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문제 정의
- 도형의 성질 탐구가 대부분 중등 수준의 교육 내용과 관련되어 있어서 이를 초등 수준에 맞게 재구성할 필요가 있다. 따라서 정사각형, 정삼각형 종이접기를 기본으로 수학적 추론(유추, 연역)의 과정을 통하여 정육각형과 정팔각형의 종이접기로 범위를 제한하더라도 자신이 접은 도형이 주어진 크기의 색종이로 만들 수 있는 최대 넓이의 정다각형인지를 생각해보고 김정하(2010)의 정당화 요소 분석틀(PIRSO)에 따라 학생들의 반응 분석을 통해 초등학생들도 자신의 탐구 활동을 수학적으로 정당화할 수 있도록 지도하기 위한 개선 방안을 모색하고자 한다.
- 본 연구는 모광역시 동부교육지원청 S초등학교에 재학 중인 학생들을 개별학습, 교사와의 1-1 대면 학습, 짝 모둠 학습, 그리고 집단 수업의 여러 방식으로 유형화된 수업을 시행하면서 김정하(2010)의 정당화 분석틀(PIRSO)을 이용하여 학생들의 정당화 요소를 분석하고, 집단 수업에서 정다각형 종이접기 활동의 정당화를 지도하기 위한 개선 방안을 모색하고자 하였다.
- 본 연구는 주어진 크기의 색종이로 최대 넓이를 갖는 정다각형 종이접기 활동에서 다양한 정당화 요인들이 드러나도록 하는 초등학교 영재학급용 교수․학습 자료를 개발하고 실제 수업을 통해 교사의 발문과 과제 제시 방식 등이 포함된 교수・학습 방법의 개선 방안을 탐색하고자 한다.
- 본 연구는 초등학교 영재학급 학생들을 대상으로 주어진 크기의 색종이로 최대 넓이를 갖는 정다각형 종이접기 활동 소재를 개발하여 수업에서 드러나는 정당화 요소를 분석하고 이를 통해 영재학급용 수업에서의 활용할 수 있는 개선 방안을 탐색하고자 하였다.
제안 방법
- 다섯째, 학습지를 통해 그림으로 예시한 경우는 학생들이 금방 이해하고 예시한 방식으로 정당화하려고 하였다. 하지만 좀 더 시간을 주면서 학생이 스스로 탐구해 보도록 교사가 수업 목표나 수업 의도에서 정삼각형 종이접기를 예시하지 않고 또 문자를 포함한 기호적 표현을 사용하지 않거나 요구하지 않았을 때 학생이 스스로 엄밀한 수학적 표현을사용하는 형식적 정당화를 시도하지는 않았다.
- 본 연구에서는 (1) 수학적 정당화는 연역적이고 형식적인 증명뿐만 아니라 엄밀하지 않더라도 근거를 가지고 자신의 주장이 참임을 논리적으로 보이는 과정으로서 넓은 의미의 증명을 의미하며, (2) 수학적 정당화의 유형과 단계로는 정당화 없음부터 형식적 · 이론적 정당화의 단계까지 학생들이 어떻게 정당화의 유형과 단계를 보이는지 살펴보며, (3) 학생들에게서 드러나는 정당화 요소의 분석은 김정하(2010)의 정당화 요소 분석틀(PIRSO)을 사용하였다.
- 본 연구의 수업 적용을 위해 모광역시 동부교육지원청 소속한 학생들을 개별학습(1명, 발명영재학급, 과학고 영재교육원 합격), 교사와의 1-1 대면 학습(2명, 일반학급 내 우수 학생), 짝 모둠 학습(4명, 영재학급), 그리고 집단 수업(20명, 영재학급)의 여러 방식으로 유형화한 수업을 실시하였다. 짝 모둠 학습의 대상자인 영재학급 학생들은 2015학년도 수학, 과학 영역에 대한 학문 적성 및 영재성 검사와 심층 면접을 통해 선발된 학생들이며, 집단 수업의 영재학급 학생들은 2016학년도 수학, 과학 영역에 대한 학문 적성 및 영재성 검사와 심층 면접을 통해 선발된 학생들 5~6학년 통합 영재학급 학생들이다.
- Balacheff(1987)는 관찰 방법을 통하여 14쌍의 13-14세 학생들의 증명 형태를 분석하면서 소박한 경험주의, 결정적 실험, 포괄적인 예, 사고 실험 등으로 기술하고 있다. 소박한 경험주의 방식을 취하는 학생들은 적은 개수의 사례에 대한 조사로부터 일반적 타탕성을 결론지었고, 결정적 실험 방식을 선호하는 학생들은 일부 사례에 대한 검사는 추측을 정당화하기에 충분하지 않다는 것을 인식하였으며, 보다 광범위한 테스트를 통해 추측을 정당화하려고 시도하였다. 포괄적인 예 방식을 선호한 학생들은 추론을 이용해서 자기 추측의 근거를 설명하려고 하였지만, 설명에 있어서 특별한 사례를 이용하였다.
- 짝 모둠 학습의 대상자인 영재학급 학생들은 2015학년도 수학, 과학 영역에 대한 학문 적성 및 영재성 검사와 심층 면접을 통해 선발된 학생들이며, 집단 수업의 영재학급 학생들은 2016학년도 수학, 과학 영역에 대한 학문 적성 및 영재성 검사와 심층 면접을 통해 선발된 학생들 5~6학년 통합 영재학급 학생들이다. 영재학급 학생들의 학습지는 모두 수거하고 참고하였으나 녹화 장비의 부족으로 평소 수업에 적극적으로 참여해 왔으나 성취도는 중간 정도 수준의 6학년 1명과 5학년 1명의 학생만을 심층 관찰하고 면담하기로 하였다.
- 영재학급에 다니지 않는 6학년 일반학급 학생 2명은 연구자와 1-1 대면 방식으로, 단위학교 발명 영재학급 학생 4명은 모둠별로 짝 활동 수업을 실시하였지만 연구 대상자들 중에서 가장 우수한 학생 1명(P2E)은 교사와 대면은 하지 않고 혼자서 학습지를 보면서 수행한 후 글로 정당화한 결과를 가지고 정당화 요소를 분석해 보았다. 이후에 연구자는 교실에서의 집단 수업에서는 학생의 사고 및 정당화 과정이 잘 드러나지 않을 수 있을 가능성을 대비하여 교사의 발문을 보다 구체화하고 명료화하여 5~6학년 통합 영재학급 학생들(20명)을 대상으로 한 집단 수업 속에서 2명(5학년 1명, 6학년 1명)의 학생들을 심층 관찰 및 면담한 결과까지 포함하여 <표 4>로 비교하며 정리하였는데 이는 수업 방식(1-1대면, 소그룹 짝 활동, 집단 수업)에 따른 반응을 비교한 것이라면 <표 3>는 개별 학습지와 수업을 통한 과제별 반응을 대표적으로 비교한 결과이다.
- 특히 왜 곱하는가에 대한 교실 토론이 진행되는 첫 번째 에피소드에서는 개혁을 지향하는 교사와 전통적으로 학습해 온 학생들이 상호작용하는 이 학급이 부딪히게 되는 협상을 통하여 무엇이 교실에서 적절한 수학적 행동인가와 무엇이 정당화로 간주되느냐와 관련된 논의가 이루어졌다. 이 과정에서 만들어내려고 하는 교사의 노력을 통해 학생들이 보이는 정당화의 수준은 5가지(정당성을 도입하지 않고 단순히 동기를 확인하려는 반응, 외부의 권위에 호소, 경험적인 설명, 특정한 예에 의해서 표현되는 연역적 정당화, 또는 포괄적인 예, 특정한 예와는 독립적인 연역적 정당화)로 범주화하였다. 하지만 송상헌, 허지연, 임재훈(2006)은 그것을 수준으로 표현하지 않고 4가지 유형(외부적 정당화, 귀납적 정당화, 포괄적 정당화, 형식적 정당화)로 명명하였다.
- 정육각형과 정팔각형은 선대칭도형이면서 점대칭도형이므로 주어진 크기의 정사각형 색종이 안에 가능한 크기가 큰 정육각형과 정팔각형을 접으려면 그 색종이의 중심에 정다각형의 중심이 놓이도록 접어야 한다. 이를 위해 정사각형 색종이를 가로, 세로 방향으로 각각 이등분하여 4등분된 정사각형 안에 삼각형을 하나 접고 그것을 펼쳐 그려진 합동인 삼각형이 색종이의 중심에 6개 또는 8개가 모이도록 만들면 된다. 따라서 정육각형과 정팔각형의 중심각인 60º와 45º를 한 각으로 하는 최대 넓이의 삼각형을 접을 수만 있으면 된다.
- 이중 P1A 학생은 영재학급에 다니지는 않지만 담임교사가 판단하기에는 영재학급에 다니는 어떤 다른 학생들보다 더 우수한 수준(대학부설 영재교육센터의 특별 과정 1년 수료)이라고 추천하였고, P2E 학생은 과학고 영재교육원에 합격할 정도로 전교에서 가장 우수한 학생이지만 예비 적용 수업 시간이 발명영재학급의 수업 시간과 중복되어 집에서 학습지로만 해결해 오도록 요청하였기에 나중에 3차 수업을 통해 드러나는 학생들의 반응과 비교하기로 하였다. 3차 적용에 참여한 5학년의 MB 학생은 영재학급 내에서 평소 학업 성취도가 높지 않아 이 학생의 반응 정도가 본 실험 적용의 성과를 나타낼 기준으로 삼기로 하였다.
- 도입 단계의 A4 용지로 정사각형 및 정삼각형 접기와 정리 단계의 확장된 정다각형 접기는 영재학급 학생들의 사고 수준이나 수업 상황(시간, 선수학습 경험 등)을 고려하여 추가 또는 삭제할 수 있다. 정당화하기 힘든 부분에 대하여는 추가적인 발문을 통하여 학생 스스로 정당화하게 하고, 전체 토론의 과정을 통하여 학생들이 자신의 정당화 과정을 평가하고 반성할 수 있도록 지도 계획을 수정하였다.
- 학생들의 학습지와 교사의 관찰을 통해 수업에 참여한 모든 학생들의 활동을 고려하기는 하지만 수업을 촬영할 캠코더 수량의 제한으로 인해 평소 구두 발표가 활발하여 사전에 선택한 일부 학생들이 포함된 모둠만 집중적으로 녹화하였고, 그 중 일부 학생들을 대상으로 심층 면담을 실시하였다. 본 연구에서는 (1) 수학적 정당화는 연역적이고 형식적인 증명뿐만 아니라 엄밀하지 않더라도 근거를 가지고 자신의 주장이 참임을 논리적으로 보이는 과정으로서 넓은 의미의 증명을 의미하며, (2) 수학적 정당화의 유형과 단계로는 정당화 없음부터 형식적 · 이론적 정당화의 단계까지 학생들이 어떻게 정당화의 유형과 단계를 보이는지 살펴보며, (3) 학생들에게서 드러나는 정당화 요소의 분석은 김정하(2010)의 정당화 요소 분석틀(PIRSO)을 사용하였다.
- 학습 목표를 내용면, 과정면, 태도면으로 세분하고 각 목표들의 핵심을 요약하여 코드화 하였다.
성능/효과
- 최화식(2015)은 종이를 접은 후 한 번에 잘라서 모양을 만드는 활동을 이용한 수학 영재 프로그램을 개발하여 대학부설 과학영재교육원(초등학교 6학년 14명)과 과학중점 고등학교(고 1, 2학년 24명)에서 비교 수업을 실시하였다. 고등학생과 초등학생 간에는 상당한 학력 차이가 있음에도 불구하고 전체적으로 과제 수행 측면에서는 초등학교 영재학생들의 성취 수준이 조금 더 높았다. 하지만 초등학교 학생들에게는 수학적 증명이 어려워 교사가 설명해 주기만 했다고 한다.
- 넷째, 영재학급의 소속 유무, 영재학급의 성격(발명반, 통합반), 학년의 차이에 따른 정당화 단계에는 뚜렷한 차이를 보이지 않았지만 집단 구성 및 학습 방식에 따라서는 정당화의 단계가 조금씩 다르게 나타났다. 소수의 대면 또는 개별화된 수업이 좋은 것이기는 하지만 어쩔 수 없이 영재학급이라는 집단 수업을 실시해야 하는 상황에서는 모둠별 탐구 또는 모둠간 의사소통이 활발히 일어도록 해야 하며, 수업 정리 및 반성 등을 통해 자신의 생각을 충분히 표현해 볼 수 있는 기회를 가져야 함을 시사해 준다.
- 다섯째, 개별 면담보다 사고 수준이 다양한 집단 수업에서 교사의 안내 방식이 역할은 매우 중요하므로 교사는 수업 전 계획도 중요하지만 수업 도중의 상황에 대처하면서 자신의 발문을 보다 구체화 및 명료화할 필요가 있다.
- 다섯째, 교사가 종이접기 활동이나 기호화를 보여주지 않았을 때 학생들은 어려워한다. 특히 교사가 수업 목표나 수업 의도에서 문자를 포함한 기호적 표현을 사용하지 않거나 요구하지 않으면 학생이 스스로 엄밀한 수학적 표현을 사용하는 형식적 정당화를 시도하지는 않았다.
- 둘째, 본 과제의 해결 과정에서 드러나는 정당화의 요소는 과제 및 수업 방식에 따라 다양하였지만 일반적인 초등학교 학생들의 기하 학습 수준이나 발달 특성과도 일치하였다. 예를 들어, 종이 접기 활동에 필요한 조작적 불변자(정다각형, 선분의 길이, 각도, 넓이, 합동 등)가 대체로 잘 드러난 편이었으며 다각형의 그림이나 각도의 수치, 등변의 길이나 직각 표시, 말이나 글로 나타내는 언어적 표현은 충분히 드러났지만 영재학급이라도 초등학생이라서 그런지 문자를 포함한 기호적 표현은 잘 사용하지 않았다.
- 둘째, 본 과제의 해결 과정에서 정당화의 요소는 과제 및 수업 방식에 따라 다양하게 드러났으며 일반적인 초등학교 학생들의 기하 학습 수준이나 발달 특성과도 일치한다. 하지만 집단 수업보다는 1-1 면담을 통해 일부는 개선되었다.
- 초등학교 영재학급 학생들은 자신의 사고 과정이나 해법을 정당화할 때 필요한 조작적 불변자를 대체로 인식하면서 그것을 언어적으로 표현하는 것을 선호하고, 경험적·귀납적 정당화와 단순 연역적 정당화 단계를 보이는 경우가 많았다. 만약 교사가 먼저 예시적으로 문자를 포함한 기호적 표현을 사용하더라도 충분히 이해할 수 있을 영재학급 학생들이라 할지라도 스스로 문자를 포함한 기호적 표현을 아직 사용하지 않는 것은 초등학생들의 학업 특성임을 확인하였다. 하지만 형식적인 정당화 수준으로 끌어올리기 위해서는 학생들의 수준을 고려하면서 필요에 따라서는 꼭짓점이나 변을 기호화한 예시를 제공할 필요도 있다.
- 셋째, 각각의 정다각형을 순차적으로 접어 보는 과제(활동 1, 2, 3) 이후에 마지막으로 최대 넓이의 정다각형을 추가로 찾아 정당화하는 과제(활동 4)의 제시 순서는 수업 시간의 부족으로 인해 마지막 활동 4에 충분히 집중하지 못하도록 하여 사전 과제에서는 매우 쉽게 접근했던 최대 넓이의 정팔각형 접기에 실패하는 학생들이 많이 나타났다. 따라서 과제를 안내할 때부터 여러 가지 크기의 정다각형을 찾아도 되지만 가급적 넓이가 더 클수록 좋다고 안내할 필요가 있다.
- 셋째, 소수의 대면 또는 개별화된 수업이 좋은 것이기는 하지만 어쩔 수 없이 영재학급이라는 집단 수업을 실시해야 하는 상황에서는 모둠별 탐구 또는 모둠간 의사소통이 활발히 일어나도록 해야 하며, 수업 정리 및 반성 등을 통해 자신의 생각을 충분히 표현해 볼 수 있는 기회를 가져야 한다.
- 여섯째, PIRSO 분석틀을 통해 드러난 학생들의 정당화 요소는 교사의 수업 방식이나 발문을 통해 향상될 수 있음을 확인하였다. 교사가 개입하지 않은 상태에서의 (쉬운 문제로 인식한) 가장 우수한 학생의 반응보다 교사의 수업과 발문 이후에 학급 내에서 (적당한 난이도로 인식한) 보통 정도 수준의 반응을 보인 학생에게서 드러나는 반응이 더 높은 단계의 정당화 반응을 준 것이 그 증거이다.
- 종이 접기 활동에 필요한 조작적 불변자(정다각형, 선분의 길이, 각도, 넓이, 합동 등)는 학생들의 평소 학업 성취도나 개인별 사고의 수준을 잘 반영해 주었고 대체로 잘 드러난 편이었다(I). 자신에게 주어진 과제를 조작적으로 표현하는 것은 대체로 쉬웠고 다각형의 그림이나 각도의 수치, 등변의 길이나 직각 표시, 말이나 글로 나타내는 언어적 표현은 충분히 드러났다(R). 하지만 초등학생이라서 그런지 아직은 문자를 포함한 기호적 표현은 잘 사용하지 않았다.
후속연구
- 넷째, 교사가 의도적으로 학생들을 형식적인 정당화 수준으로 끌어올리기 위해서는 학생들의 수준을 고려하면서 경우에 따라서는 꼭짓점이나 변을 기호화한 예시를 제공할 필요가 있다.
- 둘째, 과제를 안내할 때부터 여러 가지 크기의 정다각형을 찾아도 되지만 가급적 넓이가 더 클수록 좋다고 안내할 필요가 있다. 또한 정육각형과 정팔각형은 통합하여 학생들이 선택하거나 도전하는 도형을 자유롭게 정하도록 할 필요가 있다.
- 이상에서 드러난 결과를 바탕으로 과제 제시 방식(순서)을 조정하고 기본 도형을 접는 방법과 기호적 표현을 예시하며, 교사 발문을 보다 구체화하고 명료화한다면 초등학생들의 정당화 요소별 단계나 수준을 향상시킬 수 있을 것으로 판단된다.
- 첫째, 정삼각형 종이접기를 먼저 학습한 이후에는 정육각형과 정팔각형은 순차적 직렬방식보다는 학생 선택의 여지를 두어 병렬방식으로 허용하며 넓이가 최대인 종이접기는 마지막에 별도로 수행하기보다 사전에 미리 제시해 둠으로서 학생들이 활동의 중간 중간에 수시로 점검하는 방식으로 변경할 필요가 있다.
- 첫째, 주어진 크기의 색종이 안에 최대 넓이를 갖는 정다각형 종이접기 탐구 활동 소재는 초등학교 영재학급 학생들의 사고 수준에 적절할 뿐만 아니라 수학적 정당화를 연습하기에도 적절한 과제였다.
- 첫째, 주어진 크기의 색종이 안에 최대 넓이의 정다각형 종이접기 탐구 활동은 초등학교 영재학급 학생들의 사고 수준에 적절할 뿐만 아니라 수학적 정당화를 연습하기에도 적절한 과제였다. 혼자서 학습지로만 해결하기로 한 발명영재학급에 재학 중인 매우 우수한 학생(P2E)은 본 과제를 아주 쉽다고 인식하였고, 그 외 대부분의 학생들은 본 과제를 적당하거나 약간 어려운 문제로 인식하였다(P), 특히 자신이 접은 도형이 주어진 색종이 안에서 만들 수 있는 최대 넓이의 정다각형임을 설명하는 과제 4는 모든 활동 이후에 추가되는 것이었기에 가장 어렵게 인식하였다.
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