[논문]MLS 차분법을 이용한 동적균열전파 해석

윤영철; 김경환; 이상호

doi:10.7734/coseik.2014.27.1.17

MLS 차분법을 이용한 동적균열전파 해석
Analysis of Dynamic Crack Propagation using MLS Difference Method 원문보기

한국전산구조공학회논문집 = Journal of the computational structural engineering institute of Korea, v.27 no.1, 2014년, pp.17 - 26

윤영철 (명지전문대학 토목과) , 김경환 (연세대학교 토목환경공학과) , 이상호 (연세대학교 토목환경공학과)

초록
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본 논문은 MLS(Moving Least Squares) 차분법을 바탕으로 동적균열전파 해석을 수행하기 위한 알고리즘을 제시한다. MLS 차분법은 절점만으로 이루어진 수치모델을 사용하며, 이동최소제곱법을 이용하여 전개한 Taylor 다항식을 기초로 미분근사식을 유도하기 때문에, 요소망의 제약에서 완벽하게 벗어난 절점해석이 가능하다. 시간항을 포함하는 동적 평형방정식은 Newmark 방법으로 시간적분 하였다. 동적하중을 받는 균열이 전파할 때, 매 시간단계마다 절점모델을 재구성하지 않고 균열선단 주변에서 국부적인 수정을 통해 해석이 가능하다. 동적균열을 묘사하기 위해 가시한계법(visibility criterion)을 적용하였고, 동적 에너지해방률을 산정하여 균열의 진전유무와 그에 상응하는 진전방향을 결정하였다. 모드 I 상태와 혼합모드 상태에서 균열이 진전하는 현상을 모사하였고, 이론해와 Element-Free Galerkin법으로 계산한 결과와의 비교를 통해 개발된 알고리즘의 정확성과 안정성을 검증하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

This paper presents a dynamic crack propagation algorithm based on the Moving Least Squares(MLS) difference method. The derivative approximation for the MLS difference method is derived by Taylor expansion and moving least squares procedure. The method can analyze dynamic crack problems using only node model, which is completely free from the constraint of grid or mesh structure. The dynamic equilibrium equation is integrated by the Newmark method. When a crack propagates, the MLS difference method does not need the reconstruction of mode model at every time step, instead, partial revision of nodal arrangement near the new crack tip is carried out. A crack is modeled by the visibility criterion and dynamic energy release rate is evaluated to decide the onset of crack growth together with the corresponding growth angle. Mode I and mixed mode crack propagation problems are numerically simulated and the accuracy and stability of the proposed algorithm are successfully verified through the comparison with the analytical solutions and the Element-Free Galerkin method results.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

이러한 특징들은 무요소법이 애초에 추구했던 장점을 극대화 시켜주는 동시에 계산 효율성도 향상시켜 주는 효과가 있다. 본 논문에서는 MLS 차분법을 이용하여 고체역학문제에서의 동적균열전파 해석 알고리즘을 제안하고, 수치예제를 통하여 제안된 알고리즘의 정확성을 검증하고자 한다.
본 절에서는 앞서 유도된 계 방정식을 바탕으로 균열전파해석을 수행하기 위해 절점모델 상에서 균열을 묘사하는 방법을 설명하고, 균열진전 여부와 그 방향을 결정하는 방법에 대해 서술한다.

가설 설정

밀도 ρ=7800kg/m3, 탄성계수 E = 211×109N/m2, 포아송 비 ν=0.30으로 가정하였으며, 시간단계 크기 ∆t는 0.5×10-6s로 200단계의 해석을 수행하였다.
초기 균열길이 a0는 5m이고, 무한체 상단에 작용하는 응력 σ0는 시간에 따라 일정하게 1000N/m2을 적용하였으며, 평면변형률 상태를 가정하였다.
0×10^-7s로 설정하고 300단계를 해석했다. 초기 균열길이는 0.05m, 균열 속도 v_c는 0.15c_s로 가정하였으며, 기타의 다른 조건들은 앞 예제와 동일하게 적용하였다.
탄성계수 E = 190GPa, 포아송 비 ν=0.30, 동적파괴인성치 KIC=68 MPa#, 밀도 ρ=8000kg/m3로 가정했고, 시간단계 크기 ∆t는 2.0×10-7s로 설정하고 300단계를 해석했다.
해석모델 구성시 2704(52×52)개의 절점을 기본적으로 배치하고 균열주변에 131개를 추가하여, 총 2835개의 절점을 사용했다. 평면병형률로 가정하였고, 외부에서 가해지는 충격하중의 속도 v₀는 16.5m/s로 일정하게 적용하였다. 탄성계수 E = 190GPa, 포아송 비 ν=0.

제안 방법

MLS 차분법을 바탕으로 개발된 동적균열전파 해석 알고리즘의 정확성을 검증하기 위해 모드 I상태와 혼합모드 상태의 균열전파 문제를 해석하였다. 이를 통해 절점만 사용하여 균열의 거동을 묘사하고, 운동방정식을 풀어 시간에 따른 균열의 전파과정을 안정적으로 모사할 수 있음을 보였다.
4c_s로 설정했다. 검증을 위해 MLS 차분법과 EFG법으로 계산된 에너지해방률 값을 함께 도시했다. EFG법의 경우 총 절점수를 비슷하게 맞추기 위하여 1150개(50×23)의 절점을 사용하였다.
여기서, θ는 균열진전방향이다. 계산된 등가 응력확대계수를 해석대상 재료의 동적파괴인성치(dynamic facture toughness) KIC와 비교하여 다음과 같은 기준을 만족할 때 균열이 성장하도록 하였다.
운동방정식을 변위만의 식으로 정리한 후 Newmark 법을 사용하여 시간적분을 수행하였다. 또한, 가시한계법을 사용하여 균열의 불연속성을 간단한 절차를 통해 묘사하였고, 균열전파 여부를 판단하기 위해 동적 응력확대계수를 산정하여 활용하였다. 동적 응력확대계수 산정을 위해 J-적분을 면적적분으로 변환하고 상호작용 적분법을 적용하여 동적 에너지해방률을 계산하였다.
본 논문에서는 J-적분을 면적분 형태로 변환시켜 에너지해방률을 계산하였으며(Moran et al., 1987), 이를 바탕으로 식 (22)로부터 모드 I와 모드 II의 응력확대계수를 다음과 같이 결정하였다.
본 논문에서는 수치적분이 없고 구속조건식의 도입에 의한 필수경계조건 처리가 필요없어 무요소법의 장점을 극대화할 수 있는 절점기반의 MLS 차분법을 이용하여 동적균열전파 해석을 수행하였다. MLS 차분법은 이동최소제곱법과 Taylor 다항식을 이용하여 절점만으로 구성된 수치모델을 바탕으로 해석을 수행하기 때문에 요소 및 요소망에 전혀 의존적이지 않다.
본 절에서는 Fig. 6과 같은 Kalthoff와 Winkler(1987)의 실험에 대한 모사를 통해 충격하중에 의해 균열이 순간적으로 혼합모드 상태로 성장하는 문제를 해석한다. 대칭조건을 이용하여 Fig.
10은 MLS 차분법과 EFG법으로 계산된 동적 응력확대계수값의 시간에 따른 변화를 보여준다. 이 때 동적 응력확대계수는 재료의 동적 파괴인성치로 나누어 정규화하였다. 두 방법 모두 초기에 균열이 발생하지 않는 상태에서는 모드 II의 응력확대계수가 음의 값을 가지며 어느 정도 발달한 후, 균열이 진전하기 시작한 이후로는 모드 I 응력확대계수가 재료의 동적 파괴인성치의 2배 가까이 증가하고, 모드 II 응력확대계수는 0 주변으로 떨리면서 그 값을 유지하는 것으로 나타났다.

대상 데이터

EFG법의 경우 총 절점수를 비슷하게 맞추기 위하여 1150개(50×23)의 절점을 사용하였다.
MLS 차분법과 비교하기 위해 2916(54×54)개의 절점을 사용했다.
4c_s)에는 계산된 에너지해방률이 약간의 떨림현상(oscillation)을 보인다. 추가적인 비교를 위해 총 4100개의 절점을 사용한 EFG법의 해석결과를 함께 도시했다. MLS 차분법은 균열선단 주변에 절점을 추가하여 EFG법보다 훨씬 적은 수의 절점으로도 상당히 높은 정확도의 해석을 할 수 있음을 알 수 있다.
해석대상에 기본적으로 1000개(50×20)의 절점을 배치하고, 균열선단 주변에 149개의 절점을 추가하여, 총 1149개의 절점을 배치하였다.
해석모델 구성시 2704(52×52)개의 절점을 기본적으로 배치하고 균열주변에 131개를 추가하여, 총 2835개의 절점을 사용했다.

데이터처리

이를 통해 절점만 사용하여 균열의 거동을 묘사하고, 운동방정식을 풀어 시간에 따른 균열의 전파과정을 안정적으로 모사할 수 있음을 보였다. MLS 차분법으로 얻어진 해석결과를 이론값 또는 실험값과 비교하였으며, EFG법으로 계산한 결과와도 비교하였다. 대체로 본 논문에서 제시한 알고리즘이 EFG법보다 떨림현상이 적게 나타났으며, 균열성장 각도에 대한 계산 정확성도 상대적으로 높다는 것을 확인할 수 있었다.

이론/모형

또한, 가시한계법을 사용하여 균열의 불연속성을 간단한 절차를 통해 묘사하였고, 균열전파 여부를 판단하기 위해 동적 응력확대계수를 산정하여 활용하였다. 동적 응력확대계수 산정을 위해 J-적분을 면적적분으로 변환하고 상호작용 적분법을 적용하여 동적 에너지해방률을 계산하였다.
1에서 검은색으로 채워진 절점만 계산에 포함되고, A점에 대해 균열 반대편에 있는 속이 빈 원으로 표시된 절점들은 근사함수 계산시 제외된다. 또한, 기준점이 영향영역 내에 이웃 절점들을 일정한 개수만큼 포함시키도록 영향반경 r을 설정하는 알고리즘(Kim et al., 2004)을 적용하여, 균열전파에 따라 해석모델의 절점배치에 부분적인 변화가 생겨도 일정한 조건하에서 형상함수가 구성될 수 있도록 하였다.
MLS 차분법은 Taylor 전개를 바탕으로 이동최소제곱법을 이용하여 형상함수를 도출하기 때문에 미분근사식의 유도과정이 간편하다. 미분근사식의 유도시 다중지수 표기법(multi-index notation)을 사용한다. x = (x, y, z, .
MLS 차분법의 미분근사식(또는 형상함수)은 이동최소제곱법에 근거한 Taylor 전개를 기반으로 기준점과 주변 점들 간의 거리관계에 의해서 정의되기 때문에 균열의 불연속성묘사시 균열 주변점들 사이의 거리관계를 정립하는 것이 중요하다. 본 논문에서는 균열 반대쪽 절점의 영향을 제거하는 가시한계법(Visibility criterion; Fleming et al., 1997)을 사용하여 불연속면을 묘사하였다. 균열이 없는 경우, 영향영역은 반경 r을 반지름으로 하는 원의 형태이나, 균열선단 근처에 위치한 기준점의 영향반경은 Fig.
응력항이 변위로 변환된 운동방정식인 식 (8)은 가속도 항을 포함하고 있기 때문에 시간적분을 이용하여 변위로 변환하는 작업이 필요하다. 본 논문에서는 아래와 같은 Newmark 시간적분법(Newmark, 1959)을 적용한다.
MLS 차분법의 고속 미분근사식이 고차의 미분까지 손쉽게 계산해주기 때문에 지배방정식을 강형식으로 이산화하는데에 매우 유리하다. 운동방정식을 변위만의 식으로 정리한 후 Newmark 법을 사용하여 시간적분을 수행하였다. 또한, 가시한계법을 사용하여 균열의 불연속성을 간단한 절차를 통해 묘사하였고, 균열전파 여부를 판단하기 위해 동적 응력확대계수를 산정하여 활용하였다.
동적균열전파 해석의 가장 중요한 부분 중 하나는 시간에 따른 균열의 성장여부와 그 방향을 결정하는 것이다. 이를 위하여 본 논문에서는 동적 응력확대계수를 사용하였다. 동적 응력확대계수는 에너지해방률(energy release rate)를 이용하여 구할 수 있는데, 우선, 모드 I과 모드 II 응력확대계수가 포함된 에너지해방률 G는 평면변형률(plane strain) 상태에서 다음과 같이 정의할 수 있다(Freund, 1990).

성능/효과

MLS 차분법으로 얻어진 해석결과를 이론값 또는 실험값과 비교하였으며, EFG법으로 계산한 결과와도 비교하였다. 대체로 본 논문에서 제시한 알고리즘이 EFG법보다 떨림현상이 적게 나타났으며, 균열성장 각도에 대한 계산 정확성도 상대적으로 높다는 것을 확인할 수 있었다. 매 해석단계마다 절점을 재배치할 필요없이 균열선단 주변에서 절점 한두 개만 추가 또는 삭제하는 국부적인 수정만으로도 균열성장과정이 모사되기 때문에 계산 효율성도 우수하다.
이 때 동적 응력확대계수는 재료의 동적 파괴인성치로 나누어 정규화하였다. 두 방법 모두 초기에 균열이 발생하지 않는 상태에서는 모드 II의 응력확대계수가 음의 값을 가지며 어느 정도 발달한 후, 균열이 진전하기 시작한 이후로는 모드 I 응력확대계수가 재료의 동적 파괴인성치의 2배 가까이 증가하고, 모드 II 응력확대계수는 0 주변으로 떨리면서 그 값을 유지하는 것으로 나타났다. 결국, 처음 균열이 정지상태에서 진전하기 전까지는 모드 II의 영향이 상대적으로 컸지만, 균열이 진전을 시작한 이후로는 모드 I의 영향이 지배적으로 되기 때문에 시간이 경과하면서 균열이 일정한 방향을 유지하면서 진전하게 되는 것을 미루어 알 수 있다.
4100개 절점으로 모델링한 EFG법은 균열진전이 시작되는 순간에 에너지해방률이 급격이 감소하는 현상을 대체로 잘 모사하고 있으나, MLS 차분법은 약간의 overshooting 하고 그 후에 이론값을 대체로 잘 따라가는 모습을 보인다. 또한, MLS 차분법이 EFG법에 비교하여 절점수는 상대적으로 작지만 오히려 떨림현상(oscillation)이 적게 나타나는 것을 확인할 수 있다.
MLS 차분법을 바탕으로 개발된 동적균열전파 해석 알고리즘의 정확성을 검증하기 위해 모드 I상태와 혼합모드 상태의 균열전파 문제를 해석하였다. 이를 통해 절점만 사용하여 균열의 거동을 묘사하고, 운동방정식을 풀어 시간에 따른 균열의 전파과정을 안정적으로 모사할 수 있음을 보였다. MLS 차분법으로 얻어진 해석결과를 이론값 또는 실험값과 비교하였으며, EFG법으로 계산한 결과와도 비교하였다.

후속연구

더욱이 완벽하게 절점만 이용하는 해석이 이루어지기 때문에 해석모델 안에서 절점 추가배치가 자유로워 균열선단 주변에 절점을 손쉽게 추가할 수 있다. 향후에는 여러 개의 균열이 동시에 성장하는 문제 그리고 비선형 재료모델을 포함한 동적균열전파 해석으로 연구가 확장될 수 있을 것으로 기대된다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	제시하는 MLS 차분법에 대하여 설명하라.	본 논문에서 제시하는 MLS(Moving Least Squares) 차분법은 Taylor 전개에 기초한 고속 미분근사와 미분방정식의 강정식화(strong formulation)를 기반으로 한 수치기법이다. 절점모델을 기반으로 이동최소제곱법을 통해 도출된 미분근사식이 고차 미분까지 간편하게 계산해주기 때문에 지배 미분방정식을 강형식 그대로 이산화하는 것이 가능하다.
	동적균열을 묘사하기 위해 무엇을 적용하였는가?	동적하중을 받는 균열이 전파할 때, 매 시간단계마다 절점모델을 재구성하지 않고 균열선단 주변에서 국부적인 수정을 통해 해석이 가능하다. 동적균열을 묘사하기 위해 가시한계법(visibility criterion)을 적용하였고, 동적 에너지해방률을 산정하여 균열의 진전유무와 그에 상응하는 진전방향을 결정하였다. 모드 I 상태와 혼합모드 상태에서 균열이 진전하는 현상을 모사하였고, 이론해와 Element-Free Galerkin법으로 계산한 결과와의 비교를 통해 개발된 알고리즘의 정확성과 안정성을 검증하였다.
	개발 초기에 무요소법의 단점을 극복하기 위해 어떤 연구들이 진행되었는가?	개발 초기에 무요소법은 수치해석시 절점만을 이용하여 해석할 수 있다는 장점이 부각되었으나, 실제로는 무요소법이 Galerkin법을 기반으로 지배방정식에 대한 약형식(weak form)을 유지하고 있어 수치적분을 피할 수 없을 뿐만 아니라, 필수경계조건 처리가 어려운 단점이 제기되었다. 이러한 단점을 극복하기 위하여 필수경계조건 처리에 대한 연구들이 진행되었으나, 대부분의 연구들이 유한요소와 결합하거나 Lagrange Multiplier Method 혹은 Penalty Method와 같은 구속조건식을 도입하여 필수경계를 처리했기 때문에 전체 알고리즘이 유한요소법과 큰 차이 없이 정식화되는 경향을 보였다(Krongauz et al., 1996; Gosz et al.

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표제어: PCR

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용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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