초등학교에서 곱셈의 교환법칙의 지도는 $3{\times}4=12$, $4{\times}3=12$와 같이 $a{\times}b$와 $b{\times}a$ 의 값을 계산하고 실제로 그 값이 같은지를 확인하는 활동을 바탕으로 하는 것이 보통이다. 이 논문에서는 첫째로, 순수이성비판에 나타난 수학적 지식에 관한 칸트의 견해를 바탕으로, 곱셈의 교환법칙의 취급 방법을 비판적으로 고찰한다. 칸트에 의하면, 수학적 지식은 선험성과 도식성이라는 특징을 지니고 있다. 두 곱셈의 계산 결과를 비교하는 방법은 선험성과 도식성이라는 수학적 지식의 특성을 충족하지 못한다. 칸트의 관점에서 볼 때, $a{\times}b$를 $b{\times}a$ 로 변환하는 필연적이고 일반적인 도식이 드러나게 교환법칙을 취급하는 것이 적절하다. 둘째로, 곱셈의 교환법칙의 도식과 관련된 기본구성단위로의 분배 전략은 (자연수)${\times}$(10의 거듭제곱), 몫 분수 맥락에서 분수의 복합적 의미, 분수의 곱셈과 같은 학습 내용을 관통하는 일반적인 성격의 것임을 논한다. 끝으로, 이상의 두 논의를 바탕으로 초등 수학교과서에서 곱셈의 교환법칙이 다루어지는 방식을 비판적으로 고찰한다.
초등학교에서 곱셈의 교환법칙의 지도는 $3{\times}4=12$, $4{\times}3=12$와 같이 $a{\times}b$와 $b{\times}a$ 의 값을 계산하고 실제로 그 값이 같은지를 확인하는 활동을 바탕으로 하는 것이 보통이다. 이 논문에서는 첫째로, 순수이성비판에 나타난 수학적 지식에 관한 칸트의 견해를 바탕으로, 곱셈의 교환법칙의 취급 방법을 비판적으로 고찰한다. 칸트에 의하면, 수학적 지식은 선험성과 도식성이라는 특징을 지니고 있다. 두 곱셈의 계산 결과를 비교하는 방법은 선험성과 도식성이라는 수학적 지식의 특성을 충족하지 못한다. 칸트의 관점에서 볼 때, $a{\times}b$를 $b{\times}a$ 로 변환하는 필연적이고 일반적인 도식이 드러나게 교환법칙을 취급하는 것이 적절하다. 둘째로, 곱셈의 교환법칙의 도식과 관련된 기본구성단위로의 분배 전략은 (자연수)${\times}$(10의 거듭제곱), 몫 분수 맥락에서 분수의 복합적 의미, 분수의 곱셈과 같은 학습 내용을 관통하는 일반적인 성격의 것임을 논한다. 끝으로, 이상의 두 논의를 바탕으로 초등 수학교과서에서 곱셈의 교환법칙이 다루어지는 방식을 비판적으로 고찰한다.
Instructions for the commutative property of multiplication at elementary schools tend to be based on checking the equality between the quantities of 'a times b 'and b' times a, ' for example, $3{\times}4=12$ and $4{\times}3=12$. This article critically examined the approaches ...
Instructions for the commutative property of multiplication at elementary schools tend to be based on checking the equality between the quantities of 'a times b 'and b' times a, ' for example, $3{\times}4=12$ and $4{\times}3=12$. This article critically examined the approaches to teach the commutative property of multiplication from Kant's perspective of mathematical knowledge. According to Kant, mathematical knowledge is a priori. Yet, the numeric exploration by checking the equality between the amounts of 'a groups of b' and 'b groups of a' does not reflect the nature of apriority of mathematical knowledge. I suggest we teach the commutative property of multiplication in a way that it helps reveal the operational schema that is necessarily and generally involved in the transformation from the structure of 'a times b' to the structure of 'b times a.' Distributive reasoning is the mental operation that enables children to perform the structural transformation for the commutative property of multiplication by distributing a unit of one quantity across the other quantity. For example, 3 times 4 is transformed into 4 times 3 by distributing each unit of the quantity 3, which results in $3{\times}4=(1+1+1){\times}4=(1{\times}4)+(1{\times}4)+(1{\times}4)+(1{\times}4)=4+4+4=4{\times}3$. It is argued that the distributive reasoning is also critical in learning the subsequent mathematics concepts, such as (a whole number)${\times}10$ or 100 and fraction concept and fraction multiplication.
Instructions for the commutative property of multiplication at elementary schools tend to be based on checking the equality between the quantities of 'a times b 'and b' times a, ' for example, $3{\times}4=12$ and $4{\times}3=12$. This article critically examined the approaches to teach the commutative property of multiplication from Kant's perspective of mathematical knowledge. According to Kant, mathematical knowledge is a priori. Yet, the numeric exploration by checking the equality between the amounts of 'a groups of b' and 'b groups of a' does not reflect the nature of apriority of mathematical knowledge. I suggest we teach the commutative property of multiplication in a way that it helps reveal the operational schema that is necessarily and generally involved in the transformation from the structure of 'a times b' to the structure of 'b times a.' Distributive reasoning is the mental operation that enables children to perform the structural transformation for the commutative property of multiplication by distributing a unit of one quantity across the other quantity. For example, 3 times 4 is transformed into 4 times 3 by distributing each unit of the quantity 3, which results in $3{\times}4=(1+1+1){\times}4=(1{\times}4)+(1{\times}4)+(1{\times}4)+(1{\times}4)=4+4+4=4{\times}3$. It is argued that the distributive reasoning is also critical in learning the subsequent mathematics concepts, such as (a whole number)${\times}10$ or 100 and fraction concept and fraction multiplication.
* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.
문제 정의
이 논문에서는 수학적 지식에 관한 칸트의 견해를 바탕으로 선험성과 도식성을 중심으로 곱셈의 교환법칙 지도 방안에 대하여 논의하였다. 이 논문의 이론적 논의가 초등 수학 교실에서 어떤 학년의 아동에게 어떻게 구체화되어 적용될 수 있는지 그 가능성과 효용성에 관한 경험적인 후속 연구가 필요하다.
이 그림은 곱셈의 교환법칙이 등분 나눗셈 상황과 밀접한 관련이 있음을 시사한다. 이를테면, 12개의 공을 3개의 바구니에 똑같이 나누어 놓았을 때 한 바구니에 들어가는 공의 개수를 구하는 상황을 생각해 보자. 이 문제의 해결 방법의 하나는 공을 1개씩 차례대로 각 바구니에 놓는 것이며, 이것은 [그림 6]과 같이, 공을 한번에 3개씩 떼어, 그것을 3개의 바구니에 각각 하나씩 나누어 놓는 조작을 반복하는 것으로 압축될 수 있다(임재훈, 2013).
제안 방법
그리고 곱셈의 교환법칙의 바탕을 이루는 도식 및 관련된 기본구성단위로의 분배 전략이 일반적인 자연수 곱셈 계산법, 분수 개념, 분수 곱셈에 이르는 다양한 내용에 공통된 일반성을 지니고 있는 것으로서, 이와 같은 내용들의 지도 장면에서 심화하여 다루어질 수 있는 것임을 살펴본다. 끝으로 이상의 고찰을 바탕으로 현재 초등학교 교과서에서 곱셈의 교환법칙이 다루어지는 방식을 비판적으로 고찰한다.
이 글에서는 수학적 지식의 성격에 대한 칸트의 견해, 그 중에서도 수학적 지식의 선험성을 준거로 하여 곱셈의 교환법칙을 다루는 몇 가지 방식의 적절성을 검토하고 평가한다. 그리고 곱셈의 교환법칙의 바탕을 이루는 도식 및 관련된 기본구성단위로의 분배 전략이 일반적인 자연수 곱셈 계산법, 분수 개념, 분수 곱셈에 이르는 다양한 내용에 공통된 일반성을 지니고 있는 것으로서, 이와 같은 내용들의 지도 장면에서 심화하여 다루어질 수 있는 것임을 살펴본다.
성능/효과
교과서에 나오는 이 두 방법은, 곱셈구구표를 이용하는가 직사각형 배열을 이용하는가의 차이가 있지만, 3×7과 7×3의 값이 21임을 확인하고 이를 바탕으로 두 곱이 같다는 결론을 내리게 한다는 점에서 공통적이다.
후속연구
이 논문에서는 수학적 지식에 관한 칸트의 견해를 바탕으로 선험성과 도식성을 중심으로 곱셈의 교환법칙 지도 방안에 대하여 논의하였다. 이 논문의 이론적 논의가 초등 수학 교실에서 어떤 학년의 아동에게 어떻게 구체화되어 적용될 수 있는지 그 가능성과 효용성에 관한 경험적인 후속 연구가 필요하다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
자연수의 곱셈에서 교환법칙이 성립한다는 의미는 무엇인가?
곱셈의 교환법칙 a × b = b × a는 형태상 앞의 수와 뒤의 수를 서로 바꾸어도 그 곱이 같음을 뜻한다. 자연수의 곱셈에서 앞의 피승수는 한 그룹에 있는 원소의 개수를, 뒤의 승수는 그룹의 수(또는 횟수)를 나타내므로, 교환법칙은 개수와 횟수, 또는 원소의 수와 그룹의 수를 교환할 수 있음을 말한다. Reys 외(1998/2012)는 초등학교에서 연산의 수학적 성질을 형식화하고 그 명칭을 알게 하는 것은 중요하지 않지만 연산의 성질을 이해하고 효과적으로 사용하게 하는 것은 중요하며, 교환법칙에 의해 외워야 하는 곱셈구구의 개수를 대폭 줄일 수 있다고 하였다.
곱셈의 교환법칙이란?
곱셈의 교환법칙 a × b = b × a는 형태상 앞의 수와 뒤의 수를 서로 바꾸어도 그 곱이 같음을 뜻한다. 자연수의 곱셈에서 앞의 피승수는 한 그룹에 있는 원소의 개수를, 뒤의 승수는 그룹의 수(또는 횟수)를 나타내므로, 교환법칙은 개수와 횟수, 또는 원소의 수와 그룹의 수를 교환할 수 있음을 말한다.
선험적 인식과 경험적 인식을 구별할 수 있는 준거에 대한 칸트의 의견은?
경험은 우리에게 어떤 것이 그러그러하다는 것을 가르쳐 주기는 하지만, 그것이 그렇지 않을 수 없음을 가르쳐 주지는 않는다. 그러므로 만약 첫째로, 동시에 필연성과 함께 생각되는 하나의 명제가 있다면, 그것은 선험적인 판단이며...... 둘째, 경험은 결코 그 판단들에 참된, 바꿔 말해 엄밀한 보편성은 주지 못하고, (귀납에 의거하여) 오직 가정된 비교적인 보편성만을 준다....... 그러므로 한 판단이 엄밀한 보편성을 갖는다고 생각된다면, 다시 말해 단 하나의 예외 가능성도 인정되지 않는 것으로 생각된다면, 그 판단은 경험에서 도출된 것이 아니라, 절대적으로 선험적으로 타당한 것이다(B32).)
※ AI-Helper는 부적절한 답변을 할 수 있습니다.