기존의 문제해결 유추(Problem Solving Analogies)의 사고과정은 표상, 접근, 사상, 적용, 학습의 5단계로 요약된다. 본 연구의 목적은 일반적인 문제해결 유추의 사고과정을 토대로 수학교육이라는 특수성이 반영된 '유추 사고과정 모델'을 개발하여 궁극적으로 학생들이 더 많이 유추를 사용할 수 있도록 도움을 주는데 있다. 모델의 개발과정은 먼저 Euler가 유추를 사용해 수학적 발견을 시도한 역사적인 사례를 분석하여 가설적 유추 사고과정 모델(초안)을 설계한 후, 연구자가 고안한 유추과제 즉, 피타고라스 정리의 증명을 유추적으로 연결시켜 코사인법칙을 증명하는 과제를 수학영재들로 하여금 해결하도록 하고, 그 해결과정에서 나타나는 사고과정의 특성을 반영하여 모델을 2차에 걸쳐 수정 보완하였으며, 교육적인 시사점을 도출하였다.
기존의 문제해결 유추(Problem Solving Analogies)의 사고과정은 표상, 접근, 사상, 적용, 학습의 5단계로 요약된다. 본 연구의 목적은 일반적인 문제해결 유추의 사고과정을 토대로 수학교육이라는 특수성이 반영된 '유추 사고과정 모델'을 개발하여 궁극적으로 학생들이 더 많이 유추를 사용할 수 있도록 도움을 주는데 있다. 모델의 개발과정은 먼저 Euler가 유추를 사용해 수학적 발견을 시도한 역사적인 사례를 분석하여 가설적 유추 사고과정 모델(초안)을 설계한 후, 연구자가 고안한 유추과제 즉, 피타고라스 정리의 증명을 유추적으로 연결시켜 코사인법칙을 증명하는 과제를 수학영재들로 하여금 해결하도록 하고, 그 해결과정에서 나타나는 사고과정의 특성을 반영하여 모델을 2차에 걸쳐 수정 보완하였으며, 교육적인 시사점을 도출하였다.
The process of analogical reasoning can be conventionally summarized in five steps : Representation, Access, Mapping, Adaptation, Learning. The purpose of this study is to develop more detailed model for reason of analogies considering the distinct characteristics of the mathematical education based...
The process of analogical reasoning can be conventionally summarized in five steps : Representation, Access, Mapping, Adaptation, Learning. The purpose of this study is to develop more detailed model for reason of analogies considering the distinct characteristics of the mathematical education based on the process of analogical reasoning which is already established. Ultimately, This model is designed to facilitate students to use analogical reasoning more productively. The process of developing model is divided into three steps. The frist step is to draft a hypothetical model by looking into historical example of Leonhard Euler(1707-1783), who was the great mathematician of any age and discovered mathematical knowledge through analogical reasoning. The second step is to modify and complement the model to reflect the characteristics of students' thinking response that proves and links analogically between the law of cosines and the Pythagorean theorem. The third and final step is to draw pedagogical implications from the analysis of the result of an experiment.
The process of analogical reasoning can be conventionally summarized in five steps : Representation, Access, Mapping, Adaptation, Learning. The purpose of this study is to develop more detailed model for reason of analogies considering the distinct characteristics of the mathematical education based on the process of analogical reasoning which is already established. Ultimately, This model is designed to facilitate students to use analogical reasoning more productively. The process of developing model is divided into three steps. The frist step is to draft a hypothetical model by looking into historical example of Leonhard Euler(1707-1783), who was the great mathematician of any age and discovered mathematical knowledge through analogical reasoning. The second step is to modify and complement the model to reflect the characteristics of students' thinking response that proves and links analogically between the law of cosines and the Pythagorean theorem. The third and final step is to draw pedagogical implications from the analysis of the result of an experiment.
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문제 정의
따라서 본 연구에서는 실제로 학생들이 유추를 이용해 수학을 (재)발견하고 수학문제를 해결하는 과정을 분석한 결과를 토대로 수학교육이라는 차별화된 영역에 적합한 유추 사고과정 모델을 개발하고, 교육적인 시사점을 도출하고자 한다. 구체적으로 본 연구는 다음과 같은 내용으로 구성되어 있다.
마지막으로 본 연구를 통해 얻은 시사점을 서술하고자 한다. 본 연구에서 수학적 특수성을 반영하여 설계한 ‘유추 사고과정 모델’은 유추를 사용해 수학적 발견이나 문제를 해결하고자 하는 학생들의 반응을 보다 분석적으로 판단할 수 있게 해 줄 것이며, 그에 따라 적절한 교수학적 처치도 제공해 줄 수 있을 것이다.
본 연구자는 ‘가필드의 증명법’과 ‘레오나르도 다빈치의 증명법’을 바탕문제로 제공하였을 때 코사인법칙을 유도한 사고과정을 서로 대비시켜 분석하고자 한다.
기존의 문제해결 유추의 사고과정에 관한 연구는 심리학과 인지과학 분야에 기반을 두고 있으며, 그 과정은 표상, 접근, 사상, 적용, 학습의 5단계로 요약된다. 이러한 일반적인 문제해결 유추의 사고과정에 토대로 본 연구에서는 수학교육이라는 특수성이 반영된 유추 사고과정 모델을 개발하여 궁극적으로 학생들이 더 많이 유추를 사용할 수 있도록 도움을 주고자 하였다. 개발 과정은 먼저 Euler가 유추를 사용해 수학적 발견을 시도한 역사적인 사례를 분석하여 가설적 유추 사고과정 모델을 설계한 후, 실제로 유추과제로 실험을 실시하여, 학생들의 유추 사고 과정 반응분석을 통해 모델을 2차에 걸쳐 수정, 보완하였으며 그 결과 [그림 Ⅲ-11]과 같은 유추 사고과정 모델을 완성하였다.
이러한 활동을 통해 학생들은 스스로 유추적 사고의 의미와 가치를 음미하게 하는 한편, 연구자는 학생들의 사고과정을 분석하여 모델을 수정·보완하고자 한다.
그러므로, 추측하고 이를 정당화하는 과정이 기존의 문제해결 유추과정의 어느 단계에서 수행되는지를 구체적으로 명시해 주는 것이 상대적으로 수학적 특성을 보다 잘 반영하는 것이 될 것이다. 이를 위해 유추를 사용해 창의적으로 문제를 해결한 역사적인 사례를 고찰하여 수학적 특성을 문제해결 유추과정에 반영하고자 한다.
제안 방법
15명의 학생들에게 추가로 제시한 피타고라스 정리의 증명방법은 중학교 교과서에 수록된 ‘가필드의 증명법’, ‘레오나르도 다빈치의 증명법’, ‘피타고라스 증명법’을 바탕문제로 제공하였다.
1차 활동에서 표적문제를 해결한 35명의 학생들의 유추적 사고과정을 분석해 본 결과, 바탕문제에서 “합동인 4개의 직각삼각형을 붙여 정사각형ABCD를 만들었다 ([그림 Ⅲ-1] 참조)”는 속성에 ‘접근(Access)’해서 표적문제의 “4개의 둔각삼각형을 붙여 정사각형ABCD를 만들었다([그림 Ⅲ-2]참조)”라는 속성으로 ‘사상(Mapping)’시켰다.
이러한 일반적인 문제해결 유추의 사고과정에 토대로 본 연구에서는 수학교육이라는 특수성이 반영된 유추 사고과정 모델을 개발하여 궁극적으로 학생들이 더 많이 유추를 사용할 수 있도록 도움을 주고자 하였다. 개발 과정은 먼저 Euler가 유추를 사용해 수학적 발견을 시도한 역사적인 사례를 분석하여 가설적 유추 사고과정 모델을 설계한 후, 실제로 유추과제로 실험을 실시하여, 학생들의 유추 사고 과정 반응분석을 통해 모델을 2차에 걸쳐 수정, 보완하였으며 그 결과 [그림 Ⅲ-11]과 같은 유추 사고과정 모델을 완성하였다.
기존의 유추과정에서 사상단계를 ‘사상시도’단계와 ‘사상완성’단계로 양분하여 ‘사상시도’단계와 ‘사상완성’단계의 특성을 구체적으로 명시하였다.
둘째, 가설적으로 설계한 유추 사고과정 모델을 실제로 검증해보기 위한 교수실험을 실시한다. 실험은 본 연구자가 고안한 유추과제 즉, 피타고라스 정리의 증명을 유추적으로 연결시켜 코사인 법칙을 증명하는 과제를 수학영재들로 하여금 해결하도록 하고, 그 해결과정에서 관찰된 사고의 흐름을 반영하여 가설적 모델을 수정·보완하여 모델을 완성하고 교육적인 시사점을 도출한다.
따라서 표적문제(무한차수 방정식의 해결)와 바탕문제(유한 차수의 방정식 해결)의 구조적 특성을 서로 비교하여 관련성 및 유사성이 있는 요소들을 서로 연결하는 ‘사상’단계에 진입하게 되었다.
마지막으로 세 번째 과제 ‘레오나르도 다빈치의 증명법’을 이용하여 표적문제를 해결한 학생들의 사고과정을 분석하고자 한다.
피타고라스 정리는 수학적 가치뿐만 아니라 다양한 증명 과정에 내재된 수학적 아이디어로 인해 교육적 측면에서도 비중 있게 다루어왔다. 본 연구에서는 피타고라스 정리의 증명을 이해하는 것에 만족하는 것이 아니라 그 속에 함축되어 있는 중요한 수학적 아이디어를 유추적인 사고로 연결하여 코사인 법칙을 증명하게 된다. 이러한 활동을 통해 학생들은 스스로 유추적 사고의 의미와 가치를 음미하게 하는 한편, 연구자는 학생들의 사고과정을 분석하여 모델을 수정·보완하고자 한다.
Euler는 무한급수의 합을 구하기 위해 유한차수의 방정식에서 적용되는 근과 계수의 관계와 다항식의 계수비교법을 무한차수의 방정식에서도 성립할 것이라는 유추적인 사고에 의해 해결하였다. 본 연구자는 Euler가 유추를 통해 수학적 발견을 시도한 사례를 가능한 유사하게 추적해보면서 가설적 유추사고과정 모델(초안)을 구상하였다. 다음은 그 과정이다.
본 연구자는 이와 같이 수정한 유추 사고과정을 ‘가설적인 유추 사고과정 모델’이라고 부르고, 실증적으로 학생들이 유추과제를 해결하는 과정에서 나타나는 사고과정의 특징을 반영하여 2차에 걸쳐 가설적 모델을 수정·보완하였다.
실험은 본 연구자가 고안한 유추과제 즉, 피타고라스 정리의 증명을 유추적으로 연결시켜 코사인 법칙을 증명하는 과제를 수학영재들로 하여금 해결하도록 하고, 그 해결과정에서 관찰된 사고의 흐름을 반영하여 가설적 모델을 수정·보완하여 모델을 완성하고 교육적인 시사점을 도출한다.
선발된 15명은 모두 수학적 재능이 탁월하고 평소 도전적이며 새로운 수학문제해결을 즐기는 성향을 보이는 학생들이다. 이들의 개인별 활동지 및 면담과정에서 얻은 정보들을 기반으로 세부적으로 분석하는 질적 연구를 진행하였다.
첫째, 수학적 문제해결 과정을 고려한 ‘가설적 유추 사고과정 모델(초안)’을 설계한다. 이를 위해 유추를 사용해 수학적 발견을 시도한 역사적인 사례를 고찰한다.
즉, ‘사상시도’단계에서는 표면적으로 서로 관련이 없어 보이는 개념과 개념 사이의 구조적 관계를 연결시키기 위한 시도로 ‘추측하기’나 ‘가설 설정하기’가 진행되며, ‘사상완성’단계에서는 설정한 가설 혹은 추측의 모호했던 구조적 관계를 수학적 정당화 과정을 통해 검증을 실시하여 투명하게 드러내는 단계로 구분하였다.
즉, M2는 [그림 Ⅲ-10b]처럼 육각형ABFCDH에 이등변삼각형HDI와 BJF를 첨가하여 평행사변형 AJCI가되도록 변형시켜, 바탕문제에서 해결한 방법([그림Ⅲ-8]에서 S ABCD = 4 × (SAEH) +S EFGH)과 표적 문제에서 해결한 방법([그림 Ⅲ-10b]에서 SAJCI = 4 × (SAEH) +SEFGH +2 × (SHDI) )을 서로 사상(Mapping)시켜 원하는 결과를 도출하였다.
첫째, 수학적 문제해결 과정을 고려한 ‘가설적 유추 사고과정 모델(초안)’을 설계한다.
대상 데이터
실험은 2차에 걸쳐 실시하였으며 1차 활동은 1학년 전체 91명을 대상으로 실시하였다. 1차 활동을 성공적으로 수행한 학생들(34명/91명) 중 자발적으로 2차 활동에 참여하기를 희망하는 15명을 선정하여 실시하였다. 선발된 15명은 모두 수학적 재능이 탁월하고 평소 도전적이며 새로운 수학문제해결을 즐기는 성향을 보이는 학생들이다.
1차 활동을 성공적으로 해결한 35명의 학생들 중 자발적으로 참여하기를 희망하는 15명을 선정하여 2차 활동을 실시하였다. 15명의 학생들에게 추가로 제시한 피타고라스 정리의 증명방법은 중학교 교과서에 수록된 ‘가필드의 증명법’, ‘레오나르도 다빈치의 증명법’, ‘피타고라스 증명법’을 바탕문제로 제공하였다.
본 실험에 참여하게 되는 대상은 연구목적에 맞는 풍부한 반응을 보여줄 것으로 기대되는 학생들로서 과학고등학교에 재학 중인 1학년 학생들이다. 이들은 과학고 입학 당시 수학 및 과학 과목 성적이 또래 연령의 상위 3%이내에 속하며, 과학고에서 실시한 적합한 절차에 따라 선발되었다.
1차 활동을 성공적으로 수행한 학생들(34명/91명) 중 자발적으로 2차 활동에 참여하기를 희망하는 15명을 선정하여 실시하였다. 선발된 15명은 모두 수학적 재능이 탁월하고 평소 도전적이며 새로운 수학문제해결을 즐기는 성향을 보이는 학생들이다. 이들의 개인별 활동지 및 면담과정에서 얻은 정보들을 기반으로 세부적으로 분석하는 질적 연구를 진행하였다.
이들은 과학고 입학 당시 수학 및 과학 과목 성적이 또래 연령의 상위 3%이내에 속하며, 과학고에서 실시한 적합한 절차에 따라 선발되었다. 실험은 2차에 걸쳐 실시하였으며 1차 활동은 1학년 전체 91명을 대상으로 실시하였다. 1차 활동을 성공적으로 수행한 학생들(34명/91명) 중 자발적으로 2차 활동에 참여하기를 희망하는 15명을 선정하여 실시하였다.
이 증명법으로 이용해 표적문제를 해결한 학생 수는 15명 중 6명이었다. 학생들에게 제시한 과제 중 가장 적은 인원이 해결하였다.
이 증명법을 이용해 코사인 법칙을 증명(표적 문제)해 낸 학생은 15명 중 15명이었다. [그림Ⅲ-6]은 표적문제를 해결한 15명 중 한 학생(M1)의 반응이다.
성능/효과
[그림 Ⅲ-14]에서 보는 것처럼, 바탕문제와 표적문제 사이의 관계적 유사성을 발견해내기가 쉽지 않은 경우에는 유연한 사고와 융통성을 발휘해 바탕문제를 적절히 수정하고 변경하는 ‘적용’단계를 거쳐야 하며, 바탕영역과 표적영역 사이에 구조적인 사상관계를 발견해내기가 수월하다면 ‘적용’단계를 거치지 않아도 사상을 완성할 수가 있음을 재차 확인하였다.
결국, 2차 수정한 유추 사고과정 모델에 맞춰 ‘레오나르도 다빈치의 증명법’을 이용한 코사인 법칙의 증명을 시도한 학생의 반응을 검토해 본 결과, 모델은 수정할 필요가 없었으며 모든 과정이 적합하였다.
그러므로 유추 사고과정에 있어서, 바탕문제와 표적문제 사이의 ‘유사성’이나 ‘관계성’을 찾는 과정이 문제를 해결하는 당사자에게 어렵지 않으면 ‘적용’단계를 거치지 않아도 사상을 완성시킬 수 있지만, 문제가 복잡하거나 난이도가 높아‘유사성’이나 ‘관계성’을 찾아내기가 어려울 때에는 융통성 있는 사고의 전환을 통해 바탕문제를 적절하게 수정하는 ‘적용’단계를 거쳐야 비로소 사상을 완성시킬 수 있음을 보여주었다.
바탕문제(요새문제)를 사전에 제공받지 못한채 한 표적문제(종양문제)만을 해결해야 했던 통제집단에서는 전체의 10%만 해결할 수 있었으나, 바탕문제를 접해본 후 표적문제를 해결한 실험집단에서는 전체의 90%가 표적문제를 해결할 수 있었다. 바탕문제의 구조적 유사성이 표적문제에 영향을 주었기 때문이다.
이와 같이 역사적인 사례에서 확인해 본 것처럼 수학에서의 유추 사고과정은 먼저 추측하고 가설을 수립한 후, 그 추측과 가설을 검증하기 위한 수학적 정당화 과정을 거치고 있음을 확인할 수 있다. 그러므로 수학에서 ‘사상’단계는 ‘사상시도’단계와 ‘사상완성’단계로 구분해 주는 것이 더 수학적인 특성을 반영하는 것으로 볼 수 있다.
이와 같이 학생들의 유추반응을 살펴본 결과, 사상과정은 ‘접근→사상시도→사상완성’으로 일회적이기 보다는 ‘1차(바탕문제로) 접근→1차 사상시도(추측하기)→1차 사상완성→2차(바탕문제로) 접근→2차 사상시도(추측하기)→2차 사상 완성→⋯’과 같이 유한회수를 반복해서 사상과정이 진행되었다. 즉, 한 과정의 사상이 완료되어 도출된 결과물은 또 다른 사상을 시도하기 위한 자료로 재사용될 수 있으며, 이러한 반복적인 사상과정을 통해 축적된 결과물들을 종합하여야 비로소 최종 결과물을 도출될 수 있었다. 이와 같은 결과를 반영하여 유추적 사고과정 모델을 [그림 Ⅲ-4]와 같이 1차 수정하였다.
후속연구
본 연구에서 수학적 특수성을 반영하여 설계한 ‘유추 사고과정 모델’은 유추를 사용해 수학적 발견이나 문제를 해결하고자 하는 학생들의 반응을 보다 분석적으로 판단할 수 있게 해 줄 것이며, 그에 따라 적절한 교수학적 처치도 제공해 줄 수 있을 것이다.
이러한 주장은 ‘피타고라스 증명법’을 이용하여 코사인법칙을 증명하는 과제를 해결한 학생의 반응을 살펴보면 더 분명해질 것이다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
대체적으로 유추에 의한 문제해결 과정을 어떻게 구분하는가?
많은 심리학자와 교육학자들은 유추에 의한 문제해결 과정을 다양하게 제시하였다. 이들이 사용한 용어에는 다소 차이가 있으나, 대체적으로 문제해결 유추의 사고과정을 표상(Representation) 접근(Access), 사상(Mapping), 적합(Adaptation), 학습(Learning)의 5단계로 요약해 볼 수 있다 (Genter, 1989; Holyoak, 1985; Holyoak & Thagard, 1995; Novick, 1988; Rattermann, 1997; Thagard, 1988; 이종희, 2003).
유추는 어떤 도구로 연구되어 왔는가?
‘유추(analogical reasoning)’는 심리학과 수학교육학 분야에서 인간의 인지과정의 핵심기제 (Gentner, 1989; Holyoak & Thagard, 1995; English, 2004; Tzurial, & George, 2009)로 가장 주목을 받아온 개념 중 하나이다. 유추는 문제해결뿐만 아니라 귀납적 추론, 수학적 발견, 추상적 개념학습, 창의적 사고를 위한 강력한 사고의 도구로 연구되어 왔다(Alexander et al., 1997; English, 1997, 2004; Gentner et al.
유추에 의한 문제해결과정은 어떠한가?
유추에 의한 문제해결(Problem Solving Analogies) 과정에 대한 견해는 학자들마다 조금씩 다르지만 대체적으로 표상(Representation), 접근(Access), 사상(Mapping), 적용(Adaptation), 학습 (Learning)의 5단계로 구분하고 있으며 각 단계에 대한 연구는 폭넓게 이루어져왔다(Gentner, 1989; Holyoak & Thagrd, 1995; Novick, 1988; Rattermann, 1997; Thagard, 1988). 그러나, 현재 사용되고 있는 유추에 의한 문제해결 과정은 심리학과 같은 인지과학분야의 학자들이 중심이 되어 연구되어 왔으며, 수학교육의 특수성을 반영한 연구는 부족하다(Rattermann, 1997; 이신자, 2009; 이종희, 2003; 유상휘, 송상헌, 2013).
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