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최소시간 강하선 문제의 실증적·수학적 고찰
Empirical and Mathematical Study on the Brachistochrone Problem 원문보기

East Asian mathematical journal, v.30 no.4, 2014년, pp.475 - 491  

이동원 (Changshin High School) ,  이양 (Pusan National University) ,  정영우 (Kyungsung University)

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

We can easily see the 'cycloid slide' in the many mathematics and science museums. The educational materials, however, do not give us any mathematical principle. For this reason, we, in this thesis, first study the brachistochrone problem in the history of mathematics, and suggest a method of how to...

주제어

#brachistochrone problem   #Johann Bernoulli   #Calculus of Variations   #GSP5  

AI 본문요약
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문제 정의

  • 본 연구에서는 학생들에게 가르칠 교수학적 지식으로서 요한 베르누이가 문제를 제시한 이듬해인 1697년에 동일한 학술지에 제시했던 방법을 탐구형 기하소프트웨어 GSP 5로 구현하여 학생들의 이해를 돕고, 이것이 실제로 사이클로이드임을 정당화한다. 또한 사이클로이드 미끄럼틀을 통하여 최소 시간 강하선 문제를 지도해야 할 교사의 학문적 배경지식으로서 변분법의 기원과 발전 그리고 이것을 이용한 수학적 증명을 소개한다.
  • 미적분학에서 몇 개의 독립변수에 대한 함수의 극값을 찾는 문제의 일반 화인 변분법은 함수들의 집합을 정의역으로 하는 함수인 범함수, 특히 정의역이 곡선들의 집합인 함수에 대한 적분이 극값을 가지게 하는 적절한 곡선을 찾는데 그 목적을 둔다. 변분법을 이용하여 해결할 수 있는 문제에는 최소 시간 강하선 문제를 비롯하여, 고정된 길이의 곡선으로 둘러싸인 가장 넓은 폐곡선을 찾거나 고정된 겉넓이를 가지면서 부피가 최대인 도형을 찾는 등주문제(isoperimetric problem), 평면 또는 구면 위에서 두 점 사이의 가장 짧은 거리를 갖는 곡선을 구하는 측지선(geodesics) 문제 등이 있으며, 최소시간 강하선 문제는 이러한 변분법의 결정적인 기원이다.
  • 본 연구에서는 학생들에게 가르칠 교수학적 지식으로서 요한 베르누이가 문제를 제시한 이듬해인 1697년에 동일한 학술지에 제시했던 방법을 탐구형 기하소프트웨어 GSP 5로 구현하여 학생들의 이해를 돕고, 이것이 실제로 사이클로이드임을 정당화한다. 또한 사이클로이드 미끄럼틀을 통하여 최소 시간 강하선 문제를 지도해야 할 교사의 학문적 배경지식으로서 변분법의 기원과 발전 그리고 이것을 이용한 수학적 증명을 소개한다.
  • 스넬이 법칙을 따르는 경로가 최소 시간 경로가 됨을 검증하는 방법에는 준 타원(quasi-ellipse)을 활용하는 방법과 미분을 이용하는 방법이 있다. 우선, GSP 5로 준 타원을 작도하여 스넬의 법칙을 검증해 보자.
  • 이제 스넬의 법칙을 이용하여 요한 베르누이의 방법을 살펴보자. 그는 광학적 성질인 스넬을 법칙을 역학적 문제인 최소 시간 강하선 문제에 적용하였다.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
최소시간 강하선 문제란 무엇인가? 이 문제는 ‘최단거리’에 관한 인간의 직관과는 달리 ‘최소시간’이란 관점에서는 직선이 아닌 곡선이 그러한 경로가 됨을 보여준다. 요한 베르누이는 이 곡선이 사이클로이드임을 말하고 있다.
최소시간 강하선 문제는 누구의 의해 제시되었는가? 역사 속에서 최소시간 강하선 문제(The Brachistochrone Problem2))는 1696년 스위스의 수학자 요한 베르누이(Johann Bernoulli)에 의해 Acta Eruditorum에 다음과 같이 제시되었다.
‘최단거리’에 관한 인간의 직관과는 달리 ‘최소시간’이란 관점에서는 직선이 아닌 곡선이 그러한 경로가 되는데 그 곡선을 무엇이라 하는가? 이 문제는 ‘최단거리’에 관한 인간의 직관과는 달리 ‘최소시간’이란 관점에서는 직선이 아닌 곡선이 그러한 경로가 됨을 보여준다. 요한 베르누이는 이 곡선이 사이클로이드임을 말하고 있다.
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참고문헌 (5)

  1. 문승혜(2013). 변분법과 최단강하곡선에 대한 고찰, 전북대학교 교육대학원 석사학위논문. 

  2. 문희태(2009). 고전역학, 서울대학교 출판부. 

  3. George B. Arfken.Hans J. Weber(김장환 역, 2006). Essential Mathematical Methods for Physicists(기초 수리물리학), 홍릉과학출판. 

  4. Patrick Hamill(강지훈.송승기.양우철 역, 2011). Intermediate dynamics(일반역학), 청범. 

  5. The Inter-IREM Commision(1997). History of Mathematics Histories of Problems, Paris: Ellipses. 

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