2016.29.5.807

로그-정규분포와 파레토 합성 분포의 임계점 추정
Threshold estimation for the composite lognormal-GPD models 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.29 no.5, 2016년, pp.807 - 822

김보배 (성균관대학교 통계학과) , 노지숙 (성균관대학교 통계학과) , 백창룡 (성균관대학교 통계학과)

초록
AI-Helper

LN-GPD 합성 분포는 몸통부분은 로그-정규분포를 두터운 꼬리에 대해서는 GPD분포를 따르도록 합성한 분포로 두터운 몸통과 꼬리를 동시에 가지는 자료를 절삭없이 효율적으로 다룰 수 있는 분포이다. 하지만 임계점을 포함하고 있기에 최대우도추정량은 매우 불안정함이 잘 알려져 있어 본 논문이서는 이를 극복하기 위해서 임계점을 먼저 추정하고 나머지 모수들에 대해서 따로 추정하는 2단계 추정 방법들에 대해서 살펴보고 그 성능을 비교해 보았다. 그 결과 동시 추정하는 최대우도추정량의 경우 불안정한 추정이 GPD 분포의 꼬리 지수에서 두드러 졌으며 임계점에 대해서는 비교적 잘 추정함을 알 수 있었다. 이와 반대로 여러 비모수적인 방법들은 꼬리 지수는 만족스럽게 잘 추정하였으나 임계점의 경우 편의가 있음을 관찰할 수 있었다. 실증자료 분석을 위해 2단계 추정법을 이스라엘 은행의 콜센터에서 수집한 서비스 시간에 대한 자료에 적합해 보았으며 그 결과 LN-GPD 합성 분포를 사용하는 것이 로그-정규분포 혹은 GPD 분포 단독으로 사용하는 것보다 자료의 손실도 없이 더 좋은 적합도를 보임을 알 수 있었다.

Abstract ▼ AI-Helper

The composite lognormal-GPD models (LN-GPD) enjoys both merits from log-normality for the body of distribution and GPD for the thick tailedness of the observation. However, in the estimation perspective, LN-GPD model performs poorly due to numerical instability. Therefore, a two-stage procedure, that estimates threshold first then estimates other parameters later, is a natural method to consider. This paper considers five nonparametric threshold estimation methods widely used in extreme value theory and compares their performance in LN-GPD parameter estimation. A simulation study reveals that simultaneous maximum likelihood estimation performs good in threshold estimation, but very poor in tail index estimation. However, the nonparametric method performs good in tail index estimation, but introduced bias in threshold estimation. Our method is illustrated to the service time of an Israel bank call center and shows that the LN-GPD model fits better than LN or GPD model alone.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

따라서 본 논문은 로그-정규분포와 GPD 합성분포(composite lognormal-GPD models; LN-GPD)의빠르고 정확한 추정을 위한 방법으로 생각한 2단계 추정 방법을 사용하기 위해 필수불가결한 임계점 θ를 비모수적인 방법을 통해서 추정하는 방법에 대해서 살펴보고 그 성능을 살펴본다.
합성분포의 형태를 결정하는 중요한 요소중에 하나는 혼합 가중치 r이다. 따라서 본 절에서는 혼합 가중치 r = 0.1, 0.15, 0.2에 따라 추정값들이 어떻게 달라지는지 살펴보기로 한다. 이번 모의 실험에서는 실제값인 임계점 θ = 2, 꼬리지수인 α = 2, 반복횟수 N = 500으로 고정하였다.
따라서 본 논문은 로그-정규분포와 GPD 합성분포(composite lognormal-GPD models; LN-GPD)의빠르고 정확한 추정을 위한 방법으로 생각한 2단계 추정 방법을 사용하기 위해 필수불가결한 임계점 θ를 비모수적인 방법을 통해서 추정하는 방법에 대해서 살펴보고 그 성능을 살펴본다. 또한 2단계 추정 방법이 최대우도추정방법과 비교하여 유한 표본에서 수치적으로 안정적이면서도 참값에 가까운 모수 추정값을 주는지, 또 얼마나 좋은 성능을 보이는지 알기위해서 최대우도추정방법을 포함한비교 실험을 통해 제안한 방법론들의 성능을 살펴보고자 한다. 구체적으로 본 논문은 POT 모델링에서 많이 제안된 임계점 선택 방법들로 Hill (1975)이 제안한 적합성 검정방법에 기반을 둔 선택법, Drees와 Kaufmann (1988)이 제안한 계층알고리즘을 이용한 방법, Gonzalo와 Olmo (2004)에서 사용한 Kolmogorov-Smirnov 거리에 기반을 둔 적합성 측도를 이용한 방법, Nguyen과 Samorodnitsky (2012)의 Greenwood 통계량을 이용한 방법을 고려하였다.
로그-정규분포와 일반화 파레토 분포의 혼합모형은 몸쪽 부분의 로그정규분포와 꼬리 부분의 GPD 모형을 합성한 분포로써 꼬리가 긴 자료를 자료의 손실없이 효율적으로 다룰 수 있는 분포이다. 본 논문에서는 합성분포의 모수 추정에서 임계점을 포함하여 동시에 추정하는 최대우도추정방법은 임계점에 대해서는 만족스럽게 추정을 하지만 다른 모수 특히 꼬리 지수의 경우 매우 불안정하게 추정함을 모의실험을 통해 밝혔다. 이러한 단점을 해결하기 위해서 임계점을 먼저 추정한 뒤 주어진 임계점에 대해서 다른 모수를 추정하는 2단계 추정법에 대해서 논의하였다.
임계점 추정은 POT 모델링에서 매우 중요한 역할을 하고 있으며 지난 수십 년 동안 매우 활발한 연구가 진행되었다. 본 섹션에서는 본 논문에서 고려한 극단값 이론에서 널리 쓰이는 임계점 추정 방법에 관해서 기술한다. 기술적인 설명을 위해 먼저 몇 가지 용어에 대해서 밝혀둔다.
본 장에서는 앞에서 살펴본 다섯 가지의 방법 Hill 추정량(Hill, Hill2), Dress와 Kaufmann이 주장한계층알고리즘을 이용한 추정량(D.K method), Gonzalo와 Olmo의 K.S 통계량(K.S test), Nguyen과Samorodnistky가 주장한 포아송과정을 이용한 방법(N.S methold)을 사용하여 최적 임계점을 추정한결과를 보고한다. 아울러 MLE의 결과를 같이 보고함으로써 2단계 추정법의 효율성에 대해서 비교기준으로 삼고자 한다.
S methold)을 사용하여 최적 임계점을 추정한결과를 보고한다. 아울러 MLE의 결과를 같이 보고함으로써 2단계 추정법의 효율성에 대해서 비교기준으로 삼고자 한다. 생성한 자료는 수식 (2.
이는 Hill 방법이 최대값부터 X_(n)부터 시작하여 꼬리로 부터 자료를 하나씩 증가시키면서 지수분포를 따르게 되는 최초의 값을 임계점으로 선택하기 때문에 구조적으로 임계점을 크게 추정할 수 밖에 없다. 이를 해결하기 위해서 본 논문은 일정 구간에서 지수 분포를 따름이 기각이 되는 임계점 후보를 찾아내고 이 중에서 가장 작은 임계점을 고르는 방법을 제안하였다. 즉 1 ≤ k ≤ k_m = n^.

가설 설정

다른 조건이 없다면 순서화된 자료 X(1) ≤ · · · ≤ X(n)는 꼬리 지수 α를 가지는 정칙변동꼬리를 가지는 분포함수에서 얻어진 자료임을 가정한다.

제안 방법

본 논문에서 고려한 최적 임계점 선택방법이 표본 크기에 따라 어떻게 변화하는지에 대해서 알아보기 위해서 본 절에서는 실제값인 임계점 θ = 2, 꼬리지수인 α = 3, 반복횟수 N = 500으로 고정하였다. 그리고 표본수가 1,000, 5,000, 10,000으로 증가함에 따라 최적 임계점 선택방법들의 성능을 비교하였다.
그리고, 꼬리지수 값을 α = 1.7, 2.5, 3, 3.5로 변화시켰을 때 임계점의 추정이 어떻게 변화하는지 그 성능을 비교 각각 비교하였다.
이러한 단점을 보완하기 위해서 LN-GPD 합성 분포를 사용하여 적합하였다. 그리고, 본 논문에서 쓰인 다섯 가지 2단계 접근법의 추정법과, 임계점 포함하여 동시에 모수를 추정하는 MLE 방법을 이용하여 모수 추정을 한 결과를 Table 4.1에 요약하였다. Figure 4.
구체적으로 본 논문은 POT 모델링에서 많이 제안된 임계점 선택 방법들로 Hill (1975)이 제안한 적합성 검정방법에 기반을 둔 선택법, Drees와 Kaufmann (1988)이 제안한 계층알고리즘을 이용한 방법, Gonzalo와 Olmo (2004)에서 사용한 Kolmogorov-Smirnov 거리에 기반을 둔 적합성 측도를 이용한 방법, Nguyen과 Samorodnitsky (2012)의 Greenwood 통계량을 이용한 방법을 고려하였다. 또한 Hill (1975)이 원래 제안한 방법이 매우 큰 임계점을 추정하는 단점을 가짐이 잘 알려져 있어 이를 보안한 방법을 새롭게 제안하고 그 성능을 살펴보았다.
또한, ρ의 추정의 경우 2차 근사 모수 ρ에 대한 일치추정량들의 성능이 매우 불안정하고 Baek 등 (2009)에서 밝혔듯이 GARCH 모형을 비롯해 많은 모형에서 이론적으로 ρ의 값이 이론적으로 1이 되어 ρ = 1로 고정하여 임계점을 구하였다.
본 논문에서 고려한 최적 임계점 선택방법이 꼬리 지수인 α에 따라 어떻게 변화하는지에 대해서 알아보기 위해 두 번째 모의실험에서는 실제값인 임계점 θ = 2, 반복횟수 N = 500으로 고정하였다.
본 논문에서 고려한 최적 임계점 선택방법이 표본 크기에 따라 어떻게 변화하는지에 대해서 알아보기 위해서 본 절에서는 실제값인 임계점 θ = 2, 꼬리지수인 α = 3, 반복횟수 N = 500으로 고정하였다.
아울러 MLE의 결과를 같이 보고함으로써 2단계 추정법의 효율성에 대해서 비교기준으로 삼고자 한다. 생성한 자료는 수식 (2.1)로 부터 추출하였다. 로그정규분포의 모수 σ = 1와GPD의 모수 τ = 1는 모의 실험의 편의를 위해 고정하였다.
실증자료 분석에서는 초기 kn 및 초기 추정량을 토대로 수렴할 때까지 반복적으로 적용하여 을 구한다. Drees와 Kaufmann (1998)의 모의실험 결과를 토대로 로 택하였으며 는 개의 상위 순서통계량을 사용한 Hill 추정량이다.
이러한 단점을 보완하기 위해서 LN-GPD 합성 분포를 사용하여 적합하였다. 그리고, 본 논문에서 쓰인 다섯 가지 2단계 접근법의 추정법과, 임계점 포함하여 동시에 모수를 추정하는 MLE 방법을 이용하여 모수 추정을 한 결과를 Table 4.
본 논문에서는 합성분포의 모수 추정에서 임계점을 포함하여 동시에 추정하는 최대우도추정방법은 임계점에 대해서는 만족스럽게 추정을 하지만 다른 모수 특히 꼬리 지수의 경우 매우 불안정하게 추정함을 모의실험을 통해 밝혔다. 이러한 단점을 해결하기 위해서 임계점을 먼저 추정한 뒤 주어진 임계점에 대해서 다른 모수를 추정하는 2단계 추정법에 대해서 논의하였다. 극단값 분포 추정에서 널리 쓰이는 다섯 가지 비모수적인 방법들을 비교해본 결과 모두 꼬리 지수에 대해서는 정확한 추정값을 주었다.
8에 해당하는 모든 k에 대해서 카이 제곱 적합도 검정을 실시하고 지수 분포를 따름이 기각되는 k 가운데서 가장 큰 값을 선택하여 X_n−k+1는 지수 분포를 따르는 가장 작은 임계점이 되도록 하였다. 이를 Hill2라고 명하였으며 카이 제곱 적합도 검정에서는 데이터를 다섯 개의 구간으로 나누어 이에 기반을 두어 기대 도수(expected frequency)와 관찰 도수(observed frequency)를 계산하였다.
임의의 임계점 X(n−k+1), 1 ≤ k ≤ [n/4]을 기준으로 크거나 같은 값들을 통해 MLE를통해서 GPD 분포의 모수를 추정하고 이를 라고 하자.
즉 1 ≤ k ≤ km = n.8에 해당하는 모든 k에 대해서 카이 제곱 적합도 검정을 실시하고 지수 분포를 따름이 기각되는 k 가운데서 가장 큰 값을 선택하여 Xn−k+1는 지수 분포를 따르는 가장 작은 임계점이 되도록 하였다.
반면 새롭게 제안한 2단계 추정법에서는 꼬리 지수의 추정은 만족스러웠으나 임계점 추정에 있어서는 Hill2는 참값보다 작은 값을 추정하려는 경향이, 다른 방법의 경우 임계점을 참값보다 큰 값으로 추정하는 편의가 발생하였다. 하지만, MLE의 경우 분산이 가장 컸고 2단계 추정법에서 고려한 방법들은 모두 작은 분산을 가져 MLE에 비교하여 비교적 안정적으로 임계점을 추정하였다. 따라서 MLE 및 비모수적 방법의 이러한 특성을 잘 고려한다면 서로 상호 보완할 수 있을 것이라 본다.

대상 데이터

실증분석에 쓰인 자료는 Shen과 Brown (2006)에서 사용한 자료로 1999년 11월부터 12월까지 이스라엘 은행의 콜센터에서 수집된 자료이다. 관심 있는 변수는 콜센터 서비스 시간으로 이는 은행 고객이 콜센터에 전화를 하여 상담원과 통화한 시간을 기록한 것으로 정의된다.

이론/모형

2에 정리하였다. 2단계 추정법에 쓰인 MLE에 대한 자세한 유도식은 Bee (2012)를 참고하였다. 그 결과 꼬리 지수의 값이 2.
가장 먼저 살펴볼 방법은 최적 임계점 선정방법의 기본이 되는 Hill (1975)이 제시한 방법이다. Hill (1975)은 느린 변동 함수 L(x)를 상수로 가정하고 조건부 MLE를 통해서 꼬리 지수 α를 추정하는 Hill 추정량을 다음과 같이 제안하였다.
또한 2단계 추정 방법이 최대우도추정방법과 비교하여 유한 표본에서 수치적으로 안정적이면서도 참값에 가까운 모수 추정값을 주는지, 또 얼마나 좋은 성능을 보이는지 알기위해서 최대우도추정방법을 포함한비교 실험을 통해 제안한 방법론들의 성능을 살펴보고자 한다. 구체적으로 본 논문은 POT 모델링에서 많이 제안된 임계점 선택 방법들로 Hill (1975)이 제안한 적합성 검정방법에 기반을 둔 선택법, Drees와 Kaufmann (1988)이 제안한 계층알고리즘을 이용한 방법, Gonzalo와 Olmo (2004)에서 사용한 Kolmogorov-Smirnov 거리에 기반을 둔 적합성 측도를 이용한 방법, Nguyen과 Samorodnitsky (2012)의 Greenwood 통계량을 이용한 방법을 고려하였다. 또한 Hill (1975)이 원래 제안한 방법이 매우 큰 임계점을 추정하는 단점을 가짐이 잘 알려져 있어 이를 보안한 방법을 새롭게 제안하고 그 성능을 살펴보았다.

성능/효과

S의 경우 가장 작은 임계점 233을 추정하였다. Hill2의 임계점이 MLE를 사용한 것보다 작고 D.K 및 N.S 방법은 큰 임계점을 추정해 주는 것으로 미루어 보아 앞선 모의실험의 결과를 바탕으로 MLE를 사용한 임계점 추정이 참값에 가까울 것이라 사료된다. 이를 토대로 임계점을 435로 고정한 다음 다른 모수들에 대해서 최대우도추정량을 구한 2단계 추정법에 대한 결과값을 Table 4.
K 방법이 좀 더 우수함을 관찰할 수 있었다. RMSE 측면에서는 MLE가 가장 좋은 성능을 보였으며 비모수적인 방법으로는 본 논문이 제안한 Hill2 방법이 좋은 성능을 보였다. Hill2가 Hill에 비해서 편의를 줄이는 이유는 앞서 설명하였듯이 일정한 구간에서 지수분포를 따름이 기각되는 가장 작은 임계점을 선택하기 때문이다.
이러한 단점을 해결하기 위해서 임계점을 먼저 추정한 뒤 주어진 임계점에 대해서 다른 모수를 추정하는 2단계 추정법에 대해서 논의하였다. 극단값 분포 추정에서 널리 쓰이는 다섯 가지 비모수적인 방법들을 비교해본 결과 모두 꼬리 지수에 대해서는 정확한 추정값을 주었다. 임계점 추정에서는 본 논문이 제안한 Hill2 방법이 임계점을 과소추정하는 경향이 있었으나 매우 작은 분산을 주어 다른 비모수적인 방법과 비교하여 가장 작은 RMSE를 주었다.
나머지 비모수적인 방법은 임계점을 과대추정하려는 경향이 있었다. 따라서 실증 자료 분석에서는 반드시 먼저 모든 모수를 포함한 MLE 혹은 비모수적인 방법들을 이용하여 임계점을 먼저 추정하고 난 뒤 나머지 모수들에 대해서 최대우도추정법을 이용하여 재추정하는 2단계 추정법을 사용하여 모수 추정을 한다면 정확성이 크게 향상될 것으로 보인다. 이 방법을 Shen과 Brown (2006)에서 쓰인 이스라엘 은행의 콜센터 서비스 시간에 응용한 것을 예를 들어 설명하였으며 그 결과 로그-정규분포 혹은 GPD 분포 단독으로 쓰인 경우보다 더 좋은 적합도를 보였다.
또한 모의 실험을 통해서 cn = log n2, ω = 1.645를 선택하였을 때 가장 좋은 결과를 산출함을 보였다.
1에서 Hill2의 값과 비슷하게 산출됨을 확인할 수 있었다. 또한, 위 추정값을 토대로 LN-GPD QQ-plot을 그려본 결과 Figure 4.4에서 살펴보듯이 자료의 절삭 없이 모든 자료가 95%신뢰구간에 들어옴을 확인할 수 있어서 로그정규분포 혹은 GPD 단독으로 쓰인 경우보다 자료의 손실 없이 더 좋은 적합을 보임을 확인할 수 있다.
요약하자면 MLE의 경우 임계점의 추정에서는 다른 방법론과 비교하여 비교적 참값에 가까우면서도RMSE가 적은 좋은 추정량이었지만 꼬리 지수의 추정은 좋지 않은 성능을 보였다. 반면 새롭게 제안한 2단계 추정법에서는 꼬리 지수의 추정은 만족스러웠으나 임계점 추정에 있어서는 Hill2는 참값보다 작은 값을 추정하려는 경향이, 다른 방법의 경우 임계점을 참값보다 큰 값으로 추정하는 편의가 발생하였다.
MLE의 경우 편의가 가장 작았으나, 꼬리 지수가 증가할수록 작은 임계값을 찾으려고 하는 경향이 있었다. 위의 사실을 종합하여 볼 때 다섯 가지 방법 중에서 Hill2, D.K method 및 K.S method가 2단계 추정에 적합할 것으로 판단되며 RMSE 기준으로는 K.S method가 가장 좋은 성능을 보였다. 임계점 추정에서 꼬리지수 α가 증가할수록 작은 RMSE를 가지게 된다.
극단값 분포 추정에서 널리 쓰이는 다섯 가지 비모수적인 방법들을 비교해본 결과 모두 꼬리 지수에 대해서는 정확한 추정값을 주었다. 임계점 추정에서는 본 논문이 제안한 Hill2 방법이 임계점을 과소추정하는 경향이 있었으나 매우 작은 분산을 주어 다른 비모수적인 방법과 비교하여 가장 작은 RMSE를 주었다. 나머지 비모수적인 방법은 임계점을 과대추정하려는 경향이 있었다.
044 등으로 매우 큼을 알 수 있다. 즉, 임계점을 포함하여 MLE를구하는 것이 표본 크기가 충분히 큼에도 불구하고 매우 불안정하게 추정됨을 확인할 수 있다. 좀 더 구체적인 추정값의 성질은 Figure 3.
표본의 크기가 어느 정도 큰 경우 (n ≥ 5,000)에는 D.K, K.S 및 N.S 방법모두 비슷한 추정값을 주었으나 D.K 방법이 가장 작은 분산을 주어 D.K 방법이 좀 더 우수함을 관찰할 수 있었다.

후속연구

이 모든 복잡성은 임계점 θ가 우도 함수에 의존하기 때문이다. 이를 해결하기 위해서 임계점을 먼저 추정을 하고, 그에 따라서 나머지 모수를 추정하는 2단계 접근법을 고려한다면 계산도 훨씬 빠르고 정확한 추정량을 줄 것이라 기대할 수 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	LN-GPD 합성 분포의 장점은?	LN-GPD 합성 분포는 몸통부분은 로그-정규분포를 두터운 꼬리에 대해서는 GPD분포를 따르도록 합성한 분포로 두터운 몸통과 꼬리를 동시에 가지는 자료를 절삭없이 효율적으로 다룰 수 있는 분포이다. 하지만 임계점을 포함하고 있기에 최대우도추정량은 매우 불안정함이 잘 알려져 있어 본 논문이서는 이를 극복하기 위해서 임계점을 먼저 추정하고 나머지 모수들에 대해서 따로 추정하는 2단계 추정 방법들에 대해서 살펴보고 그 성능을 비교해 보았다.
	LN-GPD 합성 분포란?	LN-GPD 합성 분포는 몸통부분은 로그-정규분포를 두터운 꼬리에 대해서는 GPD분포를 따르도록 합성한 분포로 두터운 몸통과 꼬리를 동시에 가지는 자료를 절삭없이 효율적으로 다룰 수 있는 분포이다. 하지만 임계점을 포함하고 있기에 최대우도추정량은 매우 불안정함이 잘 알려져 있어 본 논문이서는 이를 극복하기 위해서 임계점을 먼저 추정하고 나머지 모수들에 대해서 따로 추정하는 2단계 추정 방법들에 대해서 살펴보고 그 성능을 비교해 보았다.
	LN-GPD 합성 분포의 단점은?	LN-GPD 합성 분포는 몸통부분은 로그-정규분포를 두터운 꼬리에 대해서는 GPD분포를 따르도록 합성한 분포로 두터운 몸통과 꼬리를 동시에 가지는 자료를 절삭없이 효율적으로 다룰 수 있는 분포이다. 하지만 임계점을 포함하고 있기에 최대우도추정량은 매우 불안정함이 잘 알려져 있어 본 논문이서는 이를 극복하기 위해서 임계점을 먼저 추정하고 나머지 모수들에 대해서 따로 추정하는 2단계 추정 방법들에 대해서 살펴보고 그 성능을 비교해 보았다. 그 결과 동시 추정하는 최대우도추정량의 경우 불안정한 추정이 GPD 분포의 꼬리 지수에서 두드러 졌으며 임계점에 대해서는 비교적 잘 추정함을 알 수 있었다.

참고문헌 (13)

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표제어: PCR

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용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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