[논문]NURBS 제어점의 위치 및 가중치를 설계변수로 하는 스플라인 유한요소법 기반 형상최적설계 연구

송여울; 허준영; 윤성기

doi:10.3795/ksme-a.2014.38.4.363

NURBS 제어점의 위치 및 가중치를 설계변수로 하는 스플라인 유한요소법 기반 형상최적설계 연구
Study of the Shape Optimization in Spline FEM Considering both NURBS Control Point Positions and Weights as Design Variables 원문보기

大韓機械學會論文集. Transactions of the Korean Society of Mechanical Engineers. A. A, v.38 no.4, 2014년, pp.363 - 370

송여울 (KAIST 기계공학부) , 허준영 (KAIST 기계공학부) , 윤성기 (KAIST 기계공학부)

초록
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본 연구에서는 NURBS(Non-Uniform Rational B-spline)를 이용한 형상최적화 방법을 제안한다. 대부분 NURBS 기반 형상 최적화 방법은 NURBS의 제어점 위치 좌표 값만을 설계변수로 택하고 있다. 이러한 경우, 형상최적화 과정에서 종종 제어점들이 서로 가까워져 메쉬 품질을 악화시키고 수렴이 되지 않는 등의 문제를 야기시킨다. 본 연구에서는 형상최적화에서 NURBS 제어점의 좌표뿐 아니라 가중치를 추가적으로 설계 변수로 고려하여 세밀한 형상 변화를 가능하게 하고, 제어점 위치 좌표 최적화 과정과 제어점 가중치 최적화 과정을 분리하여 단계적으로 효율적인 형상 최적화를 수행하였다. 제안한 형상최적화 방법을 예제에 적용하여 제안된 방법의 효율성을 검증하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

A new NURBS-based shape optimization method is proposed. Most shape optimization studies consider only control point positions as design variables. Some shape optimization processes present problems with mesh quality and convergence when control points are constrained to a limited space. If the weights of the control points are regarded as additional design variables, it should be possible to attain a better degree of shape control. In this study, positions and weights of NURBS control points are used as design variables, and a shape optimization algorithm incorporates position optimization and weight optimization steps. This method is applied to shape optimization benchmarking problems to verify its advantages.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서는 스플라인 유한요소법을 이용한 2차원 형상최적설계 시, 제어점의 위치 좌표 값과 가중치를 모두 설계 변수로 설정하고, 적절한 도입 및 적용을 통해 효율적인 최적 설계를 구현하는 방법에 대한 연구를 제시한다.
본 연구에서는 스플라인 유한요소법을 이용한 2차원 형상최적화 시, NURBS 형상표현에 영향을 미치는 제어점의 위치 좌표와 해당 제어점의 가중치를 모두 설계변수로 고려하는 방법을 제시하였다. 기존의 제어점 위치좌표만을 설계변수로 하는 형상최적화 방법 대신에 가중치를 추가적으로 설계 변수로 설정함으로써 비교적 세밀한 NURBS 형상의 변화가 가능하며, 원뿔곡선 표현이 가능한 이점을 가진다.
본 예제는 하중조건 하에 빔의 변위 최소화를 위한 빔의 형상최적설계 문제이다. 재료상수는 E = 210GPa , v = 0.

제안 방법

제품 생산 과정에서 핵심적인 역할을 수행하는 CAD(Computer Aided Design)와 CAE(Computer Aided Engineering)의 효율적인 소통은 제품의 생산성 향상에 직접적인 영향을 끼치며 이에 대한 연구가 활발이 진행되고 있다.^(1~3) 먼저 CAD 를 이용하여 제품을 모델링하고, CAE 과정을 통해 제품이 사용되는 환경에 대응되는 경계조건을 부여하여 해석을 수행한다. CAE 해석 결과를 바탕으로 모델링을 개선하고, 다시 해석을 하는 반복적인 최적화 과정을 통해 최적화된 제품설계가 이루어 진다.
일반적인 스플라인 유한요소법 기반 형상최적화는 제어점의 좌표 값을 설계변수로 설정하여 형상 최적화를 수행한다. 그러나 앞서 언급한 바와 같이, NURBS 의 제어점 좌표 값뿐 아니라 가중치 값 역시 형상을 표현하는 변수이므로 본 연구에서는 제어점의 좌표 값과 가중치를 모두 설계변수로 하여 형상최적화를 수행하였다. Fig.
그러므로, 두 가지의 변수를 동시에 설계변수로 설정하는 경우에 수렴이 불가한 문제가 발생할 수 있고, 특정 문제에서 제어점의 위치 좌표와 가중치 변수를 분리하여 단계적으로 진행하는 방식이 더 효율적일 수 있다. 그리하여 본 연구에서는 우선적으로 설계영역의 범위가 비교적 넓은 제어점 위치 최적화를 우선적으로 수행한 다음 제어점 간의 거리가 일정 수준이상 가까워지면, 비교적 설계 영역이 작아서 섬세한 곡선 변형이 가능한 가중치 최적화를 수행하였다.
기존의 제어점 위치좌표만을 설계변수로 하는 형상최적화 방법 대신에 가중치를 추가적으로 설계 변수로 설정함으로써 비교적 세밀한 NURBS 형상의 변화가 가능하며, 원뿔곡선 표현이 가능한 이점을 가진다. 또한 형상최적화 과정 동안 제어점이 서로 가까워져 메쉬 구성이 어려운 경우가 종종 발생하는데 본 연구에서는 제어점이 일정 수준이상 가까워지면 제어점의 이동을 멈추고, 설계 영역 비교적 작은 가중치 최적화를 수행함으로써 이러한 문제를 방지하도록 하였다.
먼저 설계 영역이 큰 제어점의 위치 최적화를 수행하고, 최적화 과정 동안 제어점간 거리가 일정수준 이상 가까워 지면, 제어점의 이동을 멈추고 가중치 최적화를 수행한다. Fig.
10 은 요소와 제어점, 최적화를 수행하는 설계변수 정의를 나타낸다. 본 문제에서는 빔의 윗면에 위치한 제어점의 y 좌표값과 가중치를 설계변수로 설정하여 형상최적화를 수행한다.
본 형상최적화 과정에서는 제어점 위치 최적화와 가중치 최적화를 분리하여 단계적으로 진행하였다. 제어점 위치좌표 값만을 설계변수로 하여 형상최적화를 수행하는 경우에 최적화가 진행됨에 따라 매우 좁은 영역에서 제어점들이 밀집하는 경우가 발생하는데, 이는 메쉬를 구성하는데 어려움이 있고, 부정확한 해석결과를 초래(7)할 수 있다.
주어진 부피 제한 조건하에 목적함수인 컴플라이언스를 최소화하는 최적화를 수행하였다. V₀는 초기 평판의 부피, V는 최적화 수행 후의 부피를 나타낸다.
주어진 부피 제한 조건하에 점 A 에서 y 축 변위를 최소화하는 최적화를 수행하였다. 대부분 빔 형상최적화 시, 빔의 오른쪽 끝부분이 좁아지면서 불안정한 결과 값을 유발 시킴으로 인해 빔의 두께가 일정 수준 이상, 이하가 되지 않도록 추가적으로 제약 조건(8)을 가한다.
일반적인 형상최적화는 CAD 에서 초기 2 차원 모델을 생성하고, CAD 에서 모델에 대응되는 제어점 좌표, 가중치, 매듭벡터, 차수 등의 형상정보를 얻는다. 형상 정보를 바탕으로 원하는 수준의 정확도를 만족하기 위한 요소 세분화, 문제에 대응되는 경계조건 부여를 통해 구조 해석을 수행한다. 형상최적화를 수행하기에 앞서 형상최적화 문제에 따라 목적함수, 제한조건, 설계변수를 설정하고, 설계변수의 변화에 따른 구조해석 결과를 이용하여 해당 설계변수에 대한 형상민감도를 계산한다.
평판의 내부 경계 형상 최적화 문제이다. 형상최적화가 적합하게 수행되는지 확인 하기 위하여 Fig. 5 에 나타난 정해가 존재하는 평판 내부 경계 형상최적화 문제에 대하여 최적화를 진행하였다. 이 때 정해는, 설계 영역인 오른쪽 아래 대각선 영역은 정확히 사분의 일 원 형상을 나타낸다.

대상 데이터

이 때 정해는, 설계 영역인 오른쪽 아래 대각선 영역은 정확히 사분의 일 원 형상을 나타낸다. 재료상수는 E = 210GPa , v = 0.3 이며, 경계조건으로 오른쪽과 아랫면에 대칭조건을 적용하였다. 그런 다음, 윗면과 왼쪽 면에 동일한 크기의 하중을 가하였다.
본 예제는 하중조건 하에 빔의 변위 최소화를 위한 빔의 형상최적설계 문제이다. 재료상수는 E = 210GPa , v = 0.3 이며, 문제 정의는 Fig. 9 에 나타나 있으며, 점 A 에 집중 하중을 가하였다. 최적화 문제 정의는 다음과 같다.

성능/효과

이러한 CAD 와 CAE 의 통합⁽⁴⁾은 전, 후처리 과정 동안의 시간과 노력을 획기적으로 감소시켜 실제 산업의 생산성에 엄청난 발전을 기대할 수 있으며, 이에 따른 스플라인 유한요소법 기반 형상 최적화 방법에 대해 많은 연구가 진행되고 있다.⁽⁵⁾ 스플라인 유한요소법 기반 형상최적화 방법은 NURBS 제어점 위치 좌표를 설계변수로 하며, 기존의 유한요소 기반의 형상최적화와 비교하였을 때 비교적 적은 수의 설계변수를 이용하여 복잡한 최적형상을 도출할 수 있다. 현재 대부분의 NURBS 를 이용한 형상 최적 설계 연구에서는 제어점의 위치만을 설계변수로 하여 최적화(5,6)를 진행하였다.
본 연구에서는 스플라인 유한요소법을 이용한 2차원 형상최적화 시, NURBS 형상표현에 영향을 미치는 제어점의 위치 좌표와 해당 제어점의 가중치를 모두 설계변수로 고려하는 방법을 제시하였다. 기존의 제어점 위치좌표만을 설계변수로 하는 형상최적화 방법 대신에 가중치를 추가적으로 설계 변수로 설정함으로써 비교적 세밀한 NURBS 형상의 변화가 가능하며, 원뿔곡선 표현이 가능한 이점을 가진다. 또한 형상최적화 과정 동안 제어점이 서로 가까워져 메쉬 구성이 어려운 경우가 종종 발생하는데 본 연구에서는 제어점이 일정 수준이상 가까워지면 제어점의 이동을 멈추고, 설계 영역 비교적 작은 가중치 최적화를 수행함으로써 이러한 문제를 방지하도록 하였다.
가중치의 값이 클수록 NURBS 곡선은 해당 제어점에 가까워지는 것을 확인할 수 있다. 또한 해당 곡선은 3 차 곡선이므로 컨벡스 헐은 4 개의 제어점을 연결하여 구성된 사각형이고 해당 곡선은 가중치 값이 변하더라도 컨벡스 헐 내부에 존재하는 것을 확인할 수 있다. 이처럼 가중치를 변화시킬 때에 스플라인은 해당되는 컨벡스헐 내부에서만 이동하므로 진동이나 이탈을 방지할 수 있다.
본 연구에서 제안한 방법을 평판 내부 경계 설계 문제와 빔 경계 최적화를 수행하여, 위치-가중치 최적화를 수행할 경우 더욱 부드러운 경계를 표현할 수 있으며, 최적화 결과의 목적함수를 비교하였을 때에도 이점을 가지는 것을 확인하였다.
12 에서 나타난 것과 같이 제어점 위치만을 설계변수로 하는 경우, 제어점의 위치-가중치 최적화보다 더 빨리 수렴한다. 정규화된 목적함수 값을 비교하여 보면, 제어점의 위치만을 설계변수로 택하는 경우 2.74, 위치-가중치 최적화에서는 2.52 로 가중치를 추가적으로 설계 변수로 택하였을 때 더 낮은 목적함수를 가지는 것을 확인함으로써 더 나은 최적 결과를 얻은 것을 알 수 있다.
7 에서 제어점 위치만을 설계변수로 하는 경우 22 번의 최적화를 반복하고 수렴하고, 제어점의 위치-가중치 최적화에서는 우선 제어점 위치 최적화가 12 번 가중치 최적화가 21번으로 총 33 번의 최적화가 수행된다. 정해인 사분의 일 원과 최적해 결과를 비교해 보면, 제어점의 위치만을 설계변수로 택하는 경우 오차가 1.52%이고 위치-가중치 최적화에서는 1.43%의 오차를 얻음으로써 가중치를 추가적으로 설계 변수로 택하였을 때 오차가 더 작은 것을 확인할 수 있다.
8 에서 최적화 과정 동안의 정규화된 목적함수와 제한조건의 변화를 살펴보면, 초기 부피보다 더 작은 부피 제한 조건을 가하였기 때문에 모든 최적화 과정에서 목적함수가 기존의 목적함수보다 증가한 값을 나타낸다. 최적화 결과를 비교하면, 가중치를 설계변수로 택할 경우, 목적함수에도 이점이 있음을 확인할 수 있다.

후속연구

^(1~3) 먼저 CAD 를 이용하여 제품을 모델링하고, CAE 과정을 통해 제품이 사용되는 환경에 대응되는 경계조건을 부여하여 해석을 수행한다. CAE 해석 결과를 바탕으로 모델링을 개선하고, 다시 해석을 하는 반복적인 최적화 과정을 통해 최적화된 제품설계가 이루어 진다. 이처럼 최종 제품을 생산하기 위해서는 무수한 개선과정이 필요하며, 이에 따라 CAD 와 CAE 간의 정보 교환이 반복적으로 수행된다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	스플라인 유한요소법이 제안된 배경은 무엇인가?	제품 생산 과정에서 핵심적인 역할을 수행하는 CAD(Computer Aided Design)와 CAE(Computer Aided Engineering)의 효율적인 소통은 제품의 생산성 향상에 직접적인 영향을 끼치며 이에 대한 연구가 활발이 진행되고 있다.(1~3) 먼저 CAD 를 이용하여 제품을 모델링하고, CAE 과정을 통해 제품이 사용되는 환경에 대응되는 경계조건을 부여하여 해석을 수행한다. CAE 해석 결과를 바탕으로 모델링을 개선하고, 다시 해석을 하는 반복적인 최적화 과정을 통해 최적화된 제품설계가 이루어 진다. 이처럼 최종 제품을 생산하기 위해서는 무수한 개선과정이 필요하며, 이에 따라 CAD 와 CAE 간의 정보 교환이 반복적으로 수행된다. 그러나 CAD 에서는 스플라인 기저로 모델을 표현하는 반면 CAE 는 다항식 기저로 유한요소 모델을 표현하기 때문에 모델을 공유하는 과정에서 형상 근사 오차가 발생하는 문제점이 있다. 최근 제안된 스플라인 유한요소법(Spline Finite Element Method)은 CAD 의 NURBS 기저를 CAE 에서 형상함수로 사용하는 방법으로, 유한요소 해석 전처리 작업인 유한요소 생성과정과 해석한 결과를 다시 CAD 로 전환하는 과정이 제거된다.
	스플라인 유한요소법의 특징은 무엇인가?	그러나 CAD 에서는 스플라인 기저로 모델을 표현하는 반면 CAE 는 다항식 기저로 유한요소 모델을 표현하기 때문에 모델을 공유하는 과정에서 형상 근사 오차가 발생하는 문제점이 있다. 최근 제안된 스플라인 유한요소법(Spline Finite Element Method)은 CAD 의 NURBS 기저를 CAE 에서 형상함수로 사용하는 방법으로, 유한요소 해석 전처리 작업인 유한요소 생성과정과 해석한 결과를 다시 CAD 로 전환하는 과정이 제거된다. 이후 CAD 의 스플라인 정보를 직접 해석에 적용하는 방법이 제안되고 이를 등기하 해석(Isogeometric analysis)이라 명명하였다.
	제품 생산 과정에서 핵심적인 역할을 수행하는 것은 무엇인가?	최근 기계, 전자 제품에 대한 소비자의 수준 향상과 빠른 트렌드 변화로 인하여 섬세한 제품 디자인이 요구되고, 제품 생산 주기가 짧아지고 있다. 제품 생산 과정에서 핵심적인 역할을 수행하는 CAD(Computer Aided Design)와 CAE(Computer Aided Engineering)의 효율적인 소통은 제품의 생산성 향상에 직접적인 영향을 끼치며 이에 대한 연구가 활발이 진행되고 있다.(1~3) 먼저 CAD 를 이용하여 제품을 모델링하고, CAE 과정을 통해 제품이 사용되는 환경에 대응되는 경계조건을 부여하여 해석을 수행한다.

참고문헌 (8)

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Kallinderis, Y., Kontzialis, C., 2009, "A Priori Mesh Quality Estimation via Direct Relation Between Truncation Error and Mesh Distortion," Journal of Computational Physics, Vol. 228, pp. 881-902.

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Qian, X., 2010, "Full Analytical Sensitivities in NURBS Based Isogeometric Shape Optimization," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 199, pp. 2059-2071.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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