[국내논문]불연속 갤러킨 유한요소법을 이용한 1차원 천수방정식의 댐 붕괴류 및 천이류 해석 Dam-Break and Transcritical Flow Simulation of 1D Shallow Water Equations with Discontinuous Galerkin Finite Element Method원문보기
최근, 급속한 컴퓨터 하드웨어의 성능 향상과 전산유체역학 분야의 이론적 발전으로, 고차 정확도의 수치기법들이 계산수리학 분야에 적용되어 왔다. 본 연구에서는 1차원 천수방정식에 대한 수치 해법으로 TVD Runge-Kutta 불연속 갤러킨(RKDG) 유한요소법을 적용하였다. 대표적인 천이류(transcritical flow)의 예로 순간적인 댐 붕괴에 의한 댐 붕괴류(dam-break flow) 흐름과 지형변화에 의한 천이류를 모의하였다. 리만(Riemann) 근사해법으로 로컬 Lax-Friedrichs (LLF), Roe, HLL 흐름률(flux) 기법을 사용하였고, 불필요한 진동을 제거하기 위하여, 기울기 제한자로서 MUSCL 제한자를 사용하였다. 개발된 모델은 1차원 댐 붕괴류와 천이류에 적용하였다. 수치해석 결과는 해석해, 수리실험 결과와 비교하였다.
최근, 급속한 컴퓨터 하드웨어의 성능 향상과 전산유체역학 분야의 이론적 발전으로, 고차 정확도의 수치기법들이 계산수리학 분야에 적용되어 왔다. 본 연구에서는 1차원 천수방정식에 대한 수치 해법으로 TVD Runge-Kutta 불연속 갤러킨(RKDG) 유한요소법을 적용하였다. 대표적인 천이류(transcritical flow)의 예로 순간적인 댐 붕괴에 의한 댐 붕괴류(dam-break flow) 흐름과 지형변화에 의한 천이류를 모의하였다. 리만(Riemann) 근사해법으로 로컬 Lax-Friedrichs (LLF), Roe, HLL 흐름률(flux) 기법을 사용하였고, 불필요한 진동을 제거하기 위하여, 기울기 제한자로서 MUSCL 제한자를 사용하였다. 개발된 모델은 1차원 댐 붕괴류와 천이류에 적용하였다. 수치해석 결과는 해석해, 수리실험 결과와 비교하였다.
Recently, with rapid improvement in computer hardware and theoretical development in the field of computational fluid dynamics, high-order accurate schemes also have been applied in the realm of computational hydraulics. In this study, numerical solutions of 1D shallow water equations are presented ...
Recently, with rapid improvement in computer hardware and theoretical development in the field of computational fluid dynamics, high-order accurate schemes also have been applied in the realm of computational hydraulics. In this study, numerical solutions of 1D shallow water equations are presented with TVD Runge-Kutta discontinuous Galerkin (RKDG) finite element method. The transcritical flows such as dam-break flows due to instant dam failure and transcritical flow with bottom elevation change were studied. As a formulation of approximate Riemann solver, the local Lax-Friedrichs (LLF), Roe, HLL flux schemes were employed and MUSCL slope limiter was used to eliminate unnecessary numerical oscillations. The developed model was applied to 1D dam break and transcritical flow. The results were compared to the exact solutions and experimental data.
Recently, with rapid improvement in computer hardware and theoretical development in the field of computational fluid dynamics, high-order accurate schemes also have been applied in the realm of computational hydraulics. In this study, numerical solutions of 1D shallow water equations are presented with TVD Runge-Kutta discontinuous Galerkin (RKDG) finite element method. The transcritical flows such as dam-break flows due to instant dam failure and transcritical flow with bottom elevation change were studied. As a formulation of approximate Riemann solver, the local Lax-Friedrichs (LLF), Roe, HLL flux schemes were employed and MUSCL slope limiter was used to eliminate unnecessary numerical oscillations. The developed model was applied to 1D dam break and transcritical flow. The results were compared to the exact solutions and experimental data.
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문제 정의
(1983)은 HLL 흐름률 기법을 제시하였다. 본 논문에서는 각각의 흐름률 기법을 사용하여 요소 경계에서의 수치 흐름률을 계산하였으며, 이에 대하여 개략적으로 설명한다. 또한, 시간적분 기법과 기울기 제한자에 대하여 소개한다.
본 논문에서는 각각의 흐름률 기법을 사용하여 요소 경계에서의 수치 흐름률을 계산하였으며, 이에 대하여 개략적으로 설명한다. 또한, 시간적분 기법과 기울기 제한자에 대하여 소개한다.
4는 댐 붕괴류 모의를 위한 초기조건으로서, 두께가 0인 가상적인 댐으로부터 상류수심 또는 상류하도 단면적을 각각 yu, Au, 하류수심 또는 하류하도 단면적을 yd, Ad로 부여한다. 본 연구에서는 삼각형 단면 수로와 사각형 단면 수로에서의 댐 붕괴류 흐름을 모의하여, 이를 해석해와 비교하였다. 또한, 단면의 폭이 변화하는 사각형 단면 수로에서 댐 붕괴류의 예로서 Townson and Al-Salihi (1989)의 수리실험 데이터와 비교하였다.
가설 설정
0176 m를 수심으로 부여하였다. 수로는 경사가 없는 수평(S0 = 0)이고, Townson and Al-Salihi (1989)는 수로의 마찰계수를 명시하지 않았으며, 본 연구에서는 Mohapatra and Bhallamudi (1996)가 재현한 바와 같이 마찰이 없는 수로(Sf =0)를 가정하였다. Riemann 근사해법으로 Lax-Friedrichs 흐름률, Roe 흐름률과 HLL 흐름률을 사용하였다.
제안 방법
본 연구에서는 1차원 천수방정식에 대한 TVD (Total Variation Diminishing) RKDG 기법의 수치모형을 수립하고, 이를 댐 붕괴류의 해석에 적용하였다. 수치진동을 제어하기 위하여 기울기 제한자로 MUSCL 기울기 제한자를 적용하였다. 먼저 본론에서 지배방정식과 수치 기법에 대하여 기술하고, 적용사례로서 삼각형, 사각형 단면에서 댐 붕괴류 흐름과 지형변화에 따른 천이류 흐름을 모의하였으며, 적용 결과와 향후 연구에 대하여 기술하였다.
수치진동을 제어하기 위하여 기울기 제한자로 MUSCL 기울기 제한자를 적용하였다. 먼저 본론에서 지배방정식과 수치 기법에 대하여 기술하고, 적용사례로서 삼각형, 사각형 단면에서 댐 붕괴류 흐름과 지형변화에 따른 천이류 흐름을 모의하였으며, 적용 결과와 향후 연구에 대하여 기술하였다.
본 연구에서는 Eq. (10)을 기본 지배방정식으로 사용하였다. 갤러킨 기법에 의하여 가중함수에 형상함수(shape function)를 사용하면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
0인 삼각형 단면이며 댐은 x =0 m에 위치하고 있다. 초기조건으로 상류하도 단면적은 Au =1.0 m2 (수심 1.0 m)이며 하류하도에는 젖은 하상조건 Ad =0.01 m2 (수심 0.1 m)에 대하여 댐 붕괴류를 모의하였다. Δx =5 m의 일정 크기 격자를 사용하였으며, 계산 시간간격 Δt는 CFL 조건(Eq.
단면의 폭은 x =0 m에서 최대 폭을 가지며 5°의 각도로 흐름방향에 따라 댐(dam)이 위치한 1.8 m까지 폭이 축소하고 댐 이후로 폭이 0.1 m로 일정한 수로에서 댐 붕괴류 흐름을 모의하였다.
삼각형 수로에서와 같은 조건으로, 하상 경사와 마찰이 0인 전체길이 2,000 m [-1000 m, 1000 m]인 사각형 단면 수로에서의 댐 붕괴류 흐름을 모의하였다. 단면의 폭은 1m 이며 댐은 x =0 m에 위치하고 있다.
8에 보인 바와 같이 사각형 단면의 수축 및 확장 수로에서의 댐 붕괴류 흐름을 모의하였다. 단면의 폭이 수축하여 평행하게 흐르는 수로(Fig. 8의 파선)와 평행한 단면을 유지하다가 확장하는 수로(Fig. 8의 실선)에서 실험을 수행하였으며, 상류경계에서 부터 0.5 m, 1.0 m, 1.8 m, 2.5 m, 3.0 m, 3.5 m에 위치한 관측점에서 수위를 측정하였다. 단면 폭의 수축 및 확장 각도는 5°이며 댐이 위치한 곳의 폭은 두 수로에서 모두 0.
(35))에 의한 상한값의 90%값을 사용하여 정상상태(steady state)에 도달할 때까지 계산을 수행하였다. 각각의 수치적 흐름률로 Lax-Friedrichs, Roe, HLL 흐름률을 사용한 결과를 해석해, Meselhe et al. (1997)의 수치해와 비교하였다. Fig.
본 연구에서는 1차원 천수방정식을 해석하기 위한 수치기법으로 불연속 갤러킨 유한요소법을 적용하였고 천이흐름의 대표적인 사례인 댐 붕괴류와 저면 지형변화에 의한 천이류를 모의하였다. 수치기법을 검증하기 위해 해석해가 존재하는, 하상경사와 마찰, 단면 폭의 변화가 없는 삼각형 단면과 사각형 단면 수로에 대하여 댐 붕괴류 적용하였다.
본 연구에서는 1차원 천수방정식을 해석하기 위한 수치기법으로 불연속 갤러킨 유한요소법을 적용하였고 천이흐름의 대표적인 사례인 댐 붕괴류와 저면 지형변화에 의한 천이류를 모의하였다. 수치기법을 검증하기 위해 해석해가 존재하는, 하상경사와 마찰, 단면 폭의 변화가 없는 삼각형 단면과 사각형 단면 수로에 대하여 댐 붕괴류 적용하였다. 또한, 해석해가 없는 수로에서의 댐 붕괴류를 모의하기 위해 Townson and Al-Salihi (1989)의 실험에서와 같이 단면 폭이 감소하는 사각형 수축 단면 수로와 단면 폭이 증가하는 사각형 확장 단면 수로의 댐 붕괴류를 모의하였으며, 생성항이 있는 경우의 사례로서 지형 변화가 있는 천이류에 적용하였다.
수치기법을 검증하기 위해 해석해가 존재하는, 하상경사와 마찰, 단면 폭의 변화가 없는 삼각형 단면과 사각형 단면 수로에 대하여 댐 붕괴류 적용하였다. 또한, 해석해가 없는 수로에서의 댐 붕괴류를 모의하기 위해 Townson and Al-Salihi (1989)의 실험에서와 같이 단면 폭이 감소하는 사각형 수축 단면 수로와 단면 폭이 증가하는 사각형 확장 단면 수로의 댐 붕괴류를 모의하였으며, 생성항이 있는 경우의 사례로서 지형 변화가 있는 천이류에 적용하였다.
대상 데이터
하상 경사와 마찰이 0인 전체 [-500 m, 500 m]인 총 1,000 m인 삼각형 일양단면(prismatic) 수로에서 댐 붕괴류 흐름을 모의 하였다. 단면은 측면경사(side slope)가 1.
1 m이다. 전체 수로의 길이는 4 m이며, 댐(x = 1.8 m)을 기준으로 왼쪽이 상류, 오른쪽이 하류이며, 상류부와 하류부의 길이는 각각 1.8 m, 2.2 m이다. Townson and Al-Salihi (1989)의 실험 조건에 따라, 초기 상류 수심(yu)은 0.
폭이 1 m인 직사각형 단면으로 전체 구간 [0m,1000m]에 대하여, 바닥 저면의 하상 변화가 다음과 같은 경우에 대하여 흐름을 모의하였다.
데이터처리
본 연구에서는 삼각형 단면 수로와 사각형 단면 수로에서의 댐 붕괴류 흐름을 모의하여, 이를 해석해와 비교하였다. 또한, 단면의 폭이 변화하는 사각형 단면 수로에서 댐 붕괴류의 예로서 Townson and Al-Salihi (1989)의 수리실험 데이터와 비교하였다.
이론/모형
요소 경계에서의 흐름률을 계산하기 위한 리만(Riemann) 근사해법으로는 전통적으로 Lax-Friedrichs, Roe, HLL (Harten-Lax-van Leer) 기법이 사용되어 왔으며, 본 연구에서도 이를 적용하였다. 또한, 대부분의 고차 수치기법은 수치해에 수치진동(numerical oscillations)이 발생할 수 있다.
특히, 수심 및 유속 변화의 기울기가 큰 불연속 흐름주위에는 비현실적인 수치진동이 발생될 수 있기 때문에 이를 제거하는 기법을 찾아야 되는 경우가 많다. 수치진동을 제거하는 가장 널리 사용되는 기법은 흐름률 제한자(flux limiter), 기울기 제한자(slope limiter), ENO 차분기법이 있으며, 본 연구에서는 기울기 제한자를 사용하였다.
2차원/3차원 모델에 대한 기술적 요구와 더불어, 1차원 하천 모델은 방재 및 예보, 장기간의 변화 예측 등 향후에도 지속적인 연구과 개발이 요구된다. 본 연구에서는 1차원 천수방정식에 대한 TVD (Total Variation Diminishing) RKDG 기법의 수치모형을 수립하고, 이를 댐 붕괴류의 해석에 적용하였다. 수치진동을 제어하기 위하여 기울기 제한자로 MUSCL 기울기 제한자를 적용하였다.
2). 이미 기술한 바와 같이, 본 연구에서 흐름률 항은 리만 근사해법으로 산정하며, 리만 근사해법은 고유치로 주어지는 특성곡선 방향으로 풍상효과(upwinding effect)를 반영한다. 사실상 고유치가 특성속도, 즉, 교란이 하도를 따라 진행하는 속도를 나타낸다.
이 조합을 ‘수치 흐름률(#, numerical flux)’로 정의하고, 유한체적법에서와 같이 Riemann 근사 해법을 이용하여 산정한다.
불연속 갤러킨 공간 차분의 정확도에 상응하는 정확도의 시간적분을 적용하기 위해 3차 TVD Runge-Kutta 시간 적분 기법을 적용하였다. 먼저, 시간적분을 위한 Eq.
여기서 형상함수의 차수는 N = 1로서, 본 연구에서는 1차 다항식을 사용하였다.
고차 정확도 수치기법인 불연속 갤러킨 유한요소법은 수심 및 유속 등의 기울기가 큰 불연속 흐름 주위에서 비현실적인 진동(oscillations)이 발생하기 때문에, TVD 특성을 유지하기 위해서는 이를 억제할 필요가 있다. 수치진동을 제거하는 기법으로 흐름률 제한자(flux limiter), 기울기 제한자(slope limiter)등이 있으며 본 논문에서는 기울기 제한자를 Runge-Kutta 기법의 각 단계에 적용하였다.
이다. 본 연구에서는 Cockburn (1999)의 일반화된 기울기 제한자(generalized slope limiter)를 면적 A와 유량 Q에 대하여 적용하였다. 순서는 먼저 진동(oscillation)이 관찰되는 요소에 대하여 다음과 같이
(35))에 의한 상한값의 90%값을 사용하였다. Riemann 근사해법으로 Lax-Friedrichs 흐름률과 Roe, HLL 흐름률을 사용하였다. Fig.
(35))에 의한 상한값의 90%값을 사용하였다. Riemann 근사해법으로 Lax-Friedrichs 흐름률, Roe 흐름률과 HLL 흐름률을 사용하였다. Figs.
성능/효과
1 sec일 때의 해석결과이다. 수치해석 결과를 Townson and Al-Salihi (1989)의 실험 데이터와 비교하여 잘 일치함을 확인하였다.
Townson and Al-Salihi (1989)의 수축/확대 수로에서는 하류수심을 달리하여 수치흐름을 모의하였고, 그 결과를 실험값과 비교하여, 평행수로와 접합부를 제외하면, 비교적 잘 일치함을 확인하였다. 수리실험 결과에서와 같이 단면이 축소하는 하도에서 댐 붕괴 후 깊은 수심이 형성되는 것을 알 수 있었다. 지형 변화가 있는 1차원 천이류 모의에서는 본 연구에서 개발한 기법이 천이류 흐름을 잘 모의함을 확인하였다.
수리실험 결과에서와 같이 단면이 축소하는 하도에서 댐 붕괴 후 깊은 수심이 형성되는 것을 알 수 있었다. 지형 변화가 있는 1차원 천이류 모의에서는 본 연구에서 개발한 기법이 천이류 흐름을 잘 모의함을 확인하였다. 다만, 본 연구의 결과로만 본 다면, 흐름률 사이의 결과의 차이는 크지 않은 것으로 보인다.
후속연구
2차원/3차원 모델에 대한 기술적 요구와 더불어, 1차원 하천 모델은 방재 및 예보, 장기간의 변화 예측 등 향후에도 지속적인 연구과 개발이 요구된다. 본 연구에서는 1차원 천수방정식에 대한 TVD (Total Variation Diminishing) RKDG 기법의 수치모형을 수립하고, 이를 댐 붕괴류의 해석에 적용하였다.
다만, x = 200m 부근에서 차이(undershoot)을 보이고 있다. 이는 사각형 단면의 흐름에서는 보이지 않는 현상으로서(Lee and Lee, 2013), 향후 고차(higher-order) 근사 등 다른 방법과 비교 연구가 필요할 것으로 보인다.
005 m 인 경우에는 잘 일치한다고 보기 어렵다. 보다 정확한 결과를 위해서는 고차 근사를 사용하거나, 마른 하도(dry bed)에 적합한 알고리즘이 필요할 것으로 보인다.
이는 연결부의 방사선상 흐름(radial flow)을 1차원 모의로 재현하기 어렵기 때문인 것으로 보인다. 향후 2차원 모형을 적용한다면 보다 실제 흐름과 근접한 결과를 얻을 것으로 기대된다.
다만, 본 연구의 결과로만 본 다면, 흐름률 사이의 결과의 차이는 크지 않은 것으로 보인다. 추후 단면 폭의 변화뿐만 아니라 하상고와 저면 마찰을 포함한 수로에서의 흐름에 대해서도 본 연구에서 개발된 기법을 적용할 예정이다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
개수로 흐름의 해석에서 사용되는 수치기법에는 무엇이 있는가?
개수로 흐름의 해석에는 유한차분법(Finite Difference Method), 유한체적법(Finite Volume Method), 유한요소법(Finite Element Method) 등 다양한 수치기법이 사용되고 있다. 유한차분법은 차분과정이 비교적 간단하고 빠르며 고차다항식 적용이 가능하다는 장점이 있으나, 2차원 이상의 복잡한 지형에 대한 해석에 어려움이 있으며, 고차 다항식을 적용할 경우 많은 격자점(grid point)을 필요로 하여 경계면의 처리에 불리하다.
기존에 개발된 여러 형태의 수치기법는 어떤 경우에 힌계를 보여주고 있나?
현재 하천에서 발생하는 일반적인 흐름은 기존에 개발된 여러 형태의 수치기법에 의해 해석되고 있다. 그러나, 연속적이지 않은 형태의 흐름을 해석하거나, 정확한 해석을 필요로 하는 경우에는 기존의 수치해석기법은 많은 한계를 보여 주고 있다. 보통 흐름을 위한 수치해석기법은 공간차분형태에 따라 크게 중앙차분법과 상류이송 기법(upwind scheme)으로 분류될 수 있다.
상류이송기법은 어떤 장점을 가지고 있나?
중앙차분기법은 각 계산지점의 특성만을 반영하여 계산하는 기법으로 차분과정이 비교적 간단하여 지금까지 많이 사용되어 왔으나, 도수, 댐붕괴류 등 불연속이 나타나는 흐름의 경우 비물리적인 진동이 발생하여 해에 수렴할 수 없게 된다. 반면 상류이송기법은 각 지점의 특성선 특성에 따라 공간차분을 변화시켜 주기 때문에 상류-사류-상류 등으로 변화하는 천이류 흐름을 계산할 수 있는 장점을 가지고 있다. 이로 인하여 댐 붕괴류, 보 월류흐름 등 불연속 흐름의 계산을 위해서 상류이송기법이 많이 이용되고 있으나, 하상경사, 마찰경사, 단면변화 등을 나타내는 생성항(source term)에 대한 보존 특성을 만족하는 수치적 처리의 어려움으로 인하여, 이를 극복할 수 있는 하천 흐름해석 모델의 개발이 요구되고 있다(Kim and Han, 2009).
참고문헌 (19)
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