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문제 정의
- 본 논문에서는 Kang (2014)의 연구 결과를 확장하여 이등변삼각형의 스펙트럼이 독립하지 않고 서로 중첩되는 경우도 포함하여 보다 넓은 광대역 과정까지 확장하는 시도를 하였다. 또한, 응력범위의 확률밀도함수는 가우시안 함수로 근사하여 인공 신경망 학습 자료의 출력 데이터 수를 감소시켰다.
- 본 연구에서는 두 개의 이등변 삼각형의 중첩으로 이상화된 광대역 응력 스펙트럼을 갖는 광대역 과정의 피로손상도를 계산하기 위해 인공 신경망 기법을 적용하여 주어진 광대역 응력 스펙트럼에 해당하는 응력 범위의 확률밀도함수를 도출하는 피로 손상모델을 개발하였다.
- 이후, Marvin and Seymour (1969)는 하나의 조정층으로 이루어진 한계점을 극복하기 위해 3개 또는 그 이상의 층을 갖는 가장 널리 사용되는 다층 퍼셉트론을 제안하였다. 본 연구에서는 이를 이용하여 광대역 응력 응답 스펙트럼에서의 응력 범위의 확률 분포를 구하였다.
제안 방법
- 본 모델의 검증을 위해 인공 신경망을 이용하여 구한 피로손상비와 Wirsching-Light에 의해 제안된 방법을 (Wirsching and Light, 1980) 통해 얻어진 피로손상비를 비교하였다. Fig.
- 응력 범위의 확률 분포는 응력 시계열의 극치와 관련이 있으므로 확률 분포의 형상은 충분한 길이의 시계열을 확보하지 않으면 쉽게 수렴하지 않는 경향을 띤다. 본 연구에서 적용된 시계열의 총 시간은 50,400초로 설정하여 응력 범위 확률밀도함수가 일정한 형태로 수렴하도록 하였으며, 시계열의 반복이 발생하지 않도록 스펙트럼을 부등간격으로 이산화하고 시계열의 반복성을 자기상관함수를 통해 확인하는 과정을 거쳤다. 시계열의 시간 간격은 불규칙한 시계열 데이터의 피크점을 놓치지 않기 위해 0.
- 스펙트럼을 작성하기 위해 스펙트럼의 x축인 주파수의 시작점 (ωst)과 끝점(ωend) 2개와 스펙트럼의 면적(mc)을 추가하여 총 3개의 변수를 사용하여 이등변삼각형 하나를 표현하였으며 2개의 이등변 삼각형을 표현하기 위해 총 6개의 변수를 사용하였다.
- 응력 스펙트럼을 작성한 후 역푸리에 변환하여 시계열 자료를 얻었으며 이를 레인플로우 집계법으로 각 스펙트럼에 해당하는 응력 범위 확률밀도함수를 구하여 인공 신경망의 학습자료로 이용하였다. 시계열에서 얻은 25,200쌍의 응력 스펙트럼과 응력 범위 확률밀도함수를 정해로 가정하여 인공 신경망을 학습시켜 네트워크 예측값과 진출력의 평균 제곱오차를 최소화하는 방법으로 네트워크 파라미터를 결정하였다. 그 결과 평균제곱오차는 5.
- 본 연구에서 적용된 시계열의 총 시간은 50,400초로 설정하여 응력 범위 확률밀도함수가 일정한 형태로 수렴하도록 하였으며, 시계열의 반복이 발생하지 않도록 스펙트럼을 부등간격으로 이산화하고 시계열의 반복성을 자기상관함수를 통해 확인하는 과정을 거쳤다. 시계열의 시간 간격은 불규칙한 시계열 데이터의 피크점을 놓치지 않기 위해 0.1초로 충분히 작게 설정하여 계산하였다. 역푸리에 변환을 실시하여 얻은 시계열 데이터를 레인플로우 집계법을 통해 응력 범위에 대한 이산화된 확률밀도함수로 도출하였으며, 이를 가우시안 함수를 이용하여 근사하였다.
- 1초로 충분히 작게 설정하여 계산하였다. 역푸리에 변환을 실시하여 얻은 시계열 데이터를 레인플로우 집계법을 통해 응력 범위에 대한 이산화된 확률밀도함수로 도출하였으며, 이를 가우시안 함수를 이용하여 근사하였다.
- 응력 스펙트럼을 역푸리에 변환하여 얻은 시계열 데이터로 계산된 피로손상도를 정해로 가정한 후, 인공 신경망으로부터 계산된 피로손상도를 정규화하여 본 연구에서 개발된 방법론의 정확도를 평가하였다. 정규화된 피로손상도(normalized fatigue damage)는 식(4)와 같이 계산하였다.
- 응력 스펙트럼을 작성한 후 역푸리에 변환하여 시계열 자료를 얻었으며 이를 레인플로우 집계법으로 각 스펙트럼에 해당하는 응력 범위 확률밀도함수를 구하여 인공 신경망의 학습자료로 이용하였다. 시계열에서 얻은 25,200쌍의 응력 스펙트럼과 응력 범위 확률밀도함수를 정해로 가정하여 인공 신경망을 학습시켜 네트워크 예측값과 진출력의 평균 제곱오차를 최소화하는 방법으로 네트워크 파라미터를 결정하였다.
- Table 1은 인공 신경망의 학습을 위해 사용된 스펙트럼을 표현하기 위해 도입된 6개의 파라미터들의 변화를 요약한 것이다. 응력 스펙트럼의 주파수는 0~12.6 rad/sec의 범위로 정하였고, 스펙트럼의 면적은 150~500까지 50간격으로 변경하였다.
- Kang (2014)은 인공 신경망을 활용하여 광대역 과정에서의 피로 손상모델을 개발하였다. 이때 사용한 스펙트럼은 실제 형상과 유사한 이등변삼각형의 협대역 스펙트럼 2개를 독립적으로 위치시켜 광대역 과정으로 작성하였다. 이봉형 스펙트럼을 나타내기 위해 6가지의 인자를 사용하였으며 이 인자들과 응력범위의 확률 밀도함수를 쌍으로 작성한 후, 인공 신경망을 학습시켜 피로손상 모델을 개발하였다.
- 이산화된 확률밀도함수를 효과적으로 표현내기 위해서는 x축인 0~250MPa을 40~60개 정도의 충분한 bin으로 분할하여 표현하여야 하는데, 40~60개의 자료를 직접 인공 신경망의 출력 자료로 적용하기에는 자료의 수가 많아져 효율성 측면에 불리한 점을 가진다. 이를 해결하기 위해 확률밀도함수를 가우시안 함수를 기저로 근사하여 인공 신경망의 출력자료 수를 감소시켰다. 비교적 연속적으로 변화하는 확률밀도함수를 식 (1)에 보인, 등간격으로 배치된 다수의 가우시안 기저함수를 통해 근사화 하는 과정을 거쳤다.
- 이때 사용한 스펙트럼은 실제 형상과 유사한 이등변삼각형의 협대역 스펙트럼 2개를 독립적으로 위치시켜 광대역 과정으로 작성하였다. 이봉형 스펙트럼을 나타내기 위해 6가지의 인자를 사용하였으며 이 인자들과 응력범위의 확률 밀도함수를 쌍으로 작성한 후, 인공 신경망을 학습시켜 피로손상 모델을 개발하였다.
- 인공 신경망을 학습시키기 위해서는 입력으로 적용되는 응력 스펙트럼을 이산화하고 적절한 파라미터를 이용하여 표현하는 작업이 필요하다. 인공 신경망의 입력자료로 적용되는 응력 스펙트럼의 파라미터는 스펙트럼의 모멘트(spectral moment) 등과 같이 응력 스펙트럼의 형상을 대표할 수 있는 다양한 형태로 결정이 가능하나, 본 연구에서는 비교적 단순한 형태의 광대역 스펙트럼에의 적용성을 우선적으로 검토하기 위해 Fig. 1에 보인 형상과 같이 두 개의 이등변 삼각형의 조합으로 이상화하였다.
- 응력 스펙트럼을 표현하기 위한 입력자료와 응력 범위 확률밀도함수를 가우시안 함수로 근사한 출력자료 25,200쌍의 데이터를 준비하여 인공 신경망을 학습시켰다. 입력한 데이터쌍을 학습을 위한 데이터(training set)와 성능평가를 위한 데이터(test set) 로 분류한 후, 학습 데이터를 통해 네트워크 파라미터를 최적화 시키고 성능평가 데이터를 통하여 오차의 증감을 평가해 나가며 네트워크 파라미터를 결정하였다. 아래의 Fig.
- 학습된 신경망에 448개의 입력자료를 대입하여 시계열에서 구한 응력 범위 확률밀도함수와 인공 신경망으로 구한 응력범위 확률밀도함수를 비교하였다. Fig.
- 99942로 도출되어 네트워크의 우수한 성능을 확인하였다. 학습에 적용된 데이터와 중복되지 않는 448개의 새로운 스펙트럼을 작성하여 학습된 신경망에 대한 검증을 실행하였다. 신경망이 도출한 피로 손상도와 레인플로우 집계법을 통해 구한 피로손상도를 비교한결과 오차범위 ±10%의 우수한 성능을 보였으며, Vanmarcke bandwidth parameter에 영향을 받지 않고 항상 일정한 값이 도출됨을 확인하였다.
대상 데이터
- 응력 스펙트럼을 표현하기 위한 입력자료와 응력 범위 확률밀도함수를 가우시안 함수로 근사한 출력자료 25,200쌍의 데이터를 준비하여 인공 신경망을 학습시켰다. 입력한 데이터쌍을 학습을 위한 데이터(training set)와 성능평가를 위한 데이터(test set) 로 분류한 후, 학습 데이터를 통해 네트워크 파라미터를 최적화 시키고 성능평가 데이터를 통하여 오차의 증감을 평가해 나가며 네트워크 파라미터를 결정하였다.
- 인공 신경망의 성능을 검증하기 위해 네트워크를 학습시키기 위해 입력된 데이터 범위에 포함되지 않는 448개의 새로운 입력자료를 시스템에 입력하였다. Table 3은 네트워크 검증을 위해 새로이 준비된 응력 스펙트럼의 파라미터를 나타낸다.
데이터처리
- 인공 신경망에서 학습된 시스템의 성능을 확인하기 위해 평균 제곱오차 외에 회귀분석을 통해 결과를 분석하였다. Fig.
이론/모형
- 응력 스펙트럼을 시계열로 변환하기 위해 비규칙적(random) 위상각을 생성시켜 역푸리에변환(inverse fourier transform)을 실행하였다. 이는 응력의 시계열이 0의 평균을 가지는 가우시안 분포를 따른다는 가정에 기반한다.
- 첫 번째로 시간이력 데이터에서 직접 집계를 실시 하여 각 응력 범위와 이에 해당하는 수를 구하여 밀도 함수로 나타내는 것이며, 이를 S-N선도와 Miner’s Rule에 적용하여 피로 손상도를 구할 수 있다.
성능/효과
- 2는 레인 플로우 집계법으로 얻어진 이산화된 확률밀도함수와 가우시안 기저함수로 근사한 결과를 해당 응력 스펙트럼의 형상과 함께 도시한 그림이다. Fig. 2를 살펴보면 이산화된 확률밀도함수를 막대그래프로 가우시안으로 근사한 값을 실선으로 도시하였으며, 가우시안 기저함수를 기반으로 근사한 결과가 확률밀도함수를 효과적으로 표현하고 있는 것을 알 수 있다.
- 본 모델의 검증을 위해 인공 신경망을 이용하여 구한 피로손상비와 Wirsching-Light에 의해 제안된 방법을 (Wirsching and Light, 1980) 통해 얻어진 피로손상비를 비교하였다. Fig. 8에서 보는 바와 같이 WL법은 Vanmarcke bandwidth parameter가 커질수록 피로손상도의 오차가 증가해 나감을 확인할 수 있으며, 본 연구에서 제안된 방법론이 WL의 방법에 비해 상대적으로 우수한 성능을 보임을 확인할 수 있다.
- 시계열에서 얻은 25,200쌍의 응력 스펙트럼과 응력 범위 확률밀도함수를 정해로 가정하여 인공 신경망을 학습시켜 네트워크 예측값과 진출력의 평균 제곱오차를 최소화하는 방법으로 네트워크 파라미터를 결정하였다. 그 결과 평균제곱오차는 5.2641e-007의 값에 수렴하였고, 회귀분석의 R값은 0.99942로 도출되어 네트워크의 우수한 성능을 확인하였다. 학습에 적용된 데이터와 중복되지 않는 448개의 새로운 스펙트럼을 작성하여 학습된 신경망에 대한 검증을 실행하였다.
- 6은 서로 다른 4개의 응력 스펙트럼에 대한 진출력 확률밀도함수와 네트워크가 예측한 확률 밀도함수를 비교한 그림이다. 그림에서 보는 바와 같이 네트워크가 예측한 확률밀도함수가 학습에 사용된 진출력 확률밀도함수를 매우 높은 정도로 예측하고 있음을 확인할 수 있다.
- 인공 신경망 학습 및 성능 평가에 적용된 모든 데이터 쌍에 대해 네크워크가 예측한 값(output)과 진출력(target) 간에 높은 상관관계가 있음을 확인할 수 있다. 두 데이터 간의 상관관계는 Y=X의 직선상에 집중되어 있으며 신뢰도값 또한 0.99942로 매우 정확한 결과를 얻을 수 있음을 확인하였다. 평균제곱오차는 5.
- 본 논문에서는 Kang (2014)의 연구 결과를 확장하여 이등변삼각형의 스펙트럼이 독립하지 않고 서로 중첩되는 경우도 포함하여 보다 넓은 광대역 과정까지 확장하는 시도를 하였다. 또한, 응력범위의 확률밀도함수는 가우시안 함수로 근사하여 인공 신경망 학습 자료의 출력 데이터 수를 감소시켰다.
- 확률밀도 함수를 가우시안 함수와 같이 국부 근사 기저함수를 적용한 이유는 확률밀도함수의 꼬리부에 해당하는 큰 응력 범위의 경우 그 출현빈도가 매우 작더라도 총 피로손상도에 상당한 기여를 하기 때문이다. 상호 직교성을 가지는 Legendre 다항식과 같이 글로벌 기저함수를 사용하는 경우에는 피로손상도가 상대적으로 작을 때 출현빈도가 작고 응력범위가 큰 영역에서의 근사가 어려워 상대적으로 큰 오차를 발생시키는 것을 확인할 수 있었다. 앞에 제시한 Fig.
- 신경망이 도출한 피로 손상도와 레인플로우 집계법을 통해 구한 피로손상도를 비교한결과 오차범위 ±10%의 우수한 성능을 보였으며, Vanmarcke bandwidth parameter에 영향을 받지 않고 항상 일정한 값이 도출됨을 확인하였다.
- 5는 레인플로우 집계법으로 도출된 응력 범위 확률밀도함수의 가우시안함수 계수인 목표자료와 인공 신경망으로 학습된 출력자료를 비교하여 도시한 것이다. 인공 신경망 학습 및 성능 평가에 적용된 모든 데이터 쌍에 대해 네크워크가 예측한 값(output)과 진출력(target) 간에 높은 상관관계가 있음을 확인할 수 있다. 두 데이터 간의 상관관계는 Y=X의 직선상에 집중되어 있으며 신뢰도값 또한 0.
- 비교적 연속적으로 변화하는 확률밀도함수를 식 (1)에 보인, 등간격으로 배치된 다수의 가우시안 기저함수를 통해 근사화 하는 과정을 거쳤다. 최적의 기저함수의 개수는 20개 정도로 판별이 되었는데, 이는 인공 신경망의 출력자료의 개수가 50%이상 감소함을 의미한다.
- 99942로 매우 정확한 결과를 얻을 수 있음을 확인하였다. 평균제곱오차는 5.2641e-007에 수렴하였고, 회귀분석의 R값 역시 1에 매우 가까운 결과를 도출하여 학습된 시스템은 높은 신뢰성을 보이는 것으로 판단할 수 있다.
후속연구
- 향후 임의의 형상을 가지는 광대역 스펙트럼을 다루기 위해 스펙트랄 모멘트를 입력 자료로 이용한 네트워크를 구성하여 임의의 형상을 가지는 응력 스펙트럼이 주어지더라도 신뢰성 높은 응력 범위의 확률밀도함수를 도출해내는 인공 신경망을 작성하여 실 설계에 직접 적용 가능한 피로손상모델개발을 위한 연구를 진행할 것이다. 또한, 수학적으로 표현된 네트워크 모델을 급수 전개 등을 이용해 단순화하여 응력 스펙트럼과 확률밀도함수 간의 관계식을 도출할 계획이다.
- 향후 임의의 형상을 가지는 광대역 스펙트럼을 다루기 위해 스펙트랄 모멘트를 입력 자료로 이용한 네트워크를 구성하여 임의의 형상을 가지는 응력 스펙트럼이 주어지더라도 신뢰성 높은 응력 범위의 확률밀도함수를 도출해내는 인공 신경망을 작성하여 실 설계에 직접 적용 가능한 피로손상모델개발을 위한 연구를 진행할 것이다. 또한, 수학적으로 표현된 네트워크 모델을 급수 전개 등을 이용해 단순화하여 응력 스펙트럼과 확률밀도함수 간의 관계식을 도출할 계획이다.
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