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문제 정의
- 나병환자의 치료법을 연구하기 위하여 새로 개발된 2가지 약과 기존의 약의 효과를 비교하고자 각 치료 약에 나병환자를 랜덤하게 배정하였다. 각 환자는 치료약을 투입하기 전에 먼저 몸 안에 있는 나병균의 실제 수를 측정하고, 치료 후 다시 나병균수를 측정하였다.
- 본 논문에서는 Jeon과 Kim (2016)이 제안한 점수함수를 이용한 선형위치통계량을 잔차(covariate adjusted-residual)에 적용하여 공분산분석의 새로운 비모수적 검정법을 제안하고 검정통계량의 근사분포를 제시하였다. 처리 별 표본크기가 같을 때 잔차를 이용한 결합위치검정법이 잔차를 이용한 K-W검정법과 동일하며 기각역의 표본크기와 처리 수가 제한적이라는 한계점을 보완하기 위해 제안하였으며, Monte-Carlo simulation을 통해 제안방법과 기존의 모수적 방법인 공분산분석법(ANCOVA), 잔차를 이용한 ANOVA 검정법, 그리고 비모수적 방법인 RANK ANCOVA 검정법, 잔차를 이용한 K-W검정법, 잔차를 이용한 결합위치 검정법의 제 1종 오류 제어 정도와 검정력(power)을 비교하였다.
- 본 논문에서는 공분산분석에서 선형위치통계량을 이용한 새로운 비모수적 검정법을 제안하였다. 잔차를 이용한 결합위치검정법이 처리 별 표본크기가 같을 때 잔차를 이용한 K-W검정법과 동일하며 기각역이 제한적이라는 한계점을 보완하기 위함이며, 검정통계량은 반응변수에 미치는 공변량효과를 제어하기 위해 처리에 관계없이 반응변수에 독립변수로 회귀분석을 시행하여 얻은 잔차(covariate adjustedresidual)에 Jeon과 Kim (2016)이 제안한 점수함수를 이용한 선형위치통계량을 적용하여 만들었다.
제안 방법
- 처리 수는 3개, 6개인 경우, 각 처리별 표본크기는 모두 같은 경우와 모두 다른 경우, 소표본인 경우와 대표본인 경우를 고려하였다. 각 처리 별 표본크기가 동일한 경우에는 R K-W검정법이 R_JP검정법의 통계량과 동일하기 때문에 R_KW검정법만 살펴보았다. 유의수준 α를 0.
- 나병환자의 치료법을 연구하기 위하여 새로 개발된 2가지 약과 기존의 약의 효과를 비교하고자 각 치료 약에 나병환자를 랜덤하게 배정하였다. 각 환자는 치료약을 투입하기 전에 먼저 몸 안에 있는 나병균의 실제 수를 측정하고, 치료 후 다시 나병균수를 측정하였다. 이 때 X는 실험하기 전의 나병균의 수, Y 는 실험 후의 나병균의 수라고 하자.
- 공변량은 한 개인 경우만 고려하였으며 연속형 변수임을 고려하여 난수는 정규분포에서 추출하였고 공변량 효과를 나타내는 회귀계수 β는 1로 고정하였다.
- 비교한 기존 방법들 중 모수적인 방법으로는 공분산분석법(ANCOVA)과 처리 구분 없이 단순선형회귀를 통해 구한 잔차(adjustedresidual)에 분산분석을 적용한 방법(R ANOVA)이 있고 비모수적인 방법으로는 Quade (1967)가 제안한 RANK ANCOVA검정법과 잔차에 Kruskal-Wallis검정법을 적용한 방법(R_KW), 그리고 Hwang과 Kim (2012)이 제안한 잔차에 결합위치를 적용한 방법(R_JP)가 있다. 모집단의 분포는 정규분포, 지수분포, Cauchy분포, 이중지수분포를 고려하였다. 공변량은 한 개인 경우만 고려하였으며 연속형 변수임을 고려하여 난수는 정규분포에서 추출하였고 공변량 효과를 나타내는 회귀계수 β는 1로 고정하였다.
- 본 논문에서 제안하는 방법은 위와 동일한 방법으로 구한 잔차를 이용한 결합위치에 선형위치통계량을 적용하는 것이다. Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치에 대한 선형위치통계량은 다음과 같이 정의된다.
- 본 논문에서는 제안방법인 공분산분석에서 선형위치통계량을 이용한 검정법과 모수적, 비모수적인 기존의 검정법들의 제 1종 오류 제어 정도와 검정력을 비교하였다. 비교한 기존 방법들 중 모수적인 방법으로는 공분산분석법(ANCOVA)과 처리 구분 없이 단순선형회귀를 통해 구한 잔차(adjustedresidual)에 분산분석을 적용한 방법(R ANOVA)이 있고 비모수적인 방법으로는 Quade (1967)가 제안한 RANK ANCOVA검정법과 잔차에 Kruskal-Wallis검정법을 적용한 방법(R_KW), 그리고 Hwang과 Kim (2012)이 제안한 잔차에 결합위치를 적용한 방법(R_JP)가 있다.
데이터처리
- 특히 Cauchy분포에서 처리가 3개일 때, 대립가설 형태에 관계없이 기존 검정법들의 검정력보다 높아 유용하다. 또한 Cauchy분포에서 처리 수에 관계없이 처리 별 표본크기가 같은 경우, RANK ANCOVA검정법 다음으로 높은 검정력을 가졌다. 정규분포일 때 제안방법이 가장 낮은 검정력을 보이지만 일반적으로 정규분포를 따르는 자료에는 모수적 방법을 사용하므로 큰 문제가 되지 않는다고 볼 수 있다.
- 공변량은 한 개인 경우만 고려하였으며 연속형 변수임을 고려하여 난수는 정규분포에서 추출하였고 공변량 효과를 나타내는 회귀계수 β는 1로 고정하였다. 모의실험을 위한 프로그램은 SAS를 사용하였고 정규분포는 RANNOR함수, 지수분포는 RANEXP함수, Cauchy분포는 RANCAU함수, 그리고 이중지수분포는 RANUNI함수에 대해 역변환 방법을 적용하여 난수를 생성하였다. 유의수준 α는 0.
- 유의수준 α를 0.05로 보정하기 위해 확률화 검정을 실시하였으며 위와 같은 조건 하에서 각 검정법들에 대한 검정력을 비교하기 위하여 10,000번의 검정을 시행하는 Monte Carlo 모의실험을 실시하였다.
- 잔차를 이용한 결합위치검정법이 처리 별 표본크기가 같을 때 잔차를 이용한 K-W검정법과 동일하며 기각역이 제한적이라는 한계점을 보완하기 위함이며, 검정통계량은 반응변수에 미치는 공변량효과를 제어하기 위해 처리에 관계없이 반응변수에 독립변수로 회귀분석을 시행하여 얻은 잔차(covariate adjustedresidual)에 Jeon과 Kim (2016)이 제안한 점수함수를 이용한 선형위치통계량을 적용하여 만들었다. 제안방법과 기존 방법들의 제 1종 오류 정도와 검정력을 비교하기 위해 Monte-Carlo simulation을 시행하였으며 정규분포, 지수분포, Cauchy분포, 이중지수 분포에서 각 검정법을 비교하였다.
- 본 논문에서는 Jeon과 Kim (2016)이 제안한 점수함수를 이용한 선형위치통계량을 잔차(covariate adjusted-residual)에 적용하여 공분산분석의 새로운 비모수적 검정법을 제안하고 검정통계량의 근사분포를 제시하였다. 처리 별 표본크기가 같을 때 잔차를 이용한 결합위치검정법이 잔차를 이용한 K-W검정법과 동일하며 기각역의 표본크기와 처리 수가 제한적이라는 한계점을 보완하기 위해 제안하였으며, Monte-Carlo simulation을 통해 제안방법과 기존의 모수적 방법인 공분산분석법(ANCOVA), 잔차를 이용한 ANOVA 검정법, 그리고 비모수적 방법인 RANK ANCOVA 검정법, 잔차를 이용한 K-W검정법, 잔차를 이용한 결합위치 검정법의 제 1종 오류 제어 정도와 검정력(power)을 비교하였다.
이론/모형
- 본 논문에서는 Jeon과 Kim (2016)이 제안한 점수함수인 ϕ(x) = |1 − 2x|를 고려한다.
- 잔차를 이용한 K-W검정법은 모든 처리의 잔차값을 합친 혼합표본에서 Rij의 순위인 Iij를 사용한다. 귀무가설 H0 : τ1 = τ2 = · · · = τk과 일반 대립가설 H1 : τi들이 모두 같지는 않다를 검정하기 위한 검정통계량 HR은 다음과 같다.
- 본 논문에서는 공분산분석에서 선형위치통계량을 이용한 새로운 비모수적 검정법을 제안하였다. 잔차를 이용한 결합위치검정법이 처리 별 표본크기가 같을 때 잔차를 이용한 K-W검정법과 동일하며 기각역이 제한적이라는 한계점을 보완하기 위함이며, 검정통계량은 반응변수에 미치는 공변량효과를 제어하기 위해 처리에 관계없이 반응변수에 독립변수로 회귀분석을 시행하여 얻은 잔차(covariate adjustedresidual)에 Jeon과 Kim (2016)이 제안한 점수함수를 이용한 선형위치통계량을 적용하여 만들었다. 제안방법과 기존 방법들의 제 1종 오류 정도와 검정력을 비교하기 위해 Monte-Carlo simulation을 시행하였으며 정규분포, 지수분포, Cauchy분포, 이중지수 분포에서 각 검정법을 비교하였다.
- 두 번째는 잔차를 이용한 Kruskal-Wallis 검정법(K-W검정법)이다 (Kruskal과 Wallis, 1952). 잔차에 K-W검정법을 적용시킨 방법으로 잔차에 대해 처리 구분 없이 매긴 통합순위를 이용한다. 여기서 K-W검정법은 Mann-Whitney의 U통계량을 확장한 것이며 비교 그룹이 3개 이상일 때 그룹 간 효과 차이를 검정하는 비모수적 검정법이다.
성능/효과
- 검정법들이 제 1종 오류를 잘 제어할 수 있는가를 확인해보면 공분산분석법은 Cauchy분포에서 전체적으로 0.0351 이하의 값을 가지지만 이를 제외한 나머지 분포에서는 처리 수와 처리 별 표본 크기에 관계없이 0.05 근처의 값을 얻어 제 1종 오류를 잘 제어하였다. RANK ANCOVA검정법은 처리가 3개이고 처리 별 표본크기가 같으면서 소표본일 때 정규분포에서 0.
- 05에 가까운 값을 가졌다. 마지막으로 본 논문의 제안방법을 살펴보면 처리가 3개이고 처리 별 표본수가 다를 때 지수분포에서 대표본인 경우 0.0543의 값을 가졌지만 이를 제외한 나머지 경우에선 0.05 근처의 값을 가졌다. 전체적으로 모수적 방법들은 대체로 Cauchy분포에서 제 1종 오류를 잘 제어하지 못하고 그 경향이 비슷하며 비모수적 방법 중에서는 RANK ANCOVA와 제안방법이 제 1종 오류를 잘 제어하였다.
- 처리 별 표본크기가 같은 경우에는 처리 수에 관계없이 RANK ANCOVA의 검정력이 가장 높았고 그 다음으로 제안방법의 검정력이 높았다. 마지막으로 이중지수분포에서 처리 별 표본크기가 다르고 처리가 3개인 경우에는 소표본이고 대립가설 형태가 완만하다 마지막 처리에서 증가하는 패턴에서 R_JP검정법의 검정력이 가장 높았지만 나머지 경우는 제안방법의 검정력이 R_JP검정법과 비슷하거나 더 높았다. 처리가 6개인 경우에는 대립가설 형태가 완만하다 마지막 처리에서 증가하는 패턴에서 제안방법의 검정력이 가장 높았고 나머지 대립가설의 형태에서는 R_JP검정법의 검정력이 가장 높았다.
- 모의실험 결과에 따라 본 논문의 제안방법은 대체적으로 처리가 3개일 때 처리 별 표본크기가 다르고 표준정규분포에 비하여 꼬리가 두터운 Cauchy분포와 이중지수분포에서 검정력이 높은 경향을 보였다. 특히 Cauchy분포에서 처리가 3개일 때, 대립가설 형태에 관계없이 기존 검정법들의 검정력보다 높아 유용하다.
- 본 논문의 제안방법은 처리 별 표본크기가 같을 때 잔차를 이용한 결합위치검정법이 잔차를 이용한 Kruskal-Wallis 검정법과 동일하다는 한계점 보완과 함께 Cauchy분포에 대해 두 검정법보다 높은 검정력을 보여 그 유용성도 입증하였다고 볼 수 있다. 또한 처리 별 표본크기가 클 때, 검정통계량이 표준정규분포로 수렴하여 기존 결합위치검정법의 기각역이 제한적이라는 한계점을 보완하였다는 점에서 유용한 비모수 검정법이 될 것으로 기대된다.
- 이제 검정력을 살펴보면 전체적으로 분포, 처리 수, 검정법, 대립가설 형태가 동일할 때 대표본인 경우가 소표본인 경우보다 검정력이 더 증가하는 경향이 있었다. 정규분포에서는 모수적 방법들인 ANCOVA검정법과 R ANOVA검정법의 검정력이 가장 높았으며, 특히 ANOCVA검정법이 R ANOVA검정법과 비슷하거나 더 높았다.
- 05 근처의 값을 가졌다. 전체적으로 모수적 방법들은 대체로 Cauchy분포에서 제 1종 오류를 잘 제어하지 못하고 그 경향이 비슷하며 비모수적 방법 중에서는 RANK ANCOVA와 제안방법이 제 1종 오류를 잘 제어하였다.
- 이제 검정력을 살펴보면 전체적으로 분포, 처리 수, 검정법, 대립가설 형태가 동일할 때 대표본인 경우가 소표본인 경우보다 검정력이 더 증가하는 경향이 있었다. 정규분포에서는 모수적 방법들인 ANCOVA검정법과 R ANOVA검정법의 검정력이 가장 높았으며, 특히 ANOCVA검정법이 R ANOVA검정법과 비슷하거나 더 높았다. 하지만 처리 수에 관계없이, 처리 별 표본크기가 다르고 소표본일 때, 대립가설의 형태에 따라 R JP검정법이 다른 모수적 검정법들의 검정력보다 더 높았다.
- 하지만 처리 수에 관계없이, 처리 별 표본크기가 다르고 소표본일 때, 대립가설의 형태에 따라 R JP검정법이 다른 모수적 검정법들의 검정력보다 더 높았다. 지수분포에서는 처리 별 표본크기가 다른 경우에는 대부분 R_JP검정법, 처리 별 표본크기가 같은 경우에는 R_KW검정법이 가장 높은 검정력을 보였다. 하지만 처리가 3개이고 대립가설의 형태가 완만한 형태를 보이다 마지막 처리에서 증가하는 패턴(τ1 = 0, τ2 = 0, τ3 = 1), 점점 증가하는 패턴(τ1 = 0, τ2 = 0.
- 5), 감소하는 계단형 패턴에서는 RANK ANCOVA의 검정력이 더 높았다. 처리 별 표본크기가 같은 경우에는 처리 수에 관계없이 RANK ANCOVA의 검정력이 가장 높았고 그 다음으로 제안방법의 검정력이 높았다. 마지막으로 이중지수분포에서 처리 별 표본크기가 다르고 처리가 3개인 경우에는 소표본이고 대립가설 형태가 완만하다 마지막 처리에서 증가하는 패턴에서 R_JP검정법의 검정력이 가장 높았지만 나머지 경우는 제안방법의 검정력이 R_JP검정법과 비슷하거나 더 높았다.
- 마지막으로 이중지수분포에서 처리 별 표본크기가 다르고 처리가 3개인 경우에는 소표본이고 대립가설 형태가 완만하다 마지막 처리에서 증가하는 패턴에서 R_JP검정법의 검정력이 가장 높았지만 나머지 경우는 제안방법의 검정력이 R_JP검정법과 비슷하거나 더 높았다. 처리가 6개인 경우에는 대립가설 형태가 완만하다 마지막 처리에서 증가하는 패턴에서 제안방법의 검정력이 가장 높았고 나머지 대립가설의 형태에서는 R_JP검정법의 검정력이 가장 높았다. 처리 별 표본크기가 같은 경우엔 대부분 R_KW검정법의 검정력이 가장 높았다.
- 처리가 6개인 경우에도 처리가 3개인 경우와 비슷하게 대립가설의 형태가 완만하다 마지막 처리에서 증가하는 패턴, 감소하는 계단형 패턴(τ1 = 2, τ2 = 2, τ3 =1, τ4 = 1, τ5 = 0.5, τ6 = 0), 그리고 우산형 패턴(τ1 = 0, τ2 = 0, τ3 = 1, τ4 = 2, τ5 = 1, τ6 = 0)일때 처리 별 표본 크기가 같고 소표본인 경우를 제외하면 본 논문의 제안방법의 검정력이 R_JP검정법 또는 R_KW검정법과 비슷하거나 더 높았다.
- 하지만 처리가 3개이고 대립가설의 형태가 완만한 형태를 보이다 마지막 처리에서 증가하는 패턴(τ1 = 0, τ2 = 0, τ3 = 1), 점점 증가하는 패턴(τ1 = 0, τ2 = 0.5, τ3 = 1.5), 그리고 가파른 우산형 패턴(τ1 = 0, τ2 = 1, τ3 = 0)인 경우에는 제안방법의 검정력이 R_JP검정법 또는 R_KW검정법과 비슷하거나 더 높았다.
- 하지만 처리가 6개일 때 대립가설 형태가 아래로 우산형인 패턴(τ1 = 2, τ2 = 1.5, τ3 = 1, τ4 = 0, τ5 = 0.5, τ6 = 1.5), 감소하는 계단형 패턴에서는 RANK ANCOVA의 검정력이 더 높았다.
후속연구
- 추후에 결합위치검정법에 대한 연구가 진행된다면 본 논문에서 이용한 점수함수 이외에 처리 별 표본크기가 같은 경우에서도 기존 방법들 중 가장 높은 검정력을 도출할 수 있는 새로운 점수함수를 이용한 선형위치통계량에 대한 연구가 필요할 것으로 생각된다. 또한 이차 함수 형태를 띄는 점수함수를 적용할 수 있을 것으로 보인다.
- 본 논문의 제안방법은 처리 별 표본크기가 같을 때 잔차를 이용한 결합위치검정법이 잔차를 이용한 Kruskal-Wallis 검정법과 동일하다는 한계점 보완과 함께 Cauchy분포에 대해 두 검정법보다 높은 검정력을 보여 그 유용성도 입증하였다고 볼 수 있다. 또한 처리 별 표본크기가 클 때, 검정통계량이 표준정규분포로 수렴하여 기존 결합위치검정법의 기각역이 제한적이라는 한계점을 보완하였다는 점에서 유용한 비모수 검정법이 될 것으로 기대된다. 추후에 결합위치검정법에 대한 연구가 진행된다면 본 논문에서 이용한 점수함수 이외에 처리 별 표본크기가 같은 경우에서도 기존 방법들 중 가장 높은 검정력을 도출할 수 있는 새로운 점수함수를 이용한 선형위치통계량에 대한 연구가 필요할 것으로 생각된다.
- 또한 처리 별 표본크기가 클 때, 검정통계량이 표준정규분포로 수렴하여 기존 결합위치검정법의 기각역이 제한적이라는 한계점을 보완하였다는 점에서 유용한 비모수 검정법이 될 것으로 기대된다. 추후에 결합위치검정법에 대한 연구가 진행된다면 본 논문에서 이용한 점수함수 이외에 처리 별 표본크기가 같은 경우에서도 기존 방법들 중 가장 높은 검정력을 도출할 수 있는 새로운 점수함수를 이용한 선형위치통계량에 대한 연구가 필요할 것으로 생각된다. 또한 이차 함수 형태를 띄는 점수함수를 적용할 수 있을 것으로 보인다.
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