[논문]지하 불균질 예측 향상을 위한 마르코프 체인 몬테 카를로 히스토리 매칭 기법 개발

정진아; 박은규

doi:10.7857/jsge.2015.20.3.051

지하 불균질 예측 향상을 위한 마르코프 체인 몬테 카를로 히스토리 매칭 기법 개발
A Development of Markov Chain Monte Carlo History Matching Technique for Subsurface Characterization 원문보기

지하수토양환경 = Journal of soil and groundwater environment, v.20 no.3, 2015년, pp.51 - 64

Abstract ▼ AI-Helper

In the present study, we develop two history matching techniques based on Markov chain Monte Carlo method where radial basis function and Gaussian distribution generated by unconditional geostatistical simulation are employed as the random walk transition kernels. The Bayesian inverse methods for aquifer characterization as the developed models can be effectively applied to the condition even when the targeted information such as hydraulic conductivity is absent and there are transient hydraulic head records due to imposed stress at observation wells. The model which uses unconditional simulation as random walk transition kernel has advantage in that spatial statistics can be directly associated with the predictions. The model using radial basis function network shares the same advantages as the model with unconditional simulation, yet the radial basis function network based the model does not require external geostatistical techniques. Also, by employing radial basis function as transition kernel, multi-scale nested structures can be rigorously addressed. In the validations of the developed models, the overall predictabilities of both models are sound by showing high correlation coefficient between the reference and the predicted. In terms of the model performance, the model with radial basis function network has higher error reduction rate and computational efficiency than with unconditional geostatistical simulation.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

문제 정의

본 연구에서는 지구통계적 예측의 한계를 극복하고자 하였으며 연구 대상으로 하는 도메인 규모에서 발생하는 수리현상에 기초하여 도메인 내 지중의 수리적 매질특성을 특성화하는데 목표가 있다. 따라서 도메인 내에서 실시하는 전규모적 수리시험에 따른 지하수위 변화 등이 지중 수리적 파라미터의 제한요소가 될 수 있다.
5a에 나타난 바와 같이 총 16개의 지점에서 관측 할 수 있도록 설정하였다. 본 연구의 목적은 개발된 기법의 예측능 및 예측의 안정성을 검증하는데 목적이 있으며 Fig. 5a와 같은 조밀한 관측정 배치는 예측의 불확실성을 최소화 하면서 이러한 목표를 달성하기 위한 방법론의 하나로, 현실적으로 Fig.

가설 설정

이와 같이 다양한 공간적 공분산 구조를 활용하는 이유에 대해서는 실제 수리전도도의 공간적인 분포가 하나의 공간통계에 의해서는 설명되기 어려우며 서로 다른 규모를 가진 공간구조의 조합으로 설명하여야 보다 합리적인 예측이 이루어질 수 있기 때문이다. 공간구조의 종류는 비교적 쉽게 보다 다양화 할 수 있으나 본 연구에서는 총 5개의 공간구조 모델로도 전체 예측이 충분히 이루어질 수 있을 것으로 가정하고 예측을 실시하였다. 이와 같은 다양한 크기의 공분산을 이용하여 무작위로 선택된 위치(u0)에서 마할라노비스-가우시안 함수를 발생시키고 이를 이전 단계에서 예측된 수리전도도 도메인에 더하여 예측의 섭동을 발생시킨 후, 지하수유동 수치모사를 이용한 관측지점에서의 시간-수위강하 곡선 예측을 통하여 프로포절 수리전도도 분포에 대한 상대우도를 계산하는 과정을 거친다.
따라서 도메인 내에서 실시하는 전규모적 수리시험에 따른 지하수위 변화 등이 지중 수리적 파라미터의 제한요소가 될 수 있다. 또한 본 연구에서는 대상으로 하는 도메인에 대하여 매우 적은 정보만이 가용하다고 가정하고 연구를 진행하였다. 실질적으로 지하의 물성분포를 규명하고자 하는 프로젝트의 경우, 시작 당시 지하 물성분포에 대한 어떤 가정도 예측 결과를 편향되게 할 가능성이 크며 이에 따라 초기 가정을 최소화하여 예측을 실시하는 것이 바람직하다.
모사를 위해 유한차분법(finite-difference method)을 이용하여 지하수 거동을 모사하는 MODFLOW-2000이 이용되었다. 모사가 이루어질 도메인들은 모두 상하부가 불투수층으로 피압되어 있는 대수층임을 가정하였으며 수직적인 대수층 물성의 변화는 없는 것으로 가정하여 2차원 모사를 실시하였다. 도메인의 경계조건으로 첫 번째 열 및 마지막 열(즉, X = 1 및 X = 20인 위치)에 해당하는 격자에는 수위가 200 m로 고정된 고정수두경계(constant head boundary)를 설정하였으며 첫 번째 행 및 마지막 행(즉, Y = 1 및 Y = 20인 위치)의 격자는 무흐름경계(no flow boundary)로 설정하였다(Fig.

제안 방법

그러나 현장 측정치나 공간 통계 정보가 가용할 경우 이를 활용할 수 있으며 이러한 정보들이 보다 많이 이용되었을 경우 예측 결과가 광역 최저치(global minima)를 찾아낼 가능성이 높아진다. 그러나 본 연구에서는 현장의 정보가 매우 제한적이라는 현실적인 상황을 고려하여 도메인 내에서 실시된 양수시험 및 각 관측정에서 측정되어진 시간에 따른 수위변화, 즉 히스토리 커브만이 모델의 입력인자로 이용되었다. 따라서 예측 결과는 경우에 따라 국소 최저치(local minima)나 광역 최저치를 찾게 되며 이에 따른 기법의 견고성(robustness)에 대해서는 예측 결과에 따라 추후 논의되게 될 것이다.
이는 물성 분포의 지향성이 도메인 내에서 위치에 따라 서로 다른 형태를 보여줌을 의미한다. 또한 매우 작은 크기의 도메인 활용을 통해 개발 기법의 예측능 및 안정성 검증에 요구되는 불필요한 전산자원의 소모를 최소화하고자 하였다.
본 연구에서는 메트로폴리스 알고리듬의 랜덤워크로 이용되는 전이커널로 순차 가우스 모사 및 방사상 기반함수가 이용되었으며 이를 이용한 모델의 예측능을 2차원 가상 도메인을 통해 검증하였으며 이는 x 및 y-방향으로 각각 20개로 차분된 총 400개 격자의 수리물성 도메인이며 순차 가우시안 모사를 이용하여 설정되었다. 앞서 언급된 두 가지 전이커널을 이용하여 예측된 결과와의 비교 및 분석이 이루어졌으며 그 결과 두 가지 경우 모두 지하수위 자료가 추가정보로 이용됨에 따라 수리적 물성치 분포의 예측능이 단계적으로 개선됨을 확인 할 수 있었다.
본 연구에서는 수리시험을 통해 획득한 지하수위 변화 자료에 기초하여 도메인 내 수리적 매질분포를 특성화하는 방안으로 두 가지 메트로폴리스 알고리듬이 제안되었다. 이러한 베이지안 역산기법은 예측하고자 하는 도메인의 매질 정보가 완전히 부재하거나 충분하지 않을 경우에도 지하수위자료 만을 이용하여 예측을 수행 할 수 있는 효과적인 기법으로 예측을 위해 가용할 자료가 매우 제한적인 실질적인 상황에 적용하여 지하물성 분포를 예측 할 수 있다는데 의의가 있다.
전반적으로 본 연구에서 다루게 될 내용은 다음과 같다. 양역법(explicit method)인 메트로폴리스 알고리듬에 대하여 이론적 배경을 소개하고 본 연구에서 제안하는 독창적 메트로폴리스 알고리듬 개발 과정에 대한 내용을 다룰 것이다. 또한 양역법에 의한 예측을 가상의 예를 통하여 기법의 장점 및 단점에 대하여 분석할 예정이다.
5b). 초기수위를 200 m로 설정한 후 도메인의 중앙인 (10,10) 격자에 위치하고 있는 양수정에 서의 수리수두가 2일 동안 100 m로 유지되는 부정류 모 사(transient flow simulation)를 실시하였으며, 이 때 해당 기간을 20단계로 동일한 크기로 차분하여 수위분포를 획득하였다.

이론/모형

자료중합을 위해 이용되어질 시계열 수위자료를 가상의 도메인 및 예측된 다중재현들에 대하여 획득하기 위하여 부정류 지하수 유동 모사를 실시하였다. 16개 지점에서 실제로 가정된 시간-수위강하 곡선과 예측된 수리전도도 재현에 대한 시계열자료는 연속방정식(continuity equation)과 달시 법칙(Darcy’s law)을 기반으로 하는 지하수 유동방정식을 시스템 모델(F (Λt)의 수치연산을 통하여 획득하였으며 이는 다음과 같이 표현 될 수 있다.
e. sGsim)를 이용하였으며, 이는 과정 2에서 발생된 총 10개의 초기 예측 도메인에 각각 적용되었다. 이 때, 초기예측은 조건부 지구통계 모사를 이용하여 특정 공간 통계적 분포를 가지도록 획득 될 수 있을 뿐만 아니라 Fig.
4a와 같이 설정하였다. 가상 도메인은 순차가우시안 지구통계 모사(sGsim, sequential Gaussian simulation; Deutsch and Journel, 1998)를 통해 획득하였으며 수리 전도도에 대한 기존 참조정보는 이용하지 않고 해당 공간에 대한 지구통계 특성만을 고려한 비조건부 모사(unconditional simulation)를 통하여 재현하였다. 본 연구에서는 작은 규모의 도메인(20 × 20)을 설정함으로써 sGsim 기법을 통한 재현이 정규성을 따르기에는 충분하지 않다.
여기서 이용되는 공간통계적 상관성은 실제 필드가 지닌 공간통계적 상관성을 이용하는 것이 가장 바람직하나 실제 필드의 공간통계 정보를 모른다 하더라도 임의적 설정을 통하여 적용 가능하다. 다만 공간통계 특성에 대해서는 가정이 필요하며, 본 연구에서는 연속적 지하물성이 가우시안 과정(Gaussian process)를 따른다는 기존 연구의 일반적 가정을 이용하였다(Kitanidis, 1995).
다음으로 방사상 기반함수(radial basis function, RBF)를 메트로폴리스 알고리듬의 랜덤워크 전이커널로 사용하는 히스토리 매칭 기법을 통하여 수리전도도 분포를 예측하였으며 이의 과정은 다음과 같다.
3과 같다. 메트로폴리스 알고리듬을 이용한 히스토리 매칭은 MATLAB 코드로 구성하였으며 외부 프로그램인 MODFLOW2000 (Hill et al., 2000)을 연계하였다. 개발된 코드는 모듈화 되어있으므로 전이 커널로 사용되는 지구통계 모델 및 유체흐름 수치모델은 타 모델로 용이하게 교체될 수 있으며 이에 따라 다양한 유체의 지하흐름에 따른 물성예측이 가능하도록 하였다.
메트로폴리스 알고리듬의 상관-랜덤워크(correlated-random-walk)를 발생시키는 전이커널(transition kernel)로 추계론적 가우시안 과정 및 세미-베리오그램을 선정하여 도메인 내 수리전도도의 공간적 분포 예측에 활용하였으며 예측 과정은 다음과 같다.
여기서 K는 수리전도도[LT−1], h는 지하수위[L], Ss는 비저류계수[L−1], t는 시간[T]을 의미한다. 모사를 위해 유한차분법(finite-difference method)을 이용하여 지하수 거동을 모사하는 MODFLOW-2000이 이용되었다. 모사가 이루어질 도메인들은 모두 상하부가 불투수층으로 피압되어 있는 대수층임을 가정하였으며 수직적인 대수층 물성의 변화는 없는 것으로 가정하여 2차원 모사를 실시하였다.
자료중합을 위해 이용되어질 시계열 수위자료를 가상의 도메인 및 예측된 다중재현들에 대하여 획득하기 위하여 부정류 지하수 유동 모사를 실시하였다. 16개 지점에서 실제로 가정된 시간-수위강하 곡선과 예측된 수리전도도 재현에 대한 시계열자료는 연속방정식(continuity equation)과 달시 법칙(Darcy’s law)을 기반으로 하는 지하수 유동방정식을 시스템 모델(F (Λt)의 수치연산을 통하여 획득하였으며 이는 다음과 같이 표현 될 수 있다.

성능/효과

본 연구에서는 메트로폴리스 알고리듬의 랜덤워크로 이용되는 전이커널로 순차 가우스 모사 및 방사상 기반함수가 이용되었으며 이를 이용한 모델의 예측능을 2차원 가상 도메인을 통해 검증하였으며 이는 x 및 y-방향으로 각각 20개로 차분된 총 400개 격자의 수리물성 도메인이며 순차 가우시안 모사를 이용하여 설정되었다. 앞서 언급된 두 가지 전이커널을 이용하여 예측된 결과와의 비교 및 분석이 이루어졌으며 그 결과 두 가지 경우 모두 지하수위 자료가 추가정보로 이용됨에 따라 수리적 물성치 분포의 예측능이 단계적으로 개선됨을 확인 할 수 있었다. 특히, 설정된 해당 도메인의 크기가 매우 작아 물성치의 전체적 분포 양상이 비정규적 특성을 보임에도 불구하고 제안된 기법을 이용한 예측능의 향상 효과가 뚜렷하게 나타남을 확인하였다.
본 연구에서는 수리시험을 통해 획득한 지하수위 변화 자료에 기초하여 도메인 내 수리적 매질분포를 특성화하는 방안으로 두 가지 메트로폴리스 알고리듬이 제안되었다. 이러한 베이지안 역산기법은 예측하고자 하는 도메인의 매질 정보가 완전히 부재하거나 충분하지 않을 경우에도 지하수위자료 만을 이용하여 예측을 수행 할 수 있는 효과적인 기법으로 예측을 위해 가용할 자료가 매우 제한적인 실질적인 상황에 적용하여 지하물성 분포를 예측 할 수 있다는데 의의가 있다.
특히, 설정된 해당 도메인의 크기가 매우 작아 물성치의 전체적 분포 양상이 비정규적 특성을 보임에도 불구하고 제안된 기법을 이용한 예측능의 향상 효과가 뚜렷하게 나타남을 확인하였다. 특히, 방사상 기반함수를 랜덤 워크 전이커널로 이용하여 예측을 실시하는 경우 지역적 섭동만을 이용하여 예측을 단계적으로 개선시킴으로써 순차 가우시안 함수를 이용하는 경우 보다 광역 최저치로의 보다 빠른 수렴을 도모할 수 있는 것으로 나타났다. 또한 순차 가우시안 함수를 이용하는 메트로폴리스 알고리듬이 정규성이 강제된 지구통계모델을 이용하여 도메인 전반에 걸친 섭동을 발생시켜야 한다는 점에서 비정규적 물성 분포특성을 예측하는데 제한점이 있을 것으로 판단된다.
앞서 언급된 두 가지 전이커널을 이용하여 예측된 결과와의 비교 및 분석이 이루어졌으며 그 결과 두 가지 경우 모두 지하수위 자료가 추가정보로 이용됨에 따라 수리적 물성치 분포의 예측능이 단계적으로 개선됨을 확인 할 수 있었다. 특히, 설정된 해당 도메인의 크기가 매우 작아 물성치의 전체적 분포 양상이 비정규적 특성을 보임에도 불구하고 제안된 기법을 이용한 예측능의 향상 효과가 뚜렷하게 나타남을 확인하였다. 특히, 방사상 기반함수를 랜덤 워크 전이커널로 이용하여 예측을 실시하는 경우 지역적 섭동만을 이용하여 예측을 단계적으로 개선시킴으로써 순차 가우시안 함수를 이용하는 경우 보다 광역 최저치로의 보다 빠른 수렴을 도모할 수 있는 것으로 나타났다.

후속연구

또한 순차 가우시안 함수를 이용하는 메트로폴리스 알고리듬이 정규성이 강제된 지구통계모델을 이용하여 도메인 전반에 걸친 섭동을 발생시켜야 한다는 점에서 비정규적 물성 분포특성을 예측하는데 제한점이 있을 것으로 판단된다. 그러나 방사상 기반 함수를 이용할 경우 이러한 지구통계모델이 포함하고 있는 한계성을 극복 할 수 있을 뿐만 아니라 외부적인 지구통계모사과정을 요구하지 않음으로 인하여 전산자원이 효율적으로 활용될 수 있을 것으로 예상된다.
그러나 본 연구에서 보여준 결과는 하나의 레퍼런스 수리전도도 분포를 이용하여 얻어진 결과로 해당 연구에서 제안된 메트로폴리스 알고리듬이 타 기법에 비하여 상대적으로 우수하다는 결론을 얻기 위해서는 추가적인 연구가 필요하다. 이를 위하여 향후 이루어질 연구에서는 3차원 도메인 적용을 통한 검증과 다양한 정규성 및 비정규성, 그리고 다양한 정도의 불균질성을 갖는 레퍼런스 수리전도도 분포를 재현하고 이를 이용하여 종합적인 결론을 통해 검증을 실시할 예정이다.
그러나 본 연구에서는 현장의 정보가 매우 제한적이라는 현실적인 상황을 고려하여 도메인 내에서 실시된 양수시험 및 각 관측정에서 측정되어진 시간에 따른 수위변화, 즉 히스토리 커브만이 모델의 입력인자로 이용되었다. 따라서 예측 결과는 경우에 따라 국소 최저치(local minima)나 광역 최저치를 찾게 되며 이에 따른 기법의 견고성(robustness)에 대해서는 예측 결과에 따라 추후 논의되게 될 것이다.
특히, 방사상 기반함수를 랜덤 워크 전이커널로 이용하여 예측을 실시하는 경우 지역적 섭동만을 이용하여 예측을 단계적으로 개선시킴으로써 순차 가우시안 함수를 이용하는 경우 보다 광역 최저치로의 보다 빠른 수렴을 도모할 수 있는 것으로 나타났다. 또한 순차 가우시안 함수를 이용하는 메트로폴리스 알고리듬이 정규성이 강제된 지구통계모델을 이용하여 도메인 전반에 걸친 섭동을 발생시켜야 한다는 점에서 비정규적 물성 분포특성을 예측하는데 제한점이 있을 것으로 판단된다. 그러나 방사상 기반 함수를 이용할 경우 이러한 지구통계모델이 포함하고 있는 한계성을 극복 할 수 있을 뿐만 아니라 외부적인 지구통계모사과정을 요구하지 않음으로 인하여 전산자원이 효율적으로 활용될 수 있을 것으로 예상된다.
그러나 본 연구에서 보여준 결과는 하나의 레퍼런스 수리전도도 분포를 이용하여 얻어진 결과로 해당 연구에서 제안된 메트로폴리스 알고리듬이 타 기법에 비하여 상대적으로 우수하다는 결론을 얻기 위해서는 추가적인 연구가 필요하다. 이를 위하여 향후 이루어질 연구에서는 3차원 도메인 적용을 통한 검증과 다양한 정규성 및 비정규성, 그리고 다양한 정도의 불균질성을 갖는 레퍼런스 수리전도도 분포를 재현하고 이를 이용하여 종합적인 결론을 통해 검증을 실시할 예정이다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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