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문제 정의
- , 2012; Błaszczyk, Katz, Sherry, 2013). 수학자들이 이와 같이 불투명한 수 표상에 의존하여 실수 개념을 생각할 수 있었던 이유는 무엇이었을까? 본 논문은 이 질문과 관련한 문헌연구로서, 무한 소수 기호에 내포된 불투명성 뿐 아니라, 무한소수 기호의 구조가 실수의 어떤 성질을 투명하게 보여줄 수 있는지를 분석함으로서 실수가 왜 본질적으로 무한소수라고 할 수 있는지를 살펴본다. 또 실수 개념의 역사에서 무한소수 기호가 어떠한 역할을 수행하였으며 이와 관련된 교과 지식에의 시사점에 대하여 논의한다.
- 수학자들이 이와 같이 불투명한 수 표상에 의존하여 실수 개념을 생각할 수 있었던 이유는 무엇이었을까? 본 논문은 이 질문과 관련한 문헌연구로서, 무한 소수 기호에 내포된 불투명성 뿐 아니라, 무한소수 기호의 구조가 실수의 어떤 성질을 투명하게 보여줄 수 있는지를 분석함으로서 실수가 왜 본질적으로 무한소수라고 할 수 있는지를 살펴본다. 또 실수 개념의 역사에서 무한소수 기호가 어떠한 역할을 수행하였으며 이와 관련된 교과 지식에의 시사점에 대하여 논의한다.
- 오른쪽 ‘끝’이 있는 유한소수는 자연수에 대한 십진기수법의 확장으로 볼 수 있으며, 자연수에서와 마찬가지로 두 유한 소수를 계산할 수 있다. 그러나 임의의 두 무한소수에 대해서도 유한소수와 같이 사칙 연산이 가능할 수 있는지를 살펴보기 위하여, 구체적으로 다음과 같은 덧셈을 생각하여 보자.
- 무한소수의 집합은 유리수와 달리 연속적일 수 있는지를 알아보기 위하여, 완비성 공리를 만족하는지를 살펴보자.
- 이제 공집합이 아닌 위로 유계인 임의의 무한소수 부분집합 A의 최소상계를 찾아보자. 일반성을 잃지 않고 A가 적어도 하나의 양수를 포함하고 있다고 가정할 수 있는데, 이때 A의 최소 상계는 다음과 같이 찾을 수 있다(Abian, 1981: p.
- 465)은 완비성 공리를 내포하는 소수 기호의 위력 때문에, 엄밀한 실수 개념이 정립되기 이전에도 Euler, Cauchy, Riemann, Weierstrass, Lebesgue을 위시한 많은 수학자들이 무한소수 기호에 의존하여 실해석학의 많은 정리에 대한 직관과 증명의 방법을 얻을 수 있었을 것이라고 추측하고 있다. 그렇다면 이와 같은 추측의 개연성을 중간 값 정리의 사례에서 구체적으로 살펴보자.
- 이 연구에서는 이와 같은 불투명성의 원인인 무한소수 기호 구조가 어떻게 ‘연속적인 수’를 창조하는 매개가 될 수 있었는지를 분석하였다.
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