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문제 정의
- 본 논문에서는 Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치 통계량을 확장하여 상대적인 위치정보를 이용한 일원배치모형에서의 비모수적 다중비교 검정법을 제안하였다. 제안된 검정법과 기존의 검정법들의 비교를 위해 Monte Carlo simulation을 통하여 일원배치모형에서의 모수적 검정법인 Tukey-Kramer(Kramer, 1956) 방법, 비모수적 검정법인 Kruskal-Wallis (1952) 순위합 다중비교 방법, 본 논문에서 제안한 방법의 family wise error rate (FWE)와 검정력(power)을 비교하였다.
- 본 논문에서는 결합위치를 이용한 처리별 평균 통계량에 근거하여 새롭게 제안한 검정법과 기존의 검정법들의 FWE와 검정력을 비교하기 위해 모의실험을 시행하였다. FWE는 모든 귀무가설이 참일 때 적어도 하나의 귀무가설이 기각될 확률이며 검정력은 거짓인 귀무가설들 중 적어도 하나의 귀무가설을 거짓이라고 판단할 확률이다.
- 본 논문에서는 일원배치모형에서 비모수적 다중비교 방법으로 결합위치를 이용한 검정통계량을 제안하였다. 이 통계량은 Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치를 확장하여 처리별 평군순위를 이용하여 만들었다.
제안 방법
- 모수적인 방법으로는 Tukey-Kramer 방법을 사용하였고 비모수적인 방법으로는 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법을 사용하였다. 모집단의 분포는 대칭분포인 정규분포, 이중지수분포, Cauchy분포와 비대칭분포인 지수분포를 채택하였다. 정규분포, Cauchy분포, 지수분포의 난수생성은 SAS의 RANNOR 함수, RANCAU 함수, RANEXP 함수를 이용하였고, 이중지수분포는 RANUNI 함수를 이용하여 역변환 방법으로 난수를 생성하였다.
- 처리의 수는 3개와 5개인 경우를 선택하였고, 처리별 표본크기는 모두 다른 경우를 고려하였다. 처리의 수가 3개일 때 소표본으로는 각 표본크기가 5, 6, 7인 경우와 대표본으로는 13, 14, 15인 경우를 고려하였고, 처리의 수가 5개일 때 소표본으로는 각 표본크기가 5, 6, 7, 8, 9인 경우와 대표본으로는 15, 16, 17, 18, 19인 경우를 고려하였다. 제안한 방법과 기존의 검정법들의 FWE와 검정력의 비교를 위해 10,000번 반복하는 Monte Carlo simulation을 시행하였다.
데이터처리
- 이 통계량은 Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치를 확장하여 처리별 평군순위를 이용하여 만들었다. Monte Carlo simulation을 실시하여 정규분포, 지수분포, 이중지수분포, Cauchy분포에서 제안한 검정법과 모수적 검정법인 Tukey-Kramer 방법, 비모수적 검정법인 Kruskal-Wallis 순위합을 이용한 다중비교 방법의 FWE와 검정력을 비교하였다.
- 본 논문에서는 Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치 통계량을 확장하여 상대적인 위치정보를 이용한 일원배치모형에서의 비모수적 다중비교 검정법을 제안하였다. 제안된 검정법과 기존의 검정법들의 비교를 위해 Monte Carlo simulation을 통하여 일원배치모형에서의 모수적 검정법인 Tukey-Kramer(Kramer, 1956) 방법, 비모수적 검정법인 Kruskal-Wallis (1952) 순위합 다중비교 방법, 본 논문에서 제안한 방법의 family wise error rate (FWE)와 검정력(power)을 비교하였다.
- 처리의 수가 3개일 때 소표본으로는 각 표본크기가 5, 6, 7인 경우와 대표본으로는 13, 14, 15인 경우를 고려하였고, 처리의 수가 5개일 때 소표본으로는 각 표본크기가 5, 6, 7, 8, 9인 경우와 대표본으로는 15, 16, 17, 18, 19인 경우를 고려하였다. 제안한 방법과 기존의 검정법들의 FWE와 검정력의 비교를 위해 10,000번 반복하는 Monte Carlo simulation을 시행하였다. 모의실험 결과는 처리의 수가 3개이고 각 처리별 표본크기가 5, 6, 7인 소표본의 경우에는 Table 3.
이론/모형
- 모수적인 방법으로는 Tukey-Kramer 방법을 사용하였고 비모수적인 방법으로는 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법을 사용하였다. 모집단의 분포는 대칭분포인 정규분포, 이중지수분포, Cauchy분포와 비대칭분포인 지수분포를 채택하였다.
- 본 논문에서 제안하는 결합위치를 이용한 다중비교 검정법은 Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치의 처리별 평균을 이용하여 검정할 수 있다. 제안한 방법의 검정통계량으로 쓰일 비모수적 도구인 결합위치 Vij를 다음과 같이 정의한다.
- 본 논문에서는 일원배치모형에서 비모수적 다중비교 방법으로 결합위치를 이용한 검정통계량을 제안하였다. 이 통계량은 Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치를 확장하여 처리별 평군순위를 이용하여 만들었다. Monte Carlo simulation을 실시하여 정규분포, 지수분포, 이중지수분포, Cauchy분포에서 제안한 검정법과 모수적 검정법인 Tukey-Kramer 방법, 비모수적 검정법인 Kruskal-Wallis 순위합을 이용한 다중비교 방법의 FWE와 검정력을 비교하였다.
- 모집단의 분포는 대칭분포인 정규분포, 이중지수분포, Cauchy분포와 비대칭분포인 지수분포를 채택하였다. 정규분포, Cauchy분포, 지수분포의 난수생성은 SAS의 RANNOR 함수, RANCAU 함수, RANEXP 함수를 이용하였고, 이중지수분포는 RANUNI 함수를 이용하여 역변환 방법으로 난수를 생성하였다.
성능/효과
- 모집단의 분포가 이중지수분포인 경우 표본크기와 상관없이 완만하다가 증가하여 정점을 찍고 다시 감소하여 완만한 형태의 패턴과 일정한 간격으로 감소와 증가를 반복하는 패턴에서는 제안한 방법의 검정력이 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법의 검정력보다도 높았으며 모든 패턴에서 Tukey-Kramer 방법보다 높은 검정력을 보였다. Cauchy분포에서는 소표본일때는 완만하다가 증가하여 정점을 찍고 다시 감소하여 완만한 형태의 패턴과 완만하게 증가하다가 큰 폭으로 감소하는 패턴, 일정한 간격으로 감소와 증가를 반복하는 패턴에서는 제안한 방법의 검정력이 가장 높았다. 대표본일때는 완만하다가 증가하여 정점을 찍고 다시 감소하여 완만한 패턴과 일정한 간격으로 감소와 증가를 반복하는 패턴에서 제안된 방법의 검정력이 가장 높고 KruskalWallis 순위합 다중비교 방법, Tukey-Kramer 방법 순으로 검정력이 높았다.
- 모의실험의 전체적인 결과를 보면 Tukey-Kramer 방법은 정규분포에서는 FWE를 잘 제어했지만 다른 3개의 분포에서는 잘 제어하지 못했음을 알 수 있다. Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법은 처리의 수가 작을 때 FWE를 잘 제어하고 있으며 본 논문에서 제안한 방법은 모든 분포에서 표본크기와 상관없이 FWE를 잘 제어함을 알 수 있다. 검정력을 보면, 처리의 수가 3인 경우 총 표본의 크기와 상관없이 대부분의 분포에서 본 논문에서 제안한 방법이 기존의 방법들 보다 높은 검정력을 보였다.
- 05에서 벗어났다. Tukey-Kramer 방법은 소표본인 경우 0.0163, 대표본인 경우 0.0177의 값을 얻었고 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법은 소표본일때 0.0470, 대표본일때 0.0525의 값을 얻었으며 제안한 방법은 소표본일때 0.0495, 대표본일때 0.0503의 값을 얻은것으로 보아 Cauchy분포에서는 제안한 방법을 제외한 기존의 방법들이 FWE를 제어함에 있어 어려움이 있다는 것을 알 수 있다.
- Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법은 처리의 수가 작을 때 FWE를 잘 제어하고 있으며 본 논문에서 제안한 방법은 모든 분포에서 표본크기와 상관없이 FWE를 잘 제어함을 알 수 있다. 검정력을 보면, 처리의 수가 3인 경우 총 표본의 크기와 상관없이 대부분의 분포에서 본 논문에서 제안한 방법이 기존의 방법들 보다 높은 검정력을 보였다. 정규분포에서는 Tukey-Kramer 방법의 검정력이 제안한 방법들과 비슷하거나 높았지만 정규분포를 제외한 다른 분포들에서는 대부분의 대립가설에서 본 논문에서 제안한 방법이 나머지 두 방법들에 비해 높은 검정력을 보였다.
- 다음으로 검정력을 살펴보면, 처리의 수가 3개일 때 모집단의 분포가 정규분포인 경우 표본의 크기와 상관없이 정점이 1.5인 우산형 대립가설의 패턴과 완만하게 감소하는 패턴, 감소했다가큰 폭으로 증가하는 대립가설의 패턴에서는 Tukey-Kramer 방법이 나머지 두 검정법에 비해 검정력이 높았다. 모집단의 분포가 지수분포인 경우 소표본일때는 감소하였다가 큰 폭으로 증가하는 패턴과 완만하게 감소하는 패턴을 제외한 모든 대립가설에서 제안한 방법의 검정력이 가장 높았다.
- Cauchy분포에서는 소표본일때는 완만하다가 증가하여 정점을 찍고 다시 감소하여 완만한 형태의 패턴과 완만하게 증가하다가 큰 폭으로 감소하는 패턴, 일정한 간격으로 감소와 증가를 반복하는 패턴에서는 제안한 방법의 검정력이 가장 높았다. 대표본일때는 완만하다가 증가하여 정점을 찍고 다시 감소하여 완만한 패턴과 일정한 간격으로 감소와 증가를 반복하는 패턴에서 제안된 방법의 검정력이 가장 높고 KruskalWallis 순위합 다중비교 방법, Tukey-Kramer 방법 순으로 검정력이 높았다.
- 모집단의 분포가 이중지수분포인 경우 소표본일때의 결과에서는 증가하여 정점을 찍고 감소하는 패턴, 증가하여 정점을찍고 큰폭으로 감소하는 패턴, 감소했다가 증가하는 패턴, 완만하다가 감소하는 패턴에서 제안한 방법의 검정력이 가장 높게 나타났다. 대표본일때의 결과에서는 완만하게 감소하는 패턴을 제외한 모든 대립가설의 패턴에서 제안한 방법의 검정력이 가장 높았다. 모집단의 분포가 Cauchy분포인 경우에는 표본크기와 상관없이 대부분의 대립가설에서 제안한 방법의 검정력이 Tukey-Kramer 방법, Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법보다 높음을 알 수 있다.
- 모집단의 분포가 지수분포인 경우 소표본일때는 대부분의 패턴에서 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법, 제안한 방법, Tukey-Kramer 방법의 순으로 검정력의 차이가 있었다. 대표본일때의 결과에서는 일정한 간격으로 감소와 증가를 반복하는 패턴에서 제안한 방법, Kruskal-Wallis 순위합 다중비교방법, Tukey-Kramer 방법의 순으로 높은 검정력을 보였다. 모집단의 분포가 이중지수분포인 경우 표본크기와 상관없이 완만하다가 증가하여 정점을 찍고 다시 감소하여 완만한 형태의 패턴과 일정한 간격으로 감소와 증가를 반복하는 패턴에서는 제안한 방법의 검정력이 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법의 검정력보다도 높았으며 모든 패턴에서 Tukey-Kramer 방법보다 높은 검정력을 보였다.
- 본 논문에서 제안한 방법은 처리의 수가 큰 경우 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법에 비해 다소 낮은 검정력을 보였지만 처리의 수가 작은 경우에는 표본의 크기와 상관없이 기존의 방법들보다 제안한 방법의 검정력이 컸음을 알 수 있다. 또한 처리의 수가 작은 경우 Cauchy분포에서는 대부분의 대립가설에서 제안한 방법의 검정력이 다른 두 방법에 비해 높게 나타났다. 따라서 적절한 분포와 효율적인 형태의 대립가설에서 본 논문에서 제안한 방법을 사용한다면 효율적인 분석을 하는데 도움이 될 수 있다.
- 모의실험의 전체적인 결과를 보면 Tukey-Kramer 방법은 정규분포에서는 FWE를 잘 제어했지만 다른 3개의 분포에서는 잘 제어하지 못했음을 알 수 있다. Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법은 처리의 수가 작을 때 FWE를 잘 제어하고 있으며 본 논문에서 제안한 방법은 모든 분포에서 표본크기와 상관없이 FWE를 잘 제어함을 알 수 있다.
- 대표본일때의 결과에서는 완만하게 감소하는 패턴을 제외한 모든 대립가설의 패턴에서 제안한 방법의 검정력이 가장 높았다. 모집단의 분포가 Cauchy분포인 경우에는 표본크기와 상관없이 대부분의 대립가설에서 제안한 방법의 검정력이 Tukey-Kramer 방법, Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법보다 높음을 알 수 있다.
- 9884로 근소한 차이가 났음을 알 수 있다. 모집단의 분포가 이중지수분포인 경우 소표본일때의 결과에서는 증가하여 정점을 찍고 감소하는 패턴, 증가하여 정점을찍고 큰폭으로 감소하는 패턴, 감소했다가 증가하는 패턴, 완만하다가 감소하는 패턴에서 제안한 방법의 검정력이 가장 높게 나타났다. 대표본일때의 결과에서는 완만하게 감소하는 패턴을 제외한 모든 대립가설의 패턴에서 제안한 방법의 검정력이 가장 높았다.
- 대표본일때의 결과에서는 일정한 간격으로 감소와 증가를 반복하는 패턴에서 제안한 방법, Kruskal-Wallis 순위합 다중비교방법, Tukey-Kramer 방법의 순으로 높은 검정력을 보였다. 모집단의 분포가 이중지수분포인 경우 표본크기와 상관없이 완만하다가 증가하여 정점을 찍고 다시 감소하여 완만한 형태의 패턴과 일정한 간격으로 감소와 증가를 반복하는 패턴에서는 제안한 방법의 검정력이 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법의 검정력보다도 높았으며 모든 패턴에서 Tukey-Kramer 방법보다 높은 검정력을 보였다. Cauchy분포에서는 소표본일때는 완만하다가 증가하여 정점을 찍고 다시 감소하여 완만한 형태의 패턴과 완만하게 증가하다가 큰 폭으로 감소하는 패턴, 일정한 간격으로 감소와 증가를 반복하는 패턴에서는 제안한 방법의 검정력이 가장 높았다.
- 5인 우산형 대립가설의 패턴과 완만하게 감소하는 패턴, 감소했다가큰 폭으로 증가하는 대립가설의 패턴에서는 Tukey-Kramer 방법이 나머지 두 검정법에 비해 검정력이 높았다. 모집단의 분포가 지수분포인 경우 소표본일때는 감소하였다가 큰 폭으로 증가하는 패턴과 완만하게 감소하는 패턴을 제외한 모든 대립가설에서 제안한 방법의 검정력이 가장 높았다. 대표본일때는 대부분의 패턴에서 제안한 방법의 검정력이 가장 높았다.
- 처리의 수가 5개인 경우 정규분포에서는 표본의 크기와 상관없이 대부분의 패턴에서 Tukey-Kramer 방법의 검정력이 가장 높았으나, 정규분포를 제외한 지수분포, 이중지수분포, Cauchy분포에서는 TukeyKramer 방법이 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법과 제안된 방법에 비해 대체로 낮은 검정력을 보였다. 모집단의 분포가 지수분포인 경우 소표본일때는 대부분의 패턴에서 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법, 제안한 방법, Tukey-Kramer 방법의 순으로 검정력의 차이가 있었다. 대표본일때의 결과에서는 일정한 간격으로 감소와 증가를 반복하는 패턴에서 제안한 방법, Kruskal-Wallis 순위합 다중비교방법, Tukey-Kramer 방법의 순으로 높은 검정력을 보였다.
- 본 논문에서 제안한 방법은 처리의 수가 큰 경우 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법에 비해 다소 낮은 검정력을 보였지만 처리의 수가 작은 경우에는 표본의 크기와 상관없이 기존의 방법들보다 제안한 방법의 검정력이 컸음을 알 수 있다. 또한 처리의 수가 작은 경우 Cauchy분포에서는 대부분의 대립가설에서 제안한 방법의 검정력이 다른 두 방법에 비해 높게 나타났다.
- 0500의 값을 얻었다. 이를 통해 Tukey-Kramer 방법과 제안한 방법이 FWE를 비교적 잘 제어하고 있음을 알 수 있다. 지수분포에서는 Tukey-Kramer 방법이 소표본일때 0.
- 05에 근접한 값을 가진 것을 알 수 있다. 이중지수분포에서는 Tukey-Kramer 방법이 소표본에서 0.0429, 대표본에서 0.0461의 값을 얻었으며 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법과 제안한 방법은 표본의 크기와 상관없이 0.0492에서 0.0499의 값을 얻었다. Cauchy분포에서는 Tukey-Kramer 방법과 Kruskal-Wallis순위합 다중비교 방법의 FWE가 다른 분포들에 비해 0.
- 검정력을 보면, 처리의 수가 3인 경우 총 표본의 크기와 상관없이 대부분의 분포에서 본 논문에서 제안한 방법이 기존의 방법들 보다 높은 검정력을 보였다. 정규분포에서는 Tukey-Kramer 방법의 검정력이 제안한 방법들과 비슷하거나 높았지만 정규분포를 제외한 다른 분포들에서는 대부분의 대립가설에서 본 논문에서 제안한 방법이 나머지 두 방법들에 비해 높은 검정력을 보였다. 처리의 수가 5인 경우 대부분의 분포에서 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법의 검정력이 가장 높았지만, 일정한 간격으로 감소와 증가를 반복하는 패턴에서는 분포와 표본크기에 상관없이 제안한 방법의 검정력이 가장 높았다.
- 이를 통해 Tukey-Kramer 방법과 제안한 방법이 FWE를 비교적 잘 제어하고 있음을 알 수 있다. 지수분포에서는 Tukey-Kramer 방법이 소표본일때 0.0390, 대표본일때 0.0429의 값을 얻었고, Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법은 소표본일때 0.0469, 대표본일때 0.0499의 값을 얻었고 제안한 방법은 소표본일때 0.0500, 대표본일때 0.0499의 값을 얻어 0.05에 근접한 값을 가진 것을 알 수 있다. 이중지수분포에서는 Tukey-Kramer 방법이 소표본에서 0.
- 처리의 수가 3개인 경우 각 처리의 효과가 모두 동일할 때 FWE가 0.05를 잘 만족하는지 살펴보면, 정규분포에서는 Tukey-Kramer 방법이 소표본일때 0.0503, 대표본일때 0.0504의 값을 얻었고 KruskalWallis 순위합 다중비교 방법은 소표본일때 0.0503, 대표본일때 0.0512의 값을 얻었으며 제안한 방법은 0.0501,0.0500의 값을 얻었다. 이를 통해 Tukey-Kramer 방법과 제안한 방법이 FWE를 비교적 잘 제어하고 있음을 알 수 있다.
- 처리의 수가 5개인 경우 정규분포에서는 표본의 크기와 상관없이 대부분의 패턴에서 Tukey-Kramer 방법의 검정력이 가장 높았으나, 정규분포를 제외한 지수분포, 이중지수분포, Cauchy분포에서는 TukeyKramer 방법이 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법과 제안된 방법에 비해 대체로 낮은 검정력을 보였다. 모집단의 분포가 지수분포인 경우 소표본일때는 대부분의 패턴에서 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법, 제안한 방법, Tukey-Kramer 방법의 순으로 검정력의 차이가 있었다.
- 정규분포에서는 Tukey-Kramer 방법의 검정력이 제안한 방법들과 비슷하거나 높았지만 정규분포를 제외한 다른 분포들에서는 대부분의 대립가설에서 본 논문에서 제안한 방법이 나머지 두 방법들에 비해 높은 검정력을 보였다. 처리의 수가 5인 경우 대부분의 분포에서 Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법의 검정력이 가장 높았지만, 일정한 간격으로 감소와 증가를 반복하는 패턴에서는 분포와 표본크기에 상관없이 제안한 방법의 검정력이 가장 높았다.
- 대표본일때는 대부분의 패턴에서 제안한 방법의 검정력이 가장 높았다. 특히 지수분포에서 정점이 1.5인 우산형 대립가설의 패턴에서의 검정력은 제안한 방법은 0.9883, Kruskal-Wallis 순위합 다중비교 방법은 0.9884로 근소한 차이가 났음을 알 수 있다. 모집단의 분포가 이중지수분포인 경우 소표본일때의 결과에서는 증가하여 정점을 찍고 감소하는 패턴, 증가하여 정점을찍고 큰폭으로 감소하는 패턴, 감소했다가 증가하는 패턴, 완만하다가 감소하는 패턴에서 제안한 방법의 검정력이 가장 높게 나타났다.
후속연구
- 또한 처리의 수가 작은 경우 Cauchy분포에서는 대부분의 대립가설에서 제안한 방법의 검정력이 다른 두 방법에 비해 높게 나타났다. 따라서 적절한 분포와 효율적인 형태의 대립가설에서 본 논문에서 제안한 방법을 사용한다면 효율적인 분석을 하는데 도움이 될 수 있다.
- 추후에 일원배치모형에서의 다중비교에 관한 연구에서 정보의 손실을 최소화 하는 방식으로 접근하여 합리적인 통계량을 도출하는 방법을 생각해 볼 수 있다. 또한 본 논문에서 제안한 결합위치 통계량을 확장하여 기존 방법들의 단점을 보완할 수 있는 다중비교 검정법에 대해 연구해 본다면 본 논문은 또 다른 연구를 위한 유용한 비모수 다중비교 방법이 될 것이라고 기대된다.
- 추후에 일원배치모형에서의 다중비교에 관한 연구에서 정보의 손실을 최소화 하는 방식으로 접근하여 합리적인 통계량을 도출하는 방법을 생각해 볼 수 있다. 또한 본 논문에서 제안한 결합위치 통계량을 확장하여 기존 방법들의 단점을 보완할 수 있는 다중비교 검정법에 대해 연구해 본다면 본 논문은 또 다른 연구를 위한 유용한 비모수 다중비교 방법이 될 것이라고 기대된다.
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