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NTIS 바로가기數學敎育學硏究 = Journal of educational research in mathematics, v.25 no.3, 2015년, pp.263 - 279
The introduction of real numbers is one of the most difficult steps in the teaching of school mathematics since the mathematical justification of the extension from rational to real numbers requires the completeness property. The author elucidated what questions about real numbers can be unanswered ...
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핵심어 | 질문 | 논문에서 추출한 답변 |
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유리수에서 실수로의 수 체계 확장이 학교 수학에서 가르치기 어려운 이유는? | 정수ㆍ유리수ㆍ복소수는 사칙연산을 자유롭게 할 수 있다는 산술적 필요성 혹은 방정식의 근이라는 대수적 필요성으로 학교수학 수준에서도 그 존재 이유를 수학적으로 충분히 설명할 수 있다. 반면 무리수의 존재 이유를 수학적으로 정당화하기 위해서는 학교수학의 범위를 벗어나는 완비성 공리가 필요하므로, 유리수에서 실수로의 수 체계 확장은 학교수학에서 가장 가르치기 어려운 주제 중 하나이다(Forbes, 1967). 교수학적 난점에도 불구하고 실수는 학교수학에서 안 가르칠 수 없는 필수불가결한 주제인데, 학교수학에서는 (유리수가 아닌) ‘순환소수로 나타낼 수 없는 무한소수’ 혹은 ‘(넓이가 2가 되는 정사각형의 한 변의 길이 \( \sqrt{2}\)와 같은) 제곱근’으로 무리수의 존재를 직관적으로 정당화하고 있다. | |
브라질 중고등교과서에서는 무리수와 실수를 어떻게 정의하고 있는가? | 236-239)는 브라질 중고등교과서 14종에서의 실수의 도입을 분석하였다. 우리 교과서와 마찬가지로, 브라질 교과서에서도 무리수를 ‘분수로 나타낼 수 없는 수(DA)’ 혹은 ‘순환하지 않는 무한소수로 나타나는 수(DB)’로, 실수는 ‘유리수 혹은 무리수’로 정의하고 있다. 그런데 이들 연구자들은 무리수 정의 DA와 DB는 각각 ‘분수가 아닌 수’ 혹은 ‘비순환 무한 소수 표상’을 갖는 수의 존재성을 확립하기 보다는 가정하고 있으며, 두 정의 모두 이미 존재한다고 가정하는 수 집합(즉, 다름 아닌 실수 집합)의 특정 부분집합을 무리수라고 명명하는 것 이상의 역할을 하지 못한다고 지적한다. | |
교수학적 변환이란? | Bronner(1997), González-Martín, Giraldo, Souto (2013)는 학교수학의 교수학적 변환이 실수 개념 도입에서의 난점을 간과하거나 혹은 단순히 우회한다는 것을 ‘교수학적 공백’이라는 용어로 지적하였다. 교수학적 변환은 어떤 지식이 창조ㆍ설계ㆍ선택ㆍ사용될 때부터 어떤 특정 제도(institution)에서 실제로 가르쳐질 때까지 지식이 겪게 되는 변화를 말한다. Chevallard는 ‘교수학적 변환’을 가르칠 지식이 ‘자명하다는 착각(illusion of transparency)’, 즉 사물이나 사실을 기지의 것으로 무비판적으로 수용하는 태도에서 벗어나기 위한 분석적 도구로 고안하였다(Wozniak, Bosch, Artaud, 2015). |
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