[논문]Global and Local Views of the Hilbert Space Associated to Gaussian Kernel

Huh, Myung-Hoe

doi:10.5351/csam.2014.21.4.317

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Global and Local Views of the Hilbert Space Associated to Gaussian Kernel 원문보기

Communications for statistical applications and methods = 한국통계학회논문집, v.21 no.4, 2014년, pp.317 - 325

Huh, Myung-Hoe (Department of Statistics, Korea University)

Abstract ▼ AI-Helper

Consider a nonlinear transform ${\Phi}(x)$ of x in $\mathbb{R}^p$ to Hilbert space H and assume that the dot product between ${\Phi}(x)$ and ${\Phi}(x^{\prime})$ in H is given by < ${\Phi}(x)$, ${\Phi}(x^{\prime})$ >= K(x, x'). The aim of this paper is to propose a mathematical technique to take screen shots of the multivariate dataset mapped to Hilbert space H, particularly suited to Gaussian kernel $K({\cdot},{\cdot})$, which is defined by $K(x,x^{\prime})={\exp}(-{\sigma}{\parallel}x-x^{\prime}{\parallel}^2)$, ${\sigma}$ > 0. Several numerical examples are given.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

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제안 방법

However, the proposed technique differs from the standard method in dealing with central tendency of transformed observations in the Hilbert space. In addition, the proposed method produces several (two or more) pictures of transformed observations in H, to help the analysts by providing diverse views of a big dataset which could be complex in nature.
Gabriel’s (1971) biplot is certainly a handy tool for this purpose. The method produces a scatterplot of observations overlaid with arrows for the directional flow of respective variables. However, the biplot is effective only for linearly structured datasets, because its mechanism consists of linear projections in #.
This study proposes graphing methods for the dataset mapped to Hilbert space, where the dot products are computed via Gaussian kernel. Mathematically, it is nothing else but a kernel principal component analysis, which was set up by Schölkopf et al.

참고문헌 (5)

Gabriel, K. R. (1971). The biplot display of matrices with the application to principal component analysis, Biometrika, 58, 453-467.

상세보기
Huh, M. H. (2013a). Arrow diagrams for kernel principal component analysis, Communications for Statistical Applications and Methods, 20, 175-184.

원문보기 상세보기
Huh, M. H. (2013b). SVM-guided biplot of observations and variables, Communications for Statistical Applications and Methods, 20, 491-498.

원문보기 상세보기
Huh, M. H. and Lee, Y. G. (2013). Biplots of multivariate data guided by linear and/or logistic regression, Communications for Statistical Applications and Methods, 20, 129-136.

원문보기 상세보기
Scholkopf, B., Smola, A. and Muller, K. R. (1998). Nonlinear component analysis as a kernel eigen-value problem, Neural Computation, 10, 1299-1319.

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