[논문]일변량 자료의 왜도와 첨도에서 특이점의 영향을 평가하기 위한 탐색적 자료분석 그림도구로서의 불꽃그림

문승호

doi:10.5351/kjas.2016.29.2.355

[국내논문] 일변량 자료의 왜도와 첨도에서 특이점의 영향을 평가하기 위한 탐색적 자료분석 그림도구로서의 불꽃그림
Firework plot as a graphical exploratory data analysis tool for evaluating the impact of outliers in skewness and kurtosis of univariate data 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.29 no.2, 2016년, pp.355 - 368

초록
AI-Helper

특이점 및 영향점은 자료분석을 하는 데 사용되는 계량적이고 기술적인 많은 측도들을 왜곡한다. 각종 자료분석에 있어서의 특이점 검색을 위한 검정 통계량이나 그림도구에 관한 연구는 꾸준히 전개되어 왔다. Jang과 Anderson-Cook (2014)은 불꽃그림이란 이름을 붙인 그림도구를 발표하였는데 이상점이나 영향점이 일변량/이변량 자료분석 및 회귀분석에 어떠한 영향을 미치는지 알기 위하여 3-D 불꽃그림 및 불꽃그림 행렬을 제시하였다. 본 연구에서는 이러한 불꽃그림이 일변량 자료의 왜도와 첨도에서 특이점의 영향을 평가하기 위한 탐색적 자료분석 그림도구로서 사용될 수 있음을 보였다.

Abstract ▼ AI-Helper

Outliers and influential data points distort many data analysis measures. Jang and Anderson-Cook (2014) proposed a graphical method called a rework plot for exploratory analysis purpose so that there could be a possible visualization of the trace of the impact of the possible outlying and/or influential data points on the univariate/bivariate data analysis and regression. They developed 3-D plot as well as pairwise plot for the appropriate measures of interest. This paper further extends their approach to identify its strength. We can use rework plots as a graphical exploratory data analysis tool to evaluate the impact of outliers in skewness and kurtosis of univariate data.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

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문제 정의

또한, 이상점이나 영향점이 회귀계수 및 잔차제곱합(SSE)에 어떠한 영향을 미치는지 3차원 그림에 추적곡선을 그려 보았을 뿐 아니라 쌍으로 대비시켜 봄으로써 분석의 시각적인 효과를 증대시켰다. 본 연구에서는 이러한 불꽃그림이 일변량 자료의 왜도와 첨도에서 특이점의 영향을 평가하기 위한 탐색적 자료분석 그림도구로 사용될 수 있음을 보이고자 한다. 제 2절은 일변량 자료의 왜도와 첨도에서 특이점의 영향을 평가하기 위한 탐색적 자료분석 그림도구로서의 불꽃그림을 제시하고 컴퓨터 시뮬레이션을 시행하여 불꽃그림의 유용성을 살펴보았다.
실제 사례를 통하여 불꽃그림의 유용성을 살펴보자. Forbes지(www.
10은 코시난수를 이용하여 구한 불꽃그림 행렬이다. 이 불꽃그림 행렬을 통하여 각 데이터에 대하여 평균, 분산, 왜도 및 첨도에 어떠한 영향을 주는지를 파악할 수 있다. 전체적으로 2개의 데이터 (−54.
5는 ‘현재구단가치’ 변수를 대상으로 구한 불꽃그림 행렬이다. 이 불꽃그림 행렬을 통하여 각 팀에 대하여 평균, 분산, 왜도 및 첨도에 어떠한 영향을 주는지를 파악할 수 있다. 특이값은 순위1인 뉴욕 양키스, 순위 2인 LA 다저스임을 알 수 있고 평균과 분산에 대한 영향 패턴은 비슷한 경향 (감소시키는 패턴)이 있으나 왜도와 첨도에 대한 영향패턴은 상이함을 알 수 있다.
이러한 불꽃그림의 유용성을 알아보기 위하여 먼저 카이제곱분포와 정규분포를 비교하여 보자. 카이제곱분포는 자유도가 작을 때는 양의 방향으로 치우친 분포이어서 왜도가 0보다 크게 되고 자유도가 커짐에 따라 점점 대칭분포가 된다.

제안 방법

3. Combined skewness-kurtosis firework plots of 100 chi-squared random variates in case of 2, 5, 10 and30 degree of freedoms, respectively.
Jang과 Anderson-Cook (2014)은 불꽃그림이란 이름을 붙인 그림도구를 발표하였는데 이상점이나 영향점이 일변량/이변량 자료분석 및 회귀분석에 어떠한 영향을 미치는지 알기 위하여 3-D 불꽃그림 및 짝진 불꽃그림 행렬을 제시하였다. 관측값에 부여된 가중치를 1에서 0으로 변화함에 따라 이상점이 일변량/이변량 자료분석시의 여러 수치적 측도들에 어떠한 영향을 미치는 지 3-D 불꽃그림 및 불꽃그림 행렬을 통하여 살펴보았다. 또한, 이상점이나 영향점이 회귀계수 및 잔차제곱합(SSE)에 어떠한 영향을 미치는지 3차원 그림에 추적곡선을 그려 보았을 뿐 아니라 쌍으로 대비시켜 봄으로써 분석의 시각적인 효과를 증대시켰다.
관측값에 부여된 가중치를 1에서 0으로 변화함에 따라 이상점이 일변량/이변량 자료분석시의 여러 수치적 측도들에 어떠한 영향을 미치는 지 3-D 불꽃그림 및 불꽃그림 행렬을 통하여 살펴보았다. 또한, 이상점이나 영향점이 회귀계수 및 잔차제곱합(SSE)에 어떠한 영향을 미치는지 3차원 그림에 추적곡선을 그려 보았을 뿐 아니라 쌍으로 대비시켜 봄으로써 분석의 시각적인 효과를 증대시켰다. 본 연구에서는 이러한 불꽃그림이 일변량 자료의 왜도와 첨도에서 특이점의 영향을 평가하기 위한 탐색적 자료분석 그림도구로 사용될 수 있음을 보이고자 한다.
컴퓨터 시뮬레이션을 통하여 비대칭 분포인 카이제곱분포를 대상으로 자유도가 커져감에 따라 왜도 및 첨도에 어떤 변화가 있는지, 난수값들이 왜도 및 첨도에 어떤 영향을 주는지를 왜도-첨도 불꽃그림을 통하여 살펴보았고 이 왜도-첨도 불꽃그림을 사용하여 꼬리가 없는 균등분포와 특이값이 자주 나타나는 코시분포 및 이중지수분포를 정규분포와 비교하여 보았다. 미국프로야구 30개 팀들에 대한 경영평가자료를 통하여 불꽃그림이 일변량 자료의 왜도와 첨도에서 특이점의 영향을 평가하기 위한 탐색적 자료분석 그림도구로 사용될 수 있음을 살펴보았다. 이 그래픽 방법은 다양한 자료를 대상으로 각 관측값이 왜도 및 첨도에어떤 영향을 주는지를 평가할 수 있는 탐색적 자료분석 그림도구로서 유용하게 쓰일 수 있다.
본 연구에서는 이러한 불꽃그림이 일변량 자료의 왜도와 첨도에서 특이점의 영향을 평가하기 위한 탐색적 자료분석 그림도구로 사용될 수 있음을 보이고자 한다. 제 2절은 일변량 자료의 왜도와 첨도에서 특이점의 영향을 평가하기 위한 탐색적 자료분석 그림도구로서의 불꽃그림을 제시하고 컴퓨터 시뮬레이션을 시행하여 불꽃그림의 유용성을 살펴보았다. 제 3절은 실제 사례를 통하여 불꽃그림의 유용성을 살펴보았다.
왜도나 첨도는 분포의 대칭성 및 꼬리의 두꺼운 정도를 파악하는 데 유용한 측도들이다. 컴퓨터 시뮬레이션을 통하여 비대칭 분포인 카이제곱분포를 대상으로 자유도가 커져감에 따라 왜도 및 첨도에 어떤 변화가 있는지, 난수값들이 왜도 및 첨도에 어떤 영향을 주는지를 왜도-첨도 불꽃그림을 통하여 살펴보았고 이 왜도-첨도 불꽃그림을 사용하여 꼬리가 없는 균등분포와 특이값이 자주 나타나는 코시분포 및 이중지수분포를 정규분포와 비교하여 보았다. 미국프로야구 30개 팀들에 대한 경영평가자료를 통하여 불꽃그림이 일변량 자료의 왜도와 첨도에서 특이점의 영향을 평가하기 위한 탐색적 자료분석 그림도구로 사용될 수 있음을 살펴보았다.
코시분포와 비교하기 위하여 표준정규분포에서 난수 100개를 생성시켜 보았다. 다음 Figure 2.

대상 데이터

실제 사례를 통하여 불꽃그림의 유용성을 살펴보자. Forbes지(www.forbes.com)가 평가한 2014년 미국 MLB 30개 프로야구팀들의 경영평가 데이터는 7개의 변수로 구성되어 있다 (1. 순위(rank based on current value), 2.

성능/효과

각 불꽃그림에서 숫자들은 데이터 중 분포의 평균보다 상대적으로 크거나 작은 수치값들을 나타낸다. 각각의 불꽃그림을 보면 데이터가 평균보다 매우 큰 값이나 매우 작은값이 왜도나 첨도에 상대적으로 더 큰 영향을 줌을 알 수 있다. 그러나, 이러한 값들도 정규분포의 왜도와 첨도값 0과 상대적으로 비교하면 왜도와 첨도에 매우 큰 변화를 일으킨다고는 할 수 없다.
이 시뮬레이션 결과 10,000개의 왜도와 첨도에 대한 하위 2.5%와 상위 2.5%를 제외시켰을 때의 범위가 왜도는[−0.15, 0.15], 첨도는 [−0.27, 0.33]이었다.
2에 나타난 불꽃그림 4개를 하나의 그림으로 모아 나타낸 그림이다. 자유도가 2,5, 10, 30에 대응되는 각각의 불꽃그림을 보면 데이터가 평균보다 매우 큰 값이나 매우 작은값이 왜도나 첨도에 상대적으로 더 큰 영향을 주나, 이러한 값들도 정규분포의 왜도와 첨도값 0과 상대적으로 비교하면 왜도와 첨도에 매우 큰 변화를 일으킨다고는 할 수 없음을 알 수 있다. 자유도가 커지면서 점점 왜도와 첨도가 0에 가까워짐을 볼 수 있다.
전체적으로 2개의 데이터 (−54.8, 45.6)가 평균, 분산, 왜도 및 첨도에 영향을 줌을 알 수 있다.
특이값이 왜도나 첨도에 영향을 주는 변수는 ‘현재구단가치’, ‘1년구단가치변화율’, ‘수입’, ‘운영수익’인 반면 ‘가치대비부채비율’ 변수에서는 왜도나 첨도에 영향을 주는 데이터가 없음을 한 눈에 알 수 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	코시분포나 이중지수분포는 첨도가 0보다 큰 반면 연속적 균등분포는 첨도가 어떻게 되는가?	코시분포나 이중지수분포는 꼬리가 정규분포보다 두꺼워 특이값이 자주 발생하는 분포이어서 첨도가 0보다 크게 된다. 반면 연속적 균등분포는 꼬리가 없어 특이값이 나타나지 않는 분포이어서 첨도가 0보다 작게 된다. 다음 Figure 2.
	특이값 및 영향점의 특징은?	특이값(특이점, 이상점이라고도 함) 및 영향점(영향력이 큰 관측값이라고도 함)은 자료분석을 하는 데사용되는 계량적이고 기술적인 많은 측도들(measures)을 왜곡한다. 우리는 민감도 곡선(sensitivity curve)이나 영향력 함수(influence function)를 사용하여 이러한 특이값을 탐지할 수 있다 (Hampel,1974; Maronna 등, 2006).
	민감도 곡선이나 영향력 함수로 무엇을 탐지 할수있는가?	특이값(특이점, 이상점이라고도 함) 및 영향점(영향력이 큰 관측값이라고도 함)은 자료분석을 하는 데사용되는 계량적이고 기술적인 많은 측도들(measures)을 왜곡한다. 우리는 민감도 곡선(sensitivity curve)이나 영향력 함수(influence function)를 사용하여 이러한 특이값을 탐지할 수 있다 (Hampel,1974; Maronna 등, 2006). 특이점 및 영향점의 평가는 주로 회귀분석에서 다루어졌다 (Chatterjee와Hadi, 2012).

참고문헌 (10)

Beckman, R. J. and Cook, R. D. (1983). Outlier....s, Technometrics, 25, 119-147.

상세보기
Belsley, D. A., Kuh, E., Welch, R. E. (1980). Regression Diagnostics: Identifying Influential Data and Source of Collinearity, Wiley, New York.
Chatterjee, S. and Hadi, A. S. (2012). Regression Analysis by Example, 5th ed, Wiley, Hoboken.
Cook, R. D. (1977). Detection of influential observation in linear regression, Technometrics, 19, 15-18.

상세보기
Cook, R. D. (1979). Influential observation in linear regression, Journal of American Statistical Association, 74, 169-174.

상세보기
Emerson, J. D. and Strenio, J. (1983). The Spread-versus-Level plot in Hoaglin, D. C., Mosteller, F., and Tukey, J. W.(Eds.) (1983). Understanding Robust and Exploratory Data Analysis, Wiley, New York.
Fox, J. (2008). Applied Regression Analysis and Generalized Linear Models, 2nd ed., Sage, New York.
Hampel, F. R. (1974). The influence curve and its role in robustness, The Annal of Statistics, 45, 383-393.
Jang, D. H. and Anderson-Cook, C. M. (2014). Firework plot as a graphical exploratory data analysis tool for evaluating the impact of outliers in data exploration and regression, Quality and Reliability Engineering International, 30, 1409-1425.

상세보기
Maronna, R. A., Martin, D., and Yohai, V. J. (2006). Robust Statistics, John Wiley & Sons, New York.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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