[논문]귀류법에 대한 교사 지식 분석 -'교과 내용 지식' 및 '학생의 이해에 대한 지식'을 중심으로-

황진연; 신보미

doi:10.7468/mathedu.2016.55.1.91

[국내논문] 귀류법에 대한 교사 지식 분석 -'교과 내용 지식' 및 '학생의 이해에 대한 지식'을 중심으로-
An Analysis of Teacher's Knowledge about Reductio Ad Absurdum -Focused on 'Subject Matter Knowledge' and 'Knowledge of Students' Understanding'- 원문보기

Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Series A. The Mathematical Education, v.55 no.1, 2016년, pp.91 - 106

황진연 (전남대학교 대학원) , 신보미 (전남대학교)

Abstract ▼ AI-Helper

The aim of this study was to analyze characteristics of teachers' knowledge about reductio ad absurdum. In order to achieve the aim, this study conducted didactical analysis about reductio ad absurdum through examining previous researches and developed a questionnaire with reference to the results of the analysis. The questionnaire was given to 34 high school teachers and qualitative methods were used to analyze the data obtained from the written responses by the participants. This study also elaborated the framework descriptors for interpreting the teachers' responses in the light of the didactical analysis and the data was elucidated in terms of this framework. The specific features of teachers' knowledge about reductio ad absurdum were categorized into five types as a result. This study raised several implications for teachers' professional development for effective mathematics instruction related to reductio ad absurdum.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

이 연구는 현직 고등학교 교사를 대상으로 귀류법에 대한 교사 지식을 ‘교과 내용 지식’과 ‘학생의 이해에 대한 지식’의 측면에서 분석하여 귀류법 지도와 관련된 교사 교육과정의 설계와 실행에의 시사점을 모색하는데 목적을 두었다.
이에 이 연구는 현직 고등학교 교사를 대상으로 귀류법에 대한 교사 지식을 ‘교과 내용 지식’과 ‘학생의 이해에 대한 지식’의 측면에서 분석하여 귀류법 지도와 관련된 교사 교육과정의 설계와 실행에의 시사점을 모색하는데 목적을 둔다.
이하에서는 귀류법에 대한 교사 지식의 특징을 알아보는 지필 검사 문항의 개발 관점을 추출하고 지필 검사 결과를 분석하는데 필요한 주요 이슈를 확인하기 위해 진행한 귀류법에 대한 교수학적 분석 결과를 기술한다.

가설 설정

따라서 귀류법에 의한 증명에서 가정한 ‘\(\sqrt{3}\) 이 유리수이다’는 ‘어떤 수가 \(\sqrt{3}\) 인데 이것이 유리수이다’라는 의미로써 ‘p∧∼q’을 가정한 것이다.
명제 : 자연수 n에 대하여 n²이 짝수이면 n도 짝수이다.

제안 방법

‘교과 내용 지식’을 확인하기 위한 문항은 수학 Ⅱ 교과서에서 다루는 기본 문항을 수정하여 구체화하였으며, ‘학생의 이해에 대한 지식’을 알아보는 문항을 개발하기 위해 대학교 1학년 학생 59명을 대상으로 귀류법에 대한 문제해결력 검사를 실시하였다.
이 연구의 연구 대상은 교육 경력 15년 내외의 현직고등학교 교사 34명으로 현재 또는 가까운 미래에 귀류법에 대한 수업을 고안하고 이를 실제로 실행하여 관련 개념에 대한 학생들의 이해에 주요한 영향을 미칠 것으로 예측되는 교사들이다. 개발된 검사 도구를 활용하여 2015년 3월에 교사들을 대상으로 약 1시간에 걸쳐 지필 검사를 실시하였다. 검사 결과에 대한 분석은 교사들이 제시한 답변을 유형별로 분류하고 각 답변 유형별로 인원수를 정리하는 것에서 시작하였다.
대학생들을 대상으로 한 문제해결력 검사 결과를 토대로 귀류법에 대한 ‘학생의 이해에 대한 지식’을 살피는 총 2개의 문항을 제작하였다.
문제해결력 검사로부터 확인된 귀류법에 대한 학생들의 이해 특징을 반영하여 ‘학생의 이해에 대한 지식’을 알아보는 문항을 개발하였다.
실제로 문항 5와 6에서 학생의 잘못된 설명을 귀류법의 논리적 구조인 ‘(p∧∼q)→모순’을 사용하여 정확하게 수정한 교사 7명 모두는 명제 ‘\(\sqrt{3}\) 은 무리수이다’ 의 가정과 결론을 명시적으로 분석하여 학생의 오류를[그림 6] 또는 [그림 7]과 같이 진단하였다(Ⅱ-2)
이 연구에서는 귀류법에 대한 교사 지식을 ‘교과 내용 지식’과 ‘학생의 이해에 대한 지식’의 측면에서 분석하기 위하여 지필 검사 문항5)을 개발하였다.
검사 결과에 대한 분석은 교사들이 제시한 답변을 유형별로 분류하고 각 답변 유형별로 인원수를 정리하는 것에서 시작하였다. 이렇게 정리한 연구 대상의 답변 유형은 검사 문항 개발 관점을 추출하는 과정에서 확인한 주요 이슈에 비추어 분석하였다. 귀류법에 대한 ‘교과 내용 지식’과 ‘학생의 이해에 대한 지식’을 세부적으로 분석하기 위한 주요 이슈를 정리하면 [표 1]과 같다.
이를 위해 귀류법에 대한 ‘교과 내용 지식’ 및 ‘학생의 이해에 대한 지식’과 관련된 지필 검사를 실시하여 귀류법에 대한 교사 지식의 특징을 기술하고자 한다.
을 개발하였다. 이를 위해 귀류법에 대한 교수학적 분석으로 부터 지필 검사 문항 개발의 주요 관점 5가지를 추출하고, 이를 토대로 교사 지식을 알아보기 위한 검사 도구를 구체화하였다. ‘교과 내용 지식’과 관련된 문항은 2009 개정 고등학교 교육과정의 수학 Ⅱ 교과서에 비추어 총 4개를 제작하였다.
이 연구는 현직 고등학교 교사를 대상으로 귀류법에 대한 교사 지식을 ‘교과 내용 지식’과 ‘학생의 이해에 대한 지식’의 측면에서 분석하여 귀류법 지도와 관련된 교사 교육과정의 설계와 실행에의 시사점을 모색하는데 목적을 두었다. 이를 위해 우선 귀류법과 관련된 선행 연구를 교수학적 관점에서 검토하여 귀류법에 대한 교사 지식을 알아보기 위한 지필 검사 문항을 개발하였다. ‘교과 내용 지식’을 확인하기 위한 문항은 수학 Ⅱ 교과서에서 다루는 기본 문항을 수정하여 구체화하였으며, ‘학생의 이해에 대한 지식’을 알아보는 문항을 개발하기 위해 대학교 1학년 학생 59명을 대상으로 귀류법에 대한 문제해결력 검사를 실시하였다.
문항 5와 6은 귀류법 및 대우를 이용한 증명의 논리적 구조와 관련된 학생의 이해에 대한 교사 지식을 알아보려는 의도로 개발하였다. 이를 위해 학생들의 귀류법에 대한 이해 정도를 살펴보는 문제해결력 검사⁷⁾를 실시하였다. 귀류법에 대한 문제해결력 검사 대상은 대학에서 집합론 강좌를 통해 귀류법을 학습한 경험이 있는 1학년 학생 59명으로 하였다.
이상 귀류법에 대해 학생들이 이해하고 있는 특징에 기초하여, 귀류법으로 명제 1을 옳게 증명한 학생들 중에서 자신이 작성한 증명의 논리적 구조를‘∼q→모순’ 또는 ‘(p→∼q)→모순’으로 잘못 설명한 학생 A와 학생 B의 서술을 사용하여 문항 5와 6을 제작하였다8).
이하에서는 지필 검사 결과를 [표 1]에 비추어 분석하여 드러난 귀류법에 대한 교사 지식의 특징을 ‘교과 내용 지식’ 및 ‘학생의 이해에 대한 지식’의 측면에서 구체적으로 살펴본다.
지필 검사 결과는 귀류법에 대한 교수학적 분석으로부터 추출된 주요 이슈에 비추어 분석함으로써 귀류법에 대한 ‘교과 내용 지식’과 ‘학생의 이해에 대한 지식’과 관련된 특징을 5가지로 요약하였다.
이를 위해 귀류법에 대한 ‘교과 내용 지식’ 및 ‘학생의 이해에 대한 지식’과 관련된 지필 검사를 실시하여 귀류법에 대한 교사 지식의 특징을 기술하고자 한다. 지필 검사 문항은 귀류법에 대한 교수학적 분석에 기초하여 추출된 주요 관점을 토대로 개발하고, 개발된 검사 문항을 통해 얻은 지필 검사 결과는 귀류법에 대한 교수학적 분석으로부터 구체화된 주요 이슈에 비추어 분석한다.

대상 데이터

이를 위해 학생들의 귀류법에 대한 이해 정도를 살펴보는 문제해결력 검사⁷⁾를 실시하였다. 귀류법에 대한 문제해결력 검사 대상은 대학에서 집합론 강좌를 통해 귀류법을 학습한 경험이 있는 1학년 학생 59명으로 하였다. 답변이 불성실한 7명을 제외한 52명의 응답 결과에 비추어 귀류법에 대한 학생들의 이해의 특징을 요약하면 다음과 같다.
증명을 요구한 명제가 수학 Ⅱ에서 발췌한 고등학교 수준의 것임을 감안하면 귀류법과 대우를 이용 하여 명제를 증명하는 학생들의 능력이 충분하지 않음을알 수 있다. 둘째, 명제 1을 귀류법으로 옳게 증명한 32명 중에서 귀류법의 논리적 구조를 바르게 선택한 학생은 11명에 불과하였다. 귀류법으로 증명을 수행할 수 있는 학생들조차도 그 증명의 타당성을 인식하는데 필수적인 귀류법의 논리적 구조를 이해하지 못하고 있었다.
이 연구의 연구 대상은 교육 경력 15년 내외의 현직고등학교 교사 34명으로 현재 또는 가까운 미래에 귀류법에 대한 수업을 고안하고 이를 실제로 실행하여 관련 개념에 대한 학생들의 이해에 주요한 영향을 미칠 것으로 예측되는 교사들이다. 개발된 검사 도구를 활용하여 2015년 3월에 교사들을 대상으로 약 1시간에 걸쳐 지필 검사를 실시하였다.
문제해결력 검사로부터 확인된 귀류법에 대한 학생들의 이해 특징을 반영하여 ‘학생의 이해에 대한 지식’을 알아보는 문항을 개발하였다. 이렇게 개발된 검사 문항을 활용하여 현직 고등학교 교사 34명을 대상으로 지필 검사를 실시하였다. 지필 검사 결과는 귀류법에 대한 교수학적 분석으로부터 추출된 주요 이슈에 비추어 분석함으로써 귀류법에 대한 ‘교과 내용 지식’과 ‘학생의 이해에 대한 지식’과 관련된 특징을 5가지로 요약하였다.
답변이 불성실한 7명을 제외한 52명의 응답 결과에 비추어 귀류법에 대한 학생들의 이해의 특징을 요약하면 다음과 같다. 첫째, 귀류법 또는 대우를 이용하여 주어진 명제를 모두 옳게 증명한 학생은 52명중 32명, 어떤 것도 증명하지 못한 학생이 11명이었다. 증명을 요구한 명제가 수학 Ⅱ에서 발췌한 고등학교 수준의 것임을 감안하면 귀류법과 대우를 이용 하여 명제를 증명하는 학생들의 능력이 충분하지 않음을알 수 있다.

성능/효과

1) 귀류법과 대우를 이용하여 명제를 증명할 때 교과서의 내용 전개 방식을 따르는 경향이 있다.
3) 귀류법은 ‘결론을 부정하여 모순을 보임으로써 결론이 참임을 보이는 방법’이라고 생각한다.
귀류법이 2009 개정 교육과정 이전에는 학교 수학을 통해 교육과정 상의 명시적 내용 요소로 지도되지 않은 점을 감안하면 귀류법에 의한 증명의 논리적 구조가 교사 교육과정을 통해 보다 구체적으로 다루어질 필요가 있으며, 이에 대한 재교육프로그램이 적극적으로 고안될 필요가 있다. 넷째, 교사들은 귀류법의 논리적 구조와 관련된 학생의 설명에서 잘못된 부분을 파악하지 못하는 제한된 지식을 보여 주었다. 교사들은 귀류법을 이용하여 학생이 작성한 증명이 옳게 기술된 것만을 염두에 두어, 학생이
셋째, 교사 중에는 일부이기는 하지만 귀류법과 대우를 이용한 증명의 차이를 정확히 파악하지 못하고 혼동하는 경우가 있었다. 또한 대부분의 교사는 귀류법에 대해 ‘결론을 부정하여 모순을 보임으로써 결론이 참임을 보이는 방법’이라는 교과 내용 지식을 지니고 있었다.
연구대상 34명 중 명제 1을 증명하는데 오류를 보인 1명을 제외하고는 모든 교사가 명제 1과 2를 모두 옳게 증명하였다. 명제 1과 2의 증명 방법에 따른 답변 유형은 [표 2]와 같다.
이상에 따르면 ‘p ⇒ q ’을 증명하기 위하여 대우를 이용한 증명은 ‘∼q ⇒∼p ’을 보이는 것이며, 귀류법에 의한 증명은 ‘(p∧∼q)⇒ 모순 ’을 보이는 것이다.
첫째, 대부분의 교사들은 2009 개정 교육과정의 수학Ⅱ 교과서에 제시되어 있는 귀류법 내용에 대해서는 잘 숙지하고 있었으며, 관련된 증명도 적절히 수행하였다. 그러나 교과서에 분명하게 제시되어 있지 않은 귀류법에 의한 증명의 논리적 구조에 대해서는 충분치 못한 교과 내용 지식의 특징을 보여 주었다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	귀류법이란 무엇인가?	귀류법에 의한 증명은 ‘p ⇒ q ’을 증명하기 위해 이와 동치명제인 ‘(p∧∼q)⇒ 모순 ’을 증명하는 방법이다(송형수, 2008). 즉, 귀류법은 명제의 결론에 대한 부정을 하나의 새로운 전제로 삼아 주어진 가정에 덧붙임으로써 모순을 이끌어 내어 원래 명제가 참임을 보이는 증명법이다(이병무, 2009; Lin & Lin, 2008). 이상에 따르면 p ⇒ q 을 귀류법으로 증명하는 과정에서 ‘p∧∼q ’을 가정하는 것은 ‘p → q ’와 동치 명제인 ‘∼p∨q ’의 부정을 가정하는 것으로, 명제 p → q 이 참임을 주장하고자 할 때 p → q 이 참임을 부정하여 거짓이라고 하면 모순이 유도되기 때문에 p → q 은 참일 수밖에 없음을 보이는 사고 전략에 따른 것이다.
	귀류법 지도에 어려움이 있을 것으로 예측되는 이유는 무엇인가?	이상의 연구결과에 따르면 귀류법의 의미 및 논리적 구조에 대한 교사들의 교과 내용 지식에 미흡한 부분이 있으며, 귀류법에 대한 학생의 불충분한 이해를 인식하고 이를 진단하는 교사 지식에 한계가 있다. 그러나 2009 개정 교육과정에서는 교사 재교육 프로그램이나 준비 기간에 대한 고려 없이, 교육과정 상의 주요 내용 요소로서 이전 교육과정에서는 다루어진 적이 없는 귀류법을 급작스럽게 도입하였다. 또한 2009 개정 교육과정에 기초한 수학 Ⅱ 교과서 7종에서 설명하고 있는 귀류법의 의미는 그 명확성과 관련하여 다소간의 논란의 여지를 담고 있다. 이러한 현실을 감안할 때, 학교 현장에서는 기존의 증명 지도와 관련된 어려움 이상으로 귀류법 지도에 상당한 어려움이 있을 것으로 예측할 수 있다.
	증명법은 어떻게 나눌 수 있는가?	증명법은 크게 직접증명법과 간접증명법으로 나눌 수 있다(송형수, 2008). 직접증명법은 참으로 인정되는 몇개의 명제에서 출발하여 가정 p 로부터 결론 q 을 유도 함으로써 명제 p → q 가 참임을 증명하는 방식이다4).

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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