[논문]유리수와 무리수의 합집합을 넘어서: 실수가 자명하다는 착각으로부터 어떻게 벗어날 수 있는가?

이지현

유리수와 무리수의 합집합을 넘어서: 실수가 자명하다는 착각으로부터 어떻게 벗어날 수 있는가?
Beyond the Union of Rational and Irrational Numbers: How Pre-Service Teachers Can Break the Illusion of Transparency about Real Numbers? 원문보기

數學敎育學硏究 = Journal of educational research in mathematics, v.25 no.3, 2015년, pp.263 - 279

초록
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유리수에서 실수로의 확장 혹은 무리수의 존재성을 수학적으로 정당화하기 위해서는 완비성 공리가 필요하므로, 실수의 도입은 학교수학에서 가장 가르치기 어려운 주제 중 하나이다. 이 연구에서는 실수를 '유리수와 무리수의 합집합'으로 정의하는 학교수학의 교수학적 변환이 어떠한 교수학적 공백을 남겨놓을 수 있는지를 살펴보고, 유리수에서 실수로의 수 체계 확장의 이유, 임의의 비순환 무한소수의 존재 이유 등에 대한 예비교사들의 설명을 분석하여 대학수학의 학습에도 불구하고 예비교사들의 실수에 대한 피상적인 이해를 구체적으로 확인하였다. 교수학적 공백을 인식하고 학교수학과 대학수학을 연결함으로서, 예비교사들이 실수 개념이 자명하다는 착각으로부터 어떻게 벗어날 수 있었는지를 논의하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

The introduction of real numbers is one of the most difficult steps in the teaching of school mathematics since the mathematical justification of the extension from rational to real numbers requires the completeness property. The author elucidated what questions about real numbers can be unanswered as the "institutional didactic void" in school mathematics defining real numbers as the union of the rational and irrational numbers. The pre-service teachers' explanations on the extension from rational to real numbers and the raison d'$\hat{e}$tre of arbitrary non-recurring decimals showed the superficial and fragmentary understanding of real numbers. Connecting school mathematics to university mathematics via the didactic void, the author discussed how pre-service teachers could break the illusion of transparency about the real number.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

0.101001000 ⋯가 단지 두 유리수 사이에 있는 유리수 아닌 수라는 점만을 지적했던 다른 예비교사들과 달리, W는 다음과 같이 서로 다른 유리수 사이에는 항상 이와 같이 순환하지 않는 무한소수가 있으므로 “수직선을 가득 채우려면” 이러한 순환하는 무한소수를 이용하여 채워야 한다고 연속성을 설명하고자 하였다.
이 연구는 예비교사들이 유리수에서 실수로의 수 체계 확장의 이유, 혹은 임의의 비순환 무한소수의 존재이유(raison d'être) 등을 어떻게 설명하는지를 살펴봄으로서 예비교사들이 가지고 있었던 실수에 대한 자명성의 착각을 구체적으로 확인한다. 또 교수학적 공백을 인식하고 이를 통하여 학교수학과 대학수학을 연결함으로서, 예비교사들이 실수 개념이 자명하다는 선입견으로부터 벗어나는 과정을 분석 및 논의하고자 한다.
이 연구는 예비교사들이 유리수에서 실수로의 수 체계 확장의 이유, 혹은 임의의 비순환 무한소수의 존재이유(raison d'être) 등을 어떻게 설명하는지를 살펴봄으로서 예비교사들이 가지고 있었던 실수에 대한 자명성의 착각을 구체적으로 확인한다.

가설 설정

위로 유계인 임의의 무한소수 부분집합 A의 최소상계는 다음과 같이 무한소수 전개를 이용하여 찾을 수 있다. 이때 일반성을 잃지 않고, A가 적어도 하나의 양수를 포함한다고 가정하자. 집합 A가 유계이므로, A에 속한 무한소수들의 정수부분 최댓값을 a₀라 하자.

제안 방법

’라는 질문과 이 질문에 답하기 위한 시도로 피타고라스 학파의 통 약성에 대한 신념ㆍStevin의 무한소수 도입ㆍDedekind가 파악한 연속적인 수의 본질인 Dedekind 절단 성질(Dedekind cut property)등을 역사적 맥락과 함께 소개하였다.
연구자는 16명의 예비교사들이 제시한 각 설명에서 찾아볼 수 있었던 하나 이상의 근거들을 모두 기록하여 이 중 유사한 근거들을 묶어 의 총 6가지로 유형화하였다.

대상 데이터

2014년도 2학기 I대학교 ‘수학교육과정과 교재 연구’ 강의를 수강했던 예비교사 16명을5) 대상으로, 와 같은 교수실험을 실시하였다.

후속연구

이러한 이중 단절의 결과로 교사들은 학교수학에 대한 더 깊고 유연한 이해 없이 자신이 중고등학교 시절 배웠던 것을 재생산하며, 이는 수학교육의 질적 성장을 가로막는 원인 중 하나이다. 예비교사들이 학교수학의 교수학적 공백을 인식하고 학교수학과 대학수학의 연결성을 이해함으로서, 학교수학의 내용이 자명하다는 착각에서 벗어나는 과정을 기술ㆍ분석한 이 사례연구가 예비교사 교육에서 이중단절 문제의 해결에 도움이 되기를 기대한다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	유리수에서 실수로의 수 체계 확장이 학교 수학에서 가르치기 어려운 이유는?	정수ㆍ유리수ㆍ복소수는 사칙연산을 자유롭게 할 수 있다는 산술적 필요성 혹은 방정식의 근이라는 대수적 필요성으로 학교수학 수준에서도 그 존재 이유를 수학적으로 충분히 설명할 수 있다. 반면 무리수의 존재 이유를 수학적으로 정당화하기 위해서는 학교수학의 범위를 벗어나는 완비성 공리가 필요하므로, 유리수에서 실수로의 수 체계 확장은 학교수학에서 가장 가르치기 어려운 주제 중 하나이다(Forbes, 1967). 교수학적 난점에도 불구하고 실수는 학교수학에서 안 가르칠 수 없는 필수불가결한 주제인데, 학교수학에서는 (유리수가 아닌) ‘순환소수로 나타낼 수 없는 무한소수’ 혹은 ‘(넓이가 2가 되는 정사각형의 한 변의 길이 $ \sqrt{2}$와 같은) 제곱근’으로 무리수의 존재를 직관적으로 정당화하고 있다.
	브라질 중고등교과서에서는 무리수와 실수를 어떻게 정의하고 있는가?	236-239)는 브라질 중고등교과서 14종에서의 실수의 도입을 분석하였다. 우리 교과서와 마찬가지로, 브라질 교과서에서도 무리수를 ‘분수로 나타낼 수 없는 수(DA)’ 혹은 ‘순환하지 않는 무한소수로 나타나는 수(DB)’로, 실수는 ‘유리수 혹은 무리수’로 정의하고 있다. 그런데 이들 연구자들은 무리수 정의 DA와 DB는 각각 ‘분수가 아닌 수’ 혹은 ‘비순환 무한 소수 표상’을 갖는 수의 존재성을 확립하기 보다는 가정하고 있으며, 두 정의 모두 이미 존재한다고 가정하는 수 집합(즉, 다름 아닌 실수 집합)의 특정 부분집합을 무리수라고 명명하는 것 이상의 역할을 하지 못한다고 지적한다.
	교수학적 변환이란?	Bronner(1997), González-Martín, Giraldo, Souto (2013)는 학교수학의 교수학적 변환이 실수 개념 도입에서의 난점을 간과하거나 혹은 단순히 우회한다는 것을 ‘교수학적 공백’이라는 용어로 지적하였다. 교수학적 변환은 어떤 지식이 창조ㆍ설계ㆍ선택ㆍ사용될 때부터 어떤 특정 제도(institution)에서 실제로 가르쳐질 때까지 지식이 겪게 되는 변화를 말한다. Chevallard는 ‘교수학적 변환’을 가르칠 지식이 ‘자명하다는 착각(illusion of transparency)’, 즉 사물이나 사실을 기지의 것으로 무비판적으로 수용하는 태도에서 벗어나기 위한 분석적 도구로 고안하였다(Wozniak, Bosch, Artaud, 2015).

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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