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수학적 지식의 발달에서 연속성 원리의 역할
The Role of Principle of Continuity in the Development of Mathematical Knowledge 원문보기

Journal for history of mathematics = 한국수학사학회지, v.27 no.1, 2014년, pp.67 - 79  

이동환 (Busan National Univ. of Edu.)

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

When imaginary numbers were first encountered in the 16th century, mathematicians were able to calculate the imaginary numbers the same as they are today. However, it required 200 years to mathematically acknowledge the existence of imaginary numbers. The new mathematical situation that arose with a...

주제어

#연속성 원리   #발견술   #이상적 원소의 방법  

AI 본문요약
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* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.

문제 정의

  • 이는 곧 연속성의 원리가 수학을 이해하는 매우 효과적인 방법임을 밝히는 일이기도 하다. 궁극적으로 연속성의 원리가 수학교육에서 건전한 교수-학습의 원리가 될 수 있는 가능성을 지니고 있음을 말해 주는 것이다.
  • 추상적인 개념을 특성으로 하는 수학지식이기에 더욱 통합이 필요하고, 그러한 통합은 실제로 수학자들의 목표가 되어 왔으며 수학의 발전을 이끌었다. 본 연구는 수학자들이 수학의 통합을 이루어가는 과정에서 연속성의 원리가 중요한 사고방식으로 사용되었음을 밝혔다. 이는 곧 연속성의 원리가 수학을 이해하는 매우 효과적인 방법임을 밝히는 일이기도 하다.
  • 그럼에도 불구하고 수학사에서 많은 수학자들이 연속성 원리를 적극적으로 활용한 이유는 무엇인가? 연속성 원리가 수학을 이해하는 매우 효과적인 방법이기 때문이다. 이것이 사실이라면 수학교육에 상당한 시사점을 제공할 수 있으며, 본 절에서는 이에 대해 자세히 살펴보도록 하겠다.

가설 설정

  • Euler는 이러한 근이 sin x의 멱급수 전개식 #의 근이라고 생각했다. Euler는 유한다항식에서 성립하는 성질이 무한다항식에서도 성립한다고 가정하고 계속해서 진행하였다.
  • 이와 같은 과정은 수학적으로 엄밀한 방식이 아니며, 나중에 다른 방식으로 증명이 되었다. 그러나 Euler가 이러한 결과를 얻게 되는 과정에서 가장 결정적인 단계는 다항식에서 성립하는 성질과 규칙이 무한다항식인 멱급수에서도 성립한다는 가정이었다. 즉, Euler는 특정 상황에서 성립하는 성질이 그와 비슷한 상황에서도 역시 성립할 것이라는 연속성 원리에 의존하여 이러한 결과를 발견한 것이다.
  • 위의 증명에서 Euler는 #와 # 서로 소5)로 보고, 정수에서 성립하는 성질을 그대로 적용하여 # 각각도 세제곱식이 되어야 한다고 가정했다. 즉, 정수에서 성립하는 유일인수분해 성질이 복소수가 포함된 정수(#꼴)영역에서도 그대로 성립할 것이라는 연속성 원리를 적용한 것이다.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
새로운 수학적 대상이 고전적인 수학적 대상과 다른 점은? .] 새로운 수학적 대상은 우리의 감각으로 접근할 수 있는 ‘그림’으로는 더 이상 표상되지 않는다는 점에서 고전적인 수학적 대상과 차이가 있었다. 19세기 내내 다양한 수학영역에서 새로운 아이디어들이 등장하기 시작했다.
19세기 수학자들이 그 이전 세기에서 물려받은 문제를 분석하면서 그 문제들의 진정한 본질을 발견했고, 그것을 풀이하는 길을 열면서 지불해야 했던 비용은 무엇인가? 19세기 수학자들은, 그 이전 세기에서 물려받은 문제를 분석하면서 그 문제들의 진정한 본질을 발견했고, 그것을 풀이하는 길을 열었다. 이 때 지불해야 할 비용은 고전적인 수학적 대상이 지닌 ‘반-구체적’ 특성의 포기였다. 수학적 대상의 본질은 이들이 가지고 있는 특별한 속성이 아니라 이들 사이의 관계임을 인식하기 시작했다.
연속성 원리란? 이러한 변화의 기저에는 연속성 원리(Principle of Continuity)가 자리 잡고 있었다. 연속성 원리는 17〜19세기에 걸쳐 널리 중요하게 사용된 수학의 발견술이다. 일반적으로 말하자면, 연속성 원리는 특정 경우나 대상에서 성립하는 성질이 그와 비슷해 보이는 다른 경우나 대상에서도 성립한다는 주장이다 [4]. 예를 들어, 당시 수학자들은 연속성 원리에 근거하여 실수에서 성립하는 성질이 복소수의 경우도 성립한다거나, 유한에 대해 성립하면 무한소나 무한대의 경우에도 성립할 것이라는 추측을 하였다.
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참고문헌 (14)

  1. E. BRIESKORN and H. KNORRER, Plane Algebraic Curves, Birkhauser, 1986. 

  2. J. DIEUDONNE, Mathematics-The Music of Reason, Translated by H. G. DALES, J. C. DALES, NY: Springer, 1992. 

  3. D. HILBERT, Uber das Unendliche [On the infinite], Mathematische Annalen 95 (1926). Lecture given in Munster, 4 June 1925. English translation in van Heijenoort, From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 (1967), 367-392. 

  4. Israel KLEINER, Excursions in the History of Mathematics, Boston: Birkhauser, 2012. 

  5. P. KITCHER, Explanatory Unification and the Causal Structure of the World, in Scientific Explanation, ed. P. KITCHER and W. SALMON, Minneapolis: University of Minnesota Press, 1989, 410-505. 

  6. F. KLEIN, Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic.Algebra.Analysis, NY: Dover Publications, 1968. 

  7. G. W. LEIBNIZ, Philosophical Papers and Letters, translated by Leroy E. Loemker, 2nd ed. Dordrecht: D. REIDEL, 1970. 

  8. Ernst MACH, The Science of Mechanics: a critical and historical account of its development, Chicago: Open Court, 1919. 

  9. A. SIERPINSKA, Understanding in mathematics, Washington, D.C.: Falmer, 1994. 

  10. H. STEIN, Logos, Logic, and Logistike: Some Philosophical Remarks on the 19th century Transformation of Mathematics, History and Philosophy of Modern Mathematics, edited by W. ASPRAY & P KITCHER, Minnesota Studies in the Philosophy of Science, vol. XI; University of Minnesota Press, 1988, 238-259. 

  11. H. STEINBRING, The Construction of New Mathematical Knowledge in Classroom Interaction, Springer, 2005. 

  12. Hermann WEYL, Philosophy of Mathematics and Natural Science, 1960. 

  13. Mark WILSON, Frege: The Royal Road from Geometry, Nous 26(2) (1992), 149-180. 

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  14. Johannes WITT-HANSEN, Leibniz and Contemporary Science, Orbis Litterarum 22(1) (1967), 222-240. 

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