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19세기 기하학의 발달과 리군론의 시작
Development of Geometry in the 19th century and Birth of Lie's theory of Groups 원문보기

Journal for history of mathematics = 한국수학사학회지, v.29 no.3, 2016년, pp.157 - 172  

김영욱 (Dept. of Math., Korea Univ.) ,  이진호 (Dept. of Math., Sookmyung Women's Univ.)

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

Sophus Lie's research is regarded as one of the most important mathematical advancements in the $19^{th}$ century. His pioneering research in the field of differential equations resulted in an invaluable consolidation of calculus and group theory. Lie's group theory has been investigated ...

주제어

#소푸스 리   #페릭스 클라인   #선기하학   #선복합체   #변환군   #미소변환군   #미분방정식  

질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
클라인의 수학적 업적 그 첫번째는 무엇인가? 클라인의 첫 수학적인 업적은 1870년 리와 함께 연구한 쿰머 곡면에서 점근선(asymptotic lines on the Kummer surface)의 기본 성질을 발견한 것으로 그 후 리와 함께 W곡선, 사영변환군에 대하여 불변인 곡선(curves invariant under a group of projective transformations)에 대하여 연구하게 된다. 클라인이 기하학연구에 군의 개념을 도입하게 된 것에는 리와 함께 연구한 영향이 크게 작용하였다.
적분인자란 무엇인가? 해결하려는 미분방정식이 완전 미분방정식의 형태이면 적분하여 해를 구하면 되지만 그렇지 않은 경우에는 식을 변형하여 완전미분방정식의 형태로 만들어야 한다. 완전미분방정식이 아닌 방정식에 적당한 함수를 곱하여 완전미분방정식이 될 때, 곱한 함수를 적분인자(integrating factor)라 한다. 대부분의 미분방정식 교재에서 적분인자를 이용하여 완전미분방정식의 형태로 바꾸어 미분방정식의 해를 구하는 방법을 다루고 있으나 각각의 방정식에 적절한 적분인자를 사용할 뿐 적분인자를 구하는 원리나 방법을 소개하지는 않는다.
클라인과 리가 이룬 가장 큰 업적은 무엇인가? 한편 여러 방향의 이론이 난무하던 19세기 전반의 사영기하학을 종식시키고 정리하여 20세기로 넘겨준 사람은 리(Sophus Lie, 1842–1899)와 클라인(Felix Klein, 1849–1925)이다. 그들은 19세기 전반에 발전된 다양한 기하학 이론을 정리하고 이에 새로운 관점을 더해서 대수학적이며, 기하학적이고 또 해석학적인 이론으로 탈바꿈시켰다. 이들의 이론은 당시의 수학보다 훨씬 새롭고 구조적인 이론으로 성장하였으며 리만의 관점을 이어받아 20세기 수학을 태동시켰다고 할 수 있다. 그러나 당시 클라인과 리가 개발했던 풍부한 아이디어나 기법들은 현대에 이르러 대부분 잊혀지고 그 연구 결과는 현대적인 형태로 변모하여 원래의 의미와 중요성은 간과된 채 간단하게만 언급되고 있다 [8].
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참고문헌 (14)

  1. BRYANT, R., An introduction to Lie groups and symplectic geometry, Park City, 24 June-20 July 1991. 

  2. BRYANT, R., Griffiths, P., Grossman, D., Exterior Differential Systems and Euler-Lagrange Partial Differential Equations, U. of Chicago Press, 2003. 

  3. COHEN, A., An introduction to the Lie theory of one-parameter groups, G. E. Stechert Co., 1911. 

  4. COOLIDGE, J., A history of geometrical methods, Oxford U. P., 1940. 

  5. DOLGACHEV, I. V., Classical algebraic geometry: a modern view, Cambridge U. P., 2012. 

  6. GRAY, J. J., Linear differential equations and group theory from Riemann to Poincare, Birkhauser, 2000. 

  7. HARTSHORNE, R., Teaching Geometry According to Euclid, Notices of the AMS 47 (4) (2000), 460-465. 

  8. HAWKINS, T., Emergence of the theory of Lie groups, Springer, 2000. 

  9. HAWKINS, T., Line Geometry, Differential Equations, and the Birth of Lie's Theory of Groups, in ROWE, D. E. and MCCLEARY, J. (Eds.), The history of Modern Mathematics, Vol. I: Ideas and Their Reception, Academic Press, 1989. 

  10. HERMANN, R., Sophus Lie's 1880 transformation group paper, Math Sci Press, 1975. 

  11. KLEIN F., Development of mathematics in the 19th century. 한경혜 역, 19세기 수학의 발전에 대한 강의, 나남, 2012. 

  12. ROWE D. E., The early Geometrical Works of Sophus Lie and Felix Klein, in ROWE D. E. and MCCLEARY, J. (Eds.), The history of Modern Mathematics, Vol. I: Ideas and Their Reception, Academic Press, 1989. 

  13. SEMPLE J. G., KNEEBONE, G. T., Algebraic Projective Geometry, Oxford U. P., 1952. 

  14. Wikipedia, 영문판 위키피디아, https://en.wikipedia.org/wiki/Sophus_Lie, (30 May, 2016). 

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