[논문]준모수혼합모형을 이용한 축소소지역추정

정석오; 추만호; 신기일

doi:10.5351/kjas.2014.27.4.605

준모수혼합모형을 이용한 축소소지역추정
Shrinkage Small Area Estimation Using a Semiparametric Mixed Model 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.27 no.4, 2014년, pp.605 - 617

정석오 (한국외국어대학교 통계학과) , 추만호 (한국외국어대학교 통계학과) , 신기일 (한국외국어대학교 통계학과)

초록
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소지역추정은 작은 규모의 지역 또는 도메인에 작은 크기의 표본이 배정되어 추정의 정도가 좋지 않은 경우에 이를 극복하는 통계적 기법이다. 소지역추정에 흔히 사용되고 있는 모형기반 추정량은 MSE를 기초로 얻어지나 최근 상대오차를 이용한 소지역추정법도 연구되고 있다. 본 논문에서는 상대오차를 최소로 하는 소지역 추정량의 준모수적 접근법에 관하여 연구하였다. 즉 준모수혼합모형을 이용한 축소소지역추정량을 새롭게 제안하였다. 또한 Lee(1995)에서 제안된 모의실험 자료를 이용한 모의실험과 매월노동통계 자료를 이용한 사례연구를 통하여 기존의 추정량과 제안된 추정량의 우수성을 비교하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

Small area estimation is a statistical inference method to overcome large variance due to a small sample size allocated in a small area. A shrinkage estimator obtained by minimizing relative error(RE) instead of MSE has been suggested. The estimator takes advantage of good interpretation when the data range is large. A semiparametric estimator is also studied for small area estimation. In this study, we suggest a semiparametric shrinkage small area estimator and compare small area estimators using labor statistics.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문은 2절에서 현재 사용되고 있는 소지역추정량 중 가장 많이 사용되는 선형혼합추정량과 준모수 혼합모형을 이용한 소지역 추정량과 축소추정량에 관해 간단히 설명하였다. 또한 기존의 혼합모형과 축소소지역추정량을 결합한 새로운 준모수축소소지역추정량을 제안하였다.
그러나 Jeong과 Shin (2013)의 연구 결과를 살펴보면 비모수적추정에 비해 준모수적추정이 사용이 간단하면서도 효율성이 우수한 것을 확인 할 수 있다. 이에 본 연구에서는 준모수혼합모형에 축소추정법을 결합한 소지역추정 법을 연구하였다.
이제 독립변수와 종속변수가 직선관계가 아닌 경우인 볼록형과 오목형 결과를 살펴보자. 먼저 볼록형자료의 결과인 Table 3.

가설 설정

(2.1)의 y_ij = f(x_ij)에 대해 아래와 같은 절사선형스플라인(truncated linear spline) 모형을 가정하자. 이 절에서는 수식을 간소화하기 위해 p = 1인 경우에 한해 수식을 전개하였으며 p > 1인 경우는 쉽게 벡터로 일반화하여 표시될 수 있다.
각 소지역 내 사업체 수를 n_j라 하면 # 가 된다. 각 사업체의 종사자 수를 보조변수로 하여 소지역별 평균 임금을 추정하는 상황을 가정하고, 다음의 절차에 따라 모의실험을 실시하였다. 다음의 절차는 최근 논문인 Salvati 등 (2010), Jeong과 Shin (2013)의 모의실험 방법을 사용한 것이다.
또한 s_j를 j번째 소지역에서 추출된 표본집합, r_j를 이 소지역에서 표본조사에서 제외된 집합이라 하면 U_j = s_j < r_j이다. 본 연구의 목적은 표본집합 s_j의 관심변수와 보조정보만을 이용하여 각 소지역 U_j에서 관심변수 y의 평균을 추정하는 것이며 표본조사에서 제외된 집합인 r_j는 보조정보가 있다는 가정을 사용하였다.
주어진 xk값에 대하여 모두 네 종류의 조사자료 yk를 발생시켰는데, 각각 평균μ(x) = a + bx + cx2이고 분산 σ2(x) = d2x2g을 갖는 감마분포를 가정하였다.

제안 방법

(5) 축소소지역추정량을 구하기 위해 (3)에서 추출된 표본을 복원추출로 랜덤하게 B = 200번 추출하여 분산을 구하고, 구해진 분산과 임금 추정치를 이용하여 CV를 추정한 후 최종적인 축소소지역추정량을 구한다.
11)을 적용하여 소지역추정량을 얻었다. 각 추정량의 우수성을 살펴보기 위하여 500번의 반복이 이루어졌다. 또한 분산 추정을 위한 붓스트랩 반복수 R = 200을 사용하였다.
다음으로 생성된 50,000개 자료를 50개의 소지역으로 나누었다. 이를 위해 먼저 관심변수 y_k와 보조 변수 x_k를 오름차순으로 정렬한 후, 크기순으로 각 소지역 층에 자료를 배정하였다.
소지역 추정 방법으로 모형 기반 추정법에 대한 관심이 증대되는 가운데 준모수혼합모형을 이용한 함수 추정 기법은 이 분야에서 활용도가 매우 높을 것으로 기대된다. 또한 MSE를 기준으로 만들어진 추정량에 추가하여 상대오차를 기준으로 만들어진 새로운 추정량은 자료의 형태에 따라 타당한 추정량을 사용할 수 있는 여건을 제공하였다. 모의실험 결과 선형혼합모형과 준모수혼합모형은 모집단 자료 형태가 선형과 비례형인 경우에는 비슷한 결과를 주는 것으로 판단된다.
본 논문은 2절에서 현재 사용되고 있는 소지역추정량 중 가장 많이 사용되는 선형혼합추정량과 준모수 혼합모형을 이용한 소지역 추정량과 축소추정량에 관해 간단히 설명하였다. 또한 기존의 혼합모형과 축소소지역추정량을 결합한 새로운 준모수축소소지역추정량을 제안하였다. 3절에서는 Lee 등 (1995)의 모집단 생성 방법으로 만들어진 자료를 이용해 모의실험이 수행되었다.
첫 번째로 생성된 자료는 보조변수와의 관계가 원점을 지나는 비례적 형태(ratio)이고, 두 번째 자료는 양의 절편 값을 갖는 선형관계(regression)를 갖도록 하였다. 또한 볼록형과 오목형의 관계가 성립하도록 상수를 조정한 후 자료를 생성하였다.
이 절에서는 본 연구에서 제안한 준모수혼합축소 소지역추정량의 성능을 기존의 선형혼합모형 소지역추정량과 비교하였다. 분석에 사용한 자료는 노동부의 ‘2006년 매월노동통계’의 원자료이다.
상대오차를 이용한 추정법은 Park과 Stefanski (1997)에서 연구되었고 이를 이용한 축소소지역추정법은 Hwang과 Shin (2008)에서 연구되었다. 이 절에서는 상대오차를 이용하여 비모수적으로 추정하는 방법을 간단히 살펴보았다. 먼저 일반적인 MSE를 최소로 하여 얻은 추정량은 다음과 같다.
다음으로 생성된 50,000개 자료를 50개의 소지역으로 나누었다. 이를 위해 먼저 관심변수 y_k와 보조 변수 x_k를 오름차순으로 정렬한 후, 크기순으로 각 소지역 층에 자료를 배정하였다. 층의 크기는 22개 층이 250개에서 700개의 원소를 갖고 있으며, 6개 층이 800개에서 1,000개 그리고 나머지 22개 층이 1,100개에서 1,750개의 원소를 갖고 있다.
또한 비교를 위한 통계량으로는 Rao (2003)에서 이용하고 있는 여러 비교통계량들을 사용했다. 즉, 오차의 크기에 근거한 Mean Squared Error(MSE)와 Mean Absolute Error(MAE), 상대적인 오차의 크기를 비교하기 위한 것으로 Relative Error(RE)와 Absolute Relative Error(ARE)를 고려하였다. 각 비교통계량의 구체적 형태는 다음과 같다.
1은 선택된 상수 a, b, c, d, g의 값을 나타낸다. 첫 번째로 생성된 자료는 보조변수와의 관계가 원점을 지나는 비례적 형태(ratio)이고, 두 번째 자료는 양의 절편 값을 갖는 선형관계(regression)를 갖도록 하였다. 또한 볼록형과 오목형의 관계가 성립하도록 상수를 조정한 후 자료를 생성하였다.
서론에서 언급한 것처럼 최근의 분석에서는 모형기반 추정법이 주로 사용되므로 모형기반 추정법을 살펴보았다. 특히 모형기반 추정법 중에서 연속형 변수에서 가장 많이 사용하고 있는 선형혼합모형 방법을 2.1절에서 살펴보았다. 또한 준모수 혼합모형을 이용한 소지역 추정법을 2.

대상 데이터

본 연구에서는 소지역 추정에서 사용되는 지역수준자료(area level data)와 단위수준자료(unit level data) 중에서 단위수준자료가 사용되었다. 또한 전 연구를 통하여 다음과 같은 설계를 사용하였다.
분석에 사용한 자료는 노동부의 ‘2006년 매월노동통계’의 원자료이다.

이론/모형

또한 기존의 혼합모형과 축소소지역추정량을 결합한 새로운 준모수축소소지역추정량을 제안하였다. 3절에서는 Lee 등 (1995)의 모집단 생성 방법으로 만들어진 자료를 이용해 모의실험이 수행되었다. 4절에서는 매월노동통계 자료를 이용한 사례연구를 통하여 기존의 추정량과 제안된 추정량의 우수성을 비교했으며 5절에 결론이 있다.
각 사업체의 종사자 수를 보조변수로 하여 소지역별 평균 임금을 추정하는 상황을 가정하고, 다음의 절차에 따라 모의실험을 실시하였다. 다음의 절차는 최근 논문인 Salvati 등 (2010), Jeong과 Shin (2013)의 모의실험 방법을 사용한 것이다.
또한 분산 추정을 위한 붓스트랩 반복수 R = 200을 사용하였다. 또한 비교를 위한 통계량으로는 Rao (2003)에서 이용하고 있는 여러 비교통계량들을 사용했다. 즉, 오차의 크기에 근거한 Mean Squared Error(MSE)와 Mean Absolute Error(MAE), 상대적인 오차의 크기를 비교하기 위한 것으로 Relative Error(RE)와 Absolute Relative Error(ARE)를 고려하였다.
모의실험을 위한 자료의 생성과정은 Lee 등 (1995)에서 사용한 동일한 방법을 사용하였다. 먼저 크기 N = 50,000인 모집단을 다음과 같이 생성하였다.
따라서 최근 분석에서는 추가적인 정보, 즉 보조정보(auxiliary information)를 이용하여 좀 더 정확한 추정이 가능한 모형기반 추정법이 주로 사용되고 있다. 모형기반 추정법으로는 기본적으로 회귀추정법, 비추정법과 같은 일반회귀추정법(generalized regression method)이 사용된다. 또한 선형혼합모형, 경험적베이즈추정법, 계층적베이즈추정법 등도 사용된다.
상대오차를 이용한 추정법은 Park과 Stefanski (1997)에서 연구되었고 이를 이용한 축소소지역추정법은 Hwang과 Shin (2008)에서 연구되었다. 이 절에서는 상대오차를 이용하여 비모수적으로 추정하는 방법을 간단히 살펴보았다.
을 최소로 하는 β값들과 u값들을 추정하는 방식이다. 이상의 절차에 의한 추정 결과는 Ruppert 등 (2003)의 108쪽에서 제시한 바와 같이 u값들을 랜덤효과를 나타내는 계수인 것처럼 생각하고 BLUP 이론을 적용한 것과 같아지게 된다. 또한 위 과정 중에 벌점 모수 λ까지 함께 자료값에 의해 자동으로 결정되기 때문에 벌점 모수 결정 문제에 대해 고민할 필요가 없다는 장점이 있다.

성능/효과

축소추정량을 얻기 위한 붓스트랩 반복수는 200번이다. 결과를 살펴보면 선형혼합모형에 비해 준모수혼합모형의 결과가 매우 우수한 것을 확인할 수 있다. 또한 선형혼합모형의 경우에는 축소모형을 적용하여 얻은 축소선형혼합모형을 이용한 추정량의 정확도가 미세하지만 향상된 것을 볼 수 있다.
따라서 직선 관계가 아닌 경우에는 당연하지만 준모수혼합모형을 사용할 필요가 있다. 다음으로 준모수혼합모형과 축소준모수혼합모형을 비교해 보면 축소준모수혼합모형의 결과가 모든 통계량을 기준으로 할 때 좋게 나온 것을 확인할 수 있다. 특히 축소모형을 사용하는 주된 목적이 상대오차 즉 RE를 최소로 하는 것인데 이 경우에는 매우 크게 상대오차를 줄일 수 있다.
특히 RE를 기준으로 할 때 선형혼합모형의 결과가 매우 우수하다. 또한 축소선형모형을 적용한 결과는 모두 좋지 않는 것으로 확인되었다. 다음의 선형자료 결과인 Table 3.
5 결과를 살펴보면 역시 준모수혼합모형을 사용한 결과가 우수한 결과를 주고 있다. 또한 축소준모수혼합모형을 사용한 결과를 살펴보면 모든 비교 통계량에서 우수한 결과를 주고 있음을 확인할 수 있다. 특히 축소준모수혼합모형의 상대오차는 크게 감소하였다.
이제 독립변수와 종속변수가 직선관계가 아닌 경우인 볼록형과 오목형 결과를 살펴보자. 먼저 볼록형자료의 결과인 Table 3.4를 살펴보면 선형혼합모형에 비해 준모수혼합모형의 결과가 매우 우수한 것을 확인할 수 있다. 이는 물론 두 변수간의 관계가 선형이 아니기 때문에 발생할 수 있는 자연스러운 결과이기도 하다.
또한 볼록형 또는 오목형에서는 상대오차를 최소로 하여 만들어진 축소준모수혼합모형을 사용한다면 MSE 또는 MAE 기준도 어느 정도 만족하면서도 상대오차를 크게 줄일 수 있기 때문에 축소준모수혼합모형을 사용할 필요가 있다. 사례연구 결과에서는 준모수혼합모형이 축소준모수혼합모형에 비해 미세하지만 우수한 결과를 주고 있다. 따라서 실제 자료 분석에서는 모집단 자료 형태를 선행적으로 연구한 후, 그 결과에 따라 사용 유무를 결정할 필요가 있다.

후속연구

소지역 추정 방법으로 모형 기반 추정법에 대한 관심이 증대되는 가운데 준모수혼합모형을 이용한 함수 추정 기법은 이 분야에서 활용도가 매우 높을 것으로 기대된다. 또한 MSE를 기준으로 만들어진 추정량에 추가하여 상대오차를 기준으로 만들어진 새로운 추정량은 자료의 형태에 따라 타당한 추정량을 사용할 수 있는 여건을 제공하였다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	소지역추정법은 어떻게 나뉘는가?	소지역추정을 간단히 정리하면 지역 또는 도메인에 배분된 표본의 수가 작아 정확한 추정이 불가능할 때 이를 극복하는 통계적 방법이다. 소지역추정법은 크게 자료기반 또는 설계기반(data based, designbased) 추정법과 모형기반(model-based) 추정법으로 나누어진다. 설계기반 추정법은 얻어진 자료만을 사용하므로 추가적인 정보를 사용하지 않기 때문에 추정의 정확도를 향상시키기에는 한계가 있다.
	소지역추정이란 무엇인가?	소지역추정을 간단히 정리하면 지역 또는 도메인에 배분된 표본의 수가 작아 정확한 추정이 불가능할 때 이를 극복하는 통계적 방법이다. 소지역추정법은 크게 자료기반 또는 설계기반(data based, designbased) 추정법과 모형기반(model-based) 추정법으로 나누어진다.
	설계기반(data based, designbased) 추정법의 한계는 무엇인가?	소지역추정법은 크게 자료기반 또는 설계기반(data based, designbased) 추정법과 모형기반(model-based) 추정법으로 나누어진다. 설계기반 추정법은 얻어진 자료만을 사용하므로 추가적인 정보를 사용하지 않기 때문에 추정의 정확도를 향상시키기에는 한계가 있다. 따라서 최근 분석에서는 추가적인 정보, 즉 보조정보(auxiliary information)를 이용하여 좀 더 정확한 추정이 가능한 모형기반 추정법이 주로 사용되고 있다.

참고문헌 (10)

Hwang, H.-J. and Shin, K.-I. (2008). Shrinkage prediction for small area estimation, The Korean Journal of Applied Statistics, 21, 109-123.

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Jeong, S.-O. and Shin, K.-I. (2008). A new nonparametric method for prediction based on mean squared relative error, Communications of the Korean Statistical Society, 15, 255-264.

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Jeong, S.-O. and Shin, K.-I. (2013). Semiparametric and nonparametric mixed effects models for small area estimation, The Korean Journal of Applied Statistics, 26, 71-79.

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Jones M. C., Park, H., Shin, K.-I., Vines, S. K. and Jeong, S.-O. (2008). Relative error prediction via kernel regression smoother, Journal of Statistical Planning and Inference, 138, 2887-2898.

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Lee, H., Rancourt, E. and Sarndal, C.-E. (1995). Experiment with variance estimation from survey data with imputed value, Journal of Official Statistics, 10, 231-243.
Opsomer, J. D., Claeskens, G., Ranalli, M. G., Kauermann, G. and Breidt, F. J. (2008). Non-parametric small area estimation using penalized spline regression, Journal of Royal Statistical Society B, 70, 265-286.

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Park, H. and Stefanski, L. A. (1997). Relative error prediction, Statistics and Probability Letters, 40, 227-236.
Rao, J. N. K. (2003). Small Area Estimation, John Wiley and sons, New York.
Ruppert, D., Wand, M. P. and Carroll, R. J.(2003). Semiparametric Regression, Cambridge.
Salvati, N., Chandra, H., Ranalli, M. G. and Chambers, R. (2010). Small area estimation using a nonparametric model-based direct estimator, Computational Statistics and Data Analysis, 54, 2159-2171.

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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