MiC 교과서의 과제에 대한 인지적 요구 수준 탐색 -'자료 분석과 확률' 영역을 중심으로- An Exploration of Cognitive Demand Level in MiC Textbook based on the Tasks of 'Data Analysis and Probability'원문보기
수학 수업에서 교사가 학생들이 제시할 적절한 과제를 선정하는 것은 중요하며 다양한 유형의 수학적 과제를 수반하는 수학 교과서의 효율적인 활용 또한 유의미하다고 할 수 있다(NCTM, 2000). 이러한 맥락에서 수학적 과제와 관련하여 이를 수반하는 수학 교과서의 탐색 및 분석은 의미 있는 일이며, 이때 수학적 과제들을 중심으로 구현된 MiC 교과서의 탐색이 적절할 것으로 판단된다. 그리하여 본 연구에서는 MiC 교과서에서 다루고 있는 수학적 과제들을 대상으로 학생들이 다양한 유형의 수학적 과제들을 통해 겪게 되는 인지적 요구 수준에 대해 살펴보고자 하였다. 본 연구에서는 2006년에 출판된 MiC 교과서를 대상으로 하되, MiC 교과서의 모든 내용을 다루기에는 방대하므로 학교 안팎의 실생활 소재나 문제 상황이 보다 풍부한 '자료 분석과 확률' 영역을 선정하여 중학교급에 한정하여 다루기로 하였다. 한 마디로, 본 연구에서는 Stein 외(2009)가 제안한 과제 유형별 특징, 즉 '인지적 요구 수준(cognitive demand level)'을 기반으로 과제 유형 분석틀을 재구성하여 마련하고, 이를 토대로 MiC 교과서에서 다루고 있는 총 22개의 수학적 과제들의 수준(유형)을 살펴보고자 하였다. 끝으로, 본 연구 목적에 따라 도출된 양질의 결과를 토대로 교수 학습 자료의 개발 및 활용을 위한 제언을 덧붙이고자 한다.
수학 수업에서 교사가 학생들이 제시할 적절한 과제를 선정하는 것은 중요하며 다양한 유형의 수학적 과제를 수반하는 수학 교과서의 효율적인 활용 또한 유의미하다고 할 수 있다(NCTM, 2000). 이러한 맥락에서 수학적 과제와 관련하여 이를 수반하는 수학 교과서의 탐색 및 분석은 의미 있는 일이며, 이때 수학적 과제들을 중심으로 구현된 MiC 교과서의 탐색이 적절할 것으로 판단된다. 그리하여 본 연구에서는 MiC 교과서에서 다루고 있는 수학적 과제들을 대상으로 학생들이 다양한 유형의 수학적 과제들을 통해 겪게 되는 인지적 요구 수준에 대해 살펴보고자 하였다. 본 연구에서는 2006년에 출판된 MiC 교과서를 대상으로 하되, MiC 교과서의 모든 내용을 다루기에는 방대하므로 학교 안팎의 실생활 소재나 문제 상황이 보다 풍부한 '자료 분석과 확률' 영역을 선정하여 중학교급에 한정하여 다루기로 하였다. 한 마디로, 본 연구에서는 Stein 외(2009)가 제안한 과제 유형별 특징, 즉 '인지적 요구 수준(cognitive demand level)'을 기반으로 과제 유형 분석틀을 재구성하여 마련하고, 이를 토대로 MiC 교과서에서 다루고 있는 총 22개의 수학적 과제들의 수준(유형)을 살펴보고자 하였다. 끝으로, 본 연구 목적에 따라 도출된 양질의 결과를 토대로 교수 학습 자료의 개발 및 활용을 위한 제언을 덧붙이고자 한다.
Mathematical tasks in general introduce and deal with real-life situations, and they derive to students' thinking fluently in solving the given tasks. The tasks might be considered as an important and significant factor to lead a successful mathematical teaching and learning situation. MiC Textbook ...
Mathematical tasks in general introduce and deal with real-life situations, and they derive to students' thinking fluently in solving the given tasks. The tasks might be considered as an important and significant factor to lead a successful mathematical teaching and learning situation. MiC Textbook is a representative one showing such good examples and tasks. This study explores concretely and in detail the cognitive demand level of mathematical tasks, by the subject of MiC Textbook. To accomplish this, this study is to reconstruct more elaborately the analysis framework developed by Hwang and Park in 2013. The framework basically was set up utilizing 'the cognitive demand level' suggested by Stein, et, al. The cognitive demand level is divided into two levels such as low level and high level. The low level is comprized of two elements such as Memorization Tasks(MT), Procedures Without Connections Tasks(PNCT), and high level is Procedures With Connections Tasks(PWCT), and Doing Mathematics Tasks(DMT). This study deals with the tasks on the area of 'data analysis and statistics' in MiC 1, 2, 3 level Textbook. As a result, mathematical tasks of MiC Textbook led learners to deal with and understand mathematical content for themselves, and furthermore to do leading roles for checking and reinforcing the content. Also, mathematical tasks of MiC Textbook are comprized of the tasks suitable to enhance mathematical thinking ability through communication. In addition, mathematical tasks of MiC Textbook tend to offer more learning opportunity to learners' themselves while the level of MiC Textbook is going up.
Mathematical tasks in general introduce and deal with real-life situations, and they derive to students' thinking fluently in solving the given tasks. The tasks might be considered as an important and significant factor to lead a successful mathematical teaching and learning situation. MiC Textbook is a representative one showing such good examples and tasks. This study explores concretely and in detail the cognitive demand level of mathematical tasks, by the subject of MiC Textbook. To accomplish this, this study is to reconstruct more elaborately the analysis framework developed by Hwang and Park in 2013. The framework basically was set up utilizing 'the cognitive demand level' suggested by Stein, et, al. The cognitive demand level is divided into two levels such as low level and high level. The low level is comprized of two elements such as Memorization Tasks(MT), Procedures Without Connections Tasks(PNCT), and high level is Procedures With Connections Tasks(PWCT), and Doing Mathematics Tasks(DMT). This study deals with the tasks on the area of 'data analysis and statistics' in MiC 1, 2, 3 level Textbook. As a result, mathematical tasks of MiC Textbook led learners to deal with and understand mathematical content for themselves, and furthermore to do leading roles for checking and reinforcing the content. Also, mathematical tasks of MiC Textbook are comprized of the tasks suitable to enhance mathematical thinking ability through communication. In addition, mathematical tasks of MiC Textbook tend to offer more learning opportunity to learners' themselves while the level of MiC Textbook is going up.
* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.
문제 정의
한 마디로, 이 연구를 통하여 MiC 교과서의 ‘자료 분석과 확률’ 영역의 총 22개의 과제들을 대상으로 과제 유형 분석틀에 맞춰 과제들의 인지적 요구 수준을 분석하고, 이를 토대로 과제들의 수준별 특징을 살펴보고자 하였다. 끝으로, 본 연구 목적에 따라 도출된 양질의 결과를 토대로 교수․학습 자료의 개발 및 활용을 위한 제언을 덧붙이고자 한다.
MT에서는 특별한 절차나 응용이 필요 없고 PNCT에서는 보통 적용할 절차가 주어지며 그 과정이 매우 단순하다. 또, PWCT는 앞서 제시된 것들과는 달라서 절차가 주어지더라도 다양한 과정을 생각할 수 있고 수학적인 개념과 근본적으로 연관되며, 더 나아가 DMT에서는 수학적 개념을 연결 짓고 문제를 해결하는데 단계를 탐구하고 이해하도록 한다. 이러한 수학적 과제의 인지적 요구 수준은 학생들이 얼마나 수학적으로 이해하고 있는지에 영향을 미친다고 한다(홍창준, 김구연, 2012).
본 연구에서는 MiC 교과서에 제시된 수학적 과제 22개를 대상으로 인지적 요구 수준을 살펴보기 위하여 Stein 외(2009)가 제안한 네 단계의 과제 유형, 즉 MT, PNCT, PWCT, DMT를 토대로 분석틀을 마련하고자 하였다. 이때, 본 연구에서는 선행 연구(황혜정, 박현파, 2013)의 분류 방법을 이용하되, 이를 수정 보완하여 <표 Ⅲ-1>을 마련하였다.
이러한 맥락에서 수학적 과제와 관련하여 이를 수반하고 활용하는 수학 교과서의 탐색 및 분석은 의미 있는 일이며, 이때 수학적 과제 중심으로 구성된 MiC 교과서의 탐색이 적절할 것으로 판단된다. 본 연구에서는 MiC교과서에서 다루고 있는 수학적 과제들을 대상으로 학생들이 다양한 유형의 수학적 과제들을 통해 겪게 되는 인지적 요구 수준을 살펴보고자 하였다. Stein 외(2009)는 학생들에게 일상적인 방식으로 기억하고 있는 절차들을 수행하도록 요구하는 인지적 요구 수준이 낮은 과제는 학생들의 사고를 협의로 이끌기 쉬운 반면, 수학적으로 의미 있는 것이나 관련된 수학적 아이디어들을 의식적으로 연계되도록 이끄는 인지적 요구 수준이 상대적으로 높은 과제들은 학생들의 사고를 융통성 있고 폭넓게 제공할 수 있다고 하였다.
이러한 여러 선행 연구에 기초하여 본 연구에서는 2006년 Wisconsin Center for Education Research &Freudenthal Institute(eds.)에 의해 출판된 MiC 교과서를 대상으로, 우선 Stein 외(2009)가 제안한 과제 유형별 특징, 즉 ‘인지적 요구 수준(cognitive demand level)’의 특징을 기반으로 과제 유형 분석틀을 마련하고자 하였다.
이처럼, 수학적 문제해결 능력이나 학업 성취 능력 등과 같은 인지적 측면뿐만 아니라 학습 태도 및 흥미와 같은 정의적 측면에서의 능력 향상을 유도하여 긍정적이고 효율적인 수업 결과를 가져오도록 하는 것은 중요한 일일 것이다. 이를 위하여 교사가 교수·학습 목표에 부합하고 학생들의 인지 수준에 맞는 수학적 과제 또는 문제를 선정하는데 있어서 (본 연구에서 다룬) 과제의 인지적 요구 수준이 하나의 지표가 되기를 바라는 바이다.
가설 설정
또, 은 본 연구에서의 과제의 인지적 요구 수준을 판별하기 위한 분석틀이며, 이때 최종 과제의 결정은 과제 유형별 총 개수가 가장 많은 것으로 정하였다.
제안 방법
MiC 교과서에서 다뤄지는 내용은 크게 ‘수(Number)’, ‘대수(Algebra)’, ‘기하와 측정(Geometry and Measurement)’, ‘자료 분석과 확률(Data Analysis and Probability)’인데 본 연구에서 모든 내용을 다루기에는 방대하므로, 학교 안팎의 실생활 소재나 문제 상황이 보다 풍부한 ‘자료 분석과 확률’ 영역의 과제 및 문제들을 선정하여 중학교급에 한정하여 다루었다.
결국, 이와 같은 방법과 절차에 의하여 모든 과제들의 인지적 요구 수준을 판단하고자 하였으며, 다만 본고에서는 지면 관계상 Treasure 과제 하나에 대한 분석 과정만을 제시하고, 나머지 21개 과제에 대해서는 생략하였다.
본 연구는 우리나라의 중학교 확률과 통계 영역에 해당하는 MiC Level 1, 2, 3 교과서의 ‘자료 분석과 확률’영역의 5개 단원을 대상으로 하였으며, Stein 외(2009)의 인지적 요구 수준의 특징을 토대로 과제 유형 분석틀을 재구성하여 마련하였다.
본 연구에서는 Stein 외(2009)의 수학적 과제의 정의에 기초하여 ‘교사의 안내와 지도하에 학생들로 하여금 수업 시간에 수학적 개념을 바르고 보다 깊이 있게 이해할 수 있도록 탐구, 시행착오 등의 추론 활동을 수반하는 문제’를 수학적 과제로 간주하였다.
본 연구에서는 앞 장의 과 같은 방법과 절차에 의하여, 본 연구 대상인 22개의 모든 과제들에 대한 과제 유형을 분석하였으며, 그 결과는 다음 과 같다.
셋째, 4가지의 과제 유형별로 해당 유형에 속하는 문항의 총 개수를 세고, 가장 많은 개수를 포함하는 하나의 과제 유형(즉, MT, PNCT, PWCT, DMT 중 하나)을 선정하여, 이를 인지적 요구 수준이 가장 강한 과제로 간주한다.
본 연구는 우리나라의 중학교 확률과 통계 영역에 해당하는 MiC Level 1, 2, 3 교과서의 ‘자료 분석과 확률’영역의 5개 단원을 대상으로 하였으며, Stein 외(2009)의 인지적 요구 수준의 특징을 토대로 과제 유형 분석틀을 재구성하여 마련하였다. 이 분석틀을 이용하여 총 22개의 수학적 과제를 인지적 요구 수준에 따라 MT, PNCT, PWCT, DMT의 4가지 과제 유형에 대해 살펴보았으며, 이에 따라 본 연구에서 얻은 몇몇 결론은 다음과 같다.
)에 의해 출판된 MiC 교과서를 대상으로, 우선 Stein 외(2009)가 제안한 과제 유형별 특징, 즉 ‘인지적 요구 수준(cognitive demand level)’의 특징을 기반으로 과제 유형 분석틀을 마련하고자 하였다. 이 틀은 2013년에 기 개발된 것을 면밀히 검토하여 보다 정교하게 수정․보완하였다. MiC 교과서에서 다뤄지는 내용은 크게 ‘수(Number)’, ‘대수(Algebra)’, ‘기하와 측정(Geometry and Measurement)’, ‘자료 분석과 확률(Data Analysis and Probability)’인데 본 연구에서 모든 내용을 다루기에는 방대하므로, 학교 안팎의 실생활 소재나 문제 상황이 보다 풍부한 ‘자료 분석과 확률’ 영역의 과제 및 문제들을 선정하여 중학교급에 한정하여 다루었다.
그 중 답이나 풀이가 정형화되어 있지 않은 물음의 답을 정하고 그 이유를 설명하는 형태의 문항들이 과제마다 대부분 포함되어 있다. 이러한 과제들 중 해결 절차가 제시되어 있으면 PWCT, 해결 절차가 제시되어 있지 않으면 DMT인 high level 과제로 간주하였다. 이때, high level 과제를 해결하다 보면 다양한 아이디어를 창안하게 되고 그 이유를 설명하는 과정에서 의사소통을 통해 공유할 수 있으며 이런 활동은 학생들 간의 상호작용을 통해 비판적이고 협력적인 사고 능력을 배양할 수 있을 것으로 예견된다.
또, 이은영과 이광호(2015)는 초등학교의 6학년 세 학급 교사를 대상으로 수학적 과제의 인지적 수준에 대한 해당 교사의 수업 반성이 수학 수업에 어떠한 영향을 주는지 분석하여 초등 교사의 수업에 시사점을 제공하고자 하였다. 이를 위해 수학 수업에서 과제를 설정하고 과제를 실행하는 동안, 수학적 과제의 인지적 수준의 변화와 그 변화에 영향을 준 교실 요인을 분석하였다. 이 연구는 일반적으로 ‘어떻게’ 또는 ‘왜’에 대한 질문이 제기되었을 때 선호되는 탐색적 정성 사례 연구 방법을 이용하였으며, 그 결과 수학적 과제의 인지적 수준이 쇠퇴했던 수업이 ‘수업 반성’을 통해 수학적 과제의 인지적 수준을 높게 유지하는 수학 수업으로 변화하였음을 도출하였다.
첫째, 해당 과제에 제시된 모든 문항들에 대하여 세 가지 사항(즉, 물음 요지, 해결 방법, 선행 지식)을 중심으로 제시한다.
한 마디로, 이 연구를 통하여 MiC 교과서의 ‘자료 분석과 확률’ 영역의 총 22개의 과제들을 대상으로 과제 유형 분석틀에 맞춰 과제들의 인지적 요구 수준을 분석하고, 이를 토대로 과제들의 수준별 특징을 살펴보고자 하였다.
대상 데이터
본 연구에서 다루는 ‘자료 분석과 확률’ 영역 내용에는 MiC 교과서에서 5개 단원2) 하에 9개 section, 그리고 총 25개 과제가 포함되어 있으며, 이를 정리하여 나타내면 과 같다.
성능/효과
또, <표 Ⅳ-2>으로부터 단원별 수학적 과제의 인지적 요구 수준에 따른 분포율을 살펴보면 다음과 같다.6) 우선, Take a Chance 단원에서는 MT와PNCT에 해당하는 과제는 각각 0%, 71%로 나타났고 PWCT와 DMT에 해당하는 과제는 29%, 0%로 나타났다. 이로써 low level의 수학적 과제가 Take a Chance에서 총 71%이고, high level의 수학적 과제는 총 29%라는 것을 알 수 있다.
또한, 황혜정과 박현파(2013)은 Stein 외(2009)의 과제 특징들을 토대로 과제 유형의 분석틀을 개발하고, 이 분석틀을 이용하여 MiC Level 3 교과서의 3개 함수 단원에 제시된 총 34개의 수학적 과제를 대상으로 인지적 요구 정도를 분석하였다. 그 결과, MiC 교과서는 과제 해결을 통하여 함수와 관련된 기본 개념 학습에 중점을 두고 있으며, MiC 교과서는 대체적으로 다양한 수준의 과제들이 적절히 구성된 교수․학습 자료의 형태를 띠고 있었다. 또, MiC 교과서는 우리나라 교과서에 비해 상대적으로 설명보다는 학생 스스로 알아낼 수 있게끔 인지적 요구 정도가 조금 더 높은 수학적 과제들을 제시하고 있다고 하였다.
홍창준과 김구연(2012)은 우리나라 2007년 개정 교육과정에 따른 중학교 수학 교과서 5종을 선택하여, 함수 단원에 포함된 과제들을 Stein & Smith(1998)이 제안한 과제 유형 분석틀을 토대로 분석하였다. 그 결과, 중학교 교과서의 함수 단원의 대부분의 수학 과제가 Low Level인 것으로 나타났고, High Level 수학 과제의 분포는 학년이 올라갈수록 줄어들고, 알고리즘적이고 간단한 절차만을 이용해서 정답을 유도하는 과제가 주로 제시된 것으로 나타났다고 한다. 이처럼, 학생들이 Low Level 과제로만 수학을 배운다면 수학 학습의 지향점인 수학적인 사고력을 신장시키는데 한계가 있을 것이며, 이의 개선을 위해서는 인지적으로 높은 수준 그리고 절차가 복잡한 과제를 제시할 필요가 있다는 결론을 도출하였다.
이는 low level의 수학적 과제가 전체 평균 분포율보다 낮고 high level의 수학적 과제가 전체 평균 분포율보다 높다는 사실을 보여준다. 그리고 Second Chance 단원에서 MT와 PNCT에 해당하는 과제는 각각 0%, 40%로 나타났고 PWCT와 DMT에 해당하는 과제는 각각 20%, 40%로 나타났다. 이로써 low level의 수학적 과제가 Second Chance에서 총 40%이고, high level의 수학적 과제는 총 60%라는 것을 알 수 있다.
넷째, MiC 교과서의 ‘자료 분석과 확률’ 영역의 수학적 과제의 인지적 요구 수준은 수학 내용 자체의 어려움이나 복잡한 정도에 따라 대체적으로 높아지는 양상을 나타냈다.
다섯째, 본 연구에서 다룬 MiC 교과서의 ‘자료 분석과 확률’ 영역 내용의 수학적 과제는 선행 연구에서 다룬 MiC 교과서의 ‘함수’ 영역 내용의 수학적 과제의 인지적 요구 척도 값보다 높게 나타나는 양상을 보였다.
둘째, MiC 교과서의 ‘자료 분석과 확률’ 영역의 수학적 과제는 학생들끼리 또는 학생과 교사간의 의사소통을 통해 수학적 사고력을 향상시킬 수 있는 과제로 이루어져 있다고 볼 수 있다.
또, Dealing with Data 단원에서의 MT와 PNCT에 해당하는 과제는 각각 13%, 0%로 나타났고 PWCT와 DMT에 해당하는 과제는 각각 74%, 13%로 나타났다. 이로써 low level의 수학적 과제가 Dealing with Data에서 총 13%이고, high level의 수학적 과제는 총 87%라는 것을 알 수 있다.
이는 low level의 수학적 과제가 전체 평균 분포율보다 높고 high level의 수학적 과제가 전체 평균 분포율보다 낮다는 사실을 보여준다. 또, MiC Level 2 교과서에서는 MT와 PNCT에 해당하는 과제는 각각 8%, 15%로 나타났고 PWCT와 DMT에 해당하는 과제는 각각 54%, 23%로 나타났다. 이로써 low level의 수학적 과제가 MiC 교과서 Level 2에서 총 23%이고, high level의 수학적 과제는 총 57%라는 것을 알 수 있다.
또한, MiC Level 3 교과서는 하나의 과제만을 포함하고 있는데 이는 high level의 PWCT에 해당하는 과제이다. 또한, MiC level 1, 2, 3 교과서의 인지적 요구 수준 척도는 각각 1.38, 1.77, 2로 나타났고, 이로써 MiC 교과서는 Level이 올라갈수록 인지적 요구 수준 척도 값도 증가하고 있음을 알 수 있다. 앞의 <표 Ⅳ-1>에서 알 수 있듯이, MiC Level 1, 2, 3 교과서의 내용은 우리나라 교육과정의 것과 비교해 볼 때, 내용의 위계에 따라 구성되어 있지 않으며, 그럼에도 불구하고 교과서의 Level이 올라갈수록 인지적 요구 수준 척도 값이 증가함을 보여준 것은 인지적 요구의 수준이 수학적 내용 자체의 어려운 정도에 따라 달라지기 보다는 해당 내용의 과제의 수준, 즉 과제의 난이도, 복합성, 복잡한 정도 등에 따라 영향을 받는 것으로 볼 수 있다.
또한, Second Chance 단원의 Section A는 low level에 속하는 PNCT도 있지만 high level에 속하는 PWCT와 DMT가 좀 더 많이 분포되어 있다. 마지막으로, Insights into Data 단원의 Section E는 high level에 속하는 PWCT가 분포되어 있음을 알 수 있다.
셋째, MiC 교과서의 ‘자료 분석과 확률’ 영역의 수학적 과제는 교과서의 Level이 올라갈수록 스스로의 학습 기회를 보다 빈번히 제공하는 경향이 있다.
위의 에 따르면, MiC Level 1 교과서의 경우, MT와 PNCT에 해당하는 과제는 각각 0%, 72%로 나타났고 PWCT와 DMT에 해당하는 과제는 각각 28%, 0%로 나타났다.
위의 에 따르면, 총 22개 수학적 과제들 중 low level의 MT와 PNCT에 해당하는 과제는 각각 4%와 32%로 나타났고, high level의 PWCT와 DMT에 해당하는 과제는 각각 50%, 14%로 나타났다.
이 연구는 일반적으로 ‘어떻게’ 또는 ‘왜’에 대한 질문이 제기되었을 때 선호되는 탐색적 정성 사례 연구 방법을 이용하였으며, 그 결과 수학적 과제의 인지적 수준이 쇠퇴했던 수업이 ‘수업 반성’을 통해 수학적 과제의 인지적 수준을 높게 유지하는 수학 수업으로 변화하였음을 도출하였다.
이 표를 그래프로 나타내면 [그림 Ⅳ-3]과 같으며, [그림 Ⅳ-3]을 살펴보면 우리나라 2015 교육과정에 따른 중학교 수학과 교육과정의 확률과 통계 영역에서의 ‘ 자료의 정리와 해석’ 영역의 [9수05-01]의 성취기준에 속하는 수학적 과제는 모두 high level인 PWCT를 나타내고 있어 변화를 볼 수 없었지만, ‘ 확률과 그 기본 성질’ 영역의 [9수05-04]와 [9수05-05]의 성취기준에 속하는 수학적 과제들은 low level인 PNCT와 high level 수준인 PWCT가 함께 나타나 있는 것을 확인할 수 있다.
이 표에서와 같이 인지적 요구 수준의 수치화하여 평균 점수로 나타낸 인지적 요구 수준 척도 값을 보면, 자료의 정리와 해석’ 영역의 인지적 요구 수준 척도 값은 2이고, ‘ 확률과 그 기본 성질’ 영역의 인지적 요구 수준 척도 값은 1.42로 가장 낮았고, ‘대푯값과 산포도’ 영역의 인지적 요구 수준 척도 값은 1.7로 전체의 평균 척도 값인 1.63에 가장 가까웠고, ‘상관관계’ 영역의 인지적 요구 수준 척도 값은 2임을 알 수 있다.
또, Dealing with Data 단원에서의 MT와 PNCT에 해당하는 과제는 각각 13%, 0%로 나타났고 PWCT와 DMT에 해당하는 과제는 각각 74%, 13%로 나타났다. 이로써 low level의 수학적 과제가 Dealing with Data에서 총 13%이고, high level의 수학적 과제는 총 87%라는 것을 알 수 있다. 이는 low level의 수학적 과제가 전체 평균 분포율보다 낮고 high level의 수학적 과제가 전체 평균 분포율보다 높다는 사실을 보여준다.
위의 <표 Ⅳ-3>에 따르면, MiC Level 1 교과서의 경우, MT와 PNCT에 해당하는 과제는 각각 0%, 72%로 나타났고 PWCT와 DMT에 해당하는 과제는 각각 28%, 0%로 나타났다. 이로써 low level의 수학적 과제가 MiC 교과서 Level 1에서 총 72%이고, high level의 수학적 과제는 총 28%라는 것을 알 수 있다. 이는 low level의 수학적 과제가 전체 평균 분포율보다 높고 high level의 수학적 과제가 전체 평균 분포율보다 낮다는 사실을 보여준다.
또, MiC Level 2 교과서에서는 MT와 PNCT에 해당하는 과제는 각각 8%, 15%로 나타났고 PWCT와 DMT에 해당하는 과제는 각각 54%, 23%로 나타났다. 이로써 low level의 수학적 과제가 MiC 교과서 Level 2에서 총 23%이고, high level의 수학적 과제는 총 57%라는 것을 알 수 있다. 이는 low level의 수학적 과제가 전체 평균 분포율보다 낮고 high level의 수학적 과제가 전체 평균 분포율보다 높다는 사실을 나타낸다.
그리고 Second Chance 단원에서 MT와 PNCT에 해당하는 과제는 각각 0%, 40%로 나타났고 PWCT와 DMT에 해당하는 과제는 각각 20%, 40%로 나타났다. 이로써 low level의 수학적 과제가 Second Chance에서 총 40%이고, high level의 수학적 과제는 총 60%라는 것을 알 수 있다. 이는 low level과 high level의 수학적 과제가 전체 평균 분포율(36%, 64%)과 약간의 차이는 있지만 비슷하다는 사실을 나타낸다.
6) 우선, Take a Chance 단원에서는 MT와PNCT에 해당하는 과제는 각각 0%, 71%로 나타났고 PWCT와 DMT에 해당하는 과제는 29%, 0%로 나타났다. 이로써 low level의 수학적 과제가 Take a Chance에서 총 71%이고, high level의 수학적 과제는 총 29%라는 것을 알 수 있다. 이는 low level의 수학적 과제가 전체 평균 분포율보다 높고 high level의 수학적 과제가 전체 평균 분포율보다 낮다는 사실을 보여준다.
그 결과, 중학교 교과서의 함수 단원의 대부분의 수학 과제가 Low Level인 것으로 나타났고, High Level 수학 과제의 분포는 학년이 올라갈수록 줄어들고, 알고리즘적이고 간단한 절차만을 이용해서 정답을 유도하는 과제가 주로 제시된 것으로 나타났다고 한다. 이처럼, 학생들이 Low Level 과제로만 수학을 배운다면 수학 학습의 지향점인 수학적인 사고력을 신장시키는데 한계가 있을 것이며, 이의 개선을 위해서는 인지적으로 높은 수준 그리고 절차가 복잡한 과제를 제시할 필요가 있다는 결론을 도출하였다. 또한, 황혜정과 박현파(2013)은 Stein 외(2009)의 과제 특징들을 토대로 과제 유형의 분석틀을 개발하고, 이 분석틀을 이용하여 MiC Level 3 교과서의 3개 함수 단원에 제시된 총 34개의 수학적 과제를 대상으로 인지적 요구 정도를 분석하였다.
첫째, MiC 교과서의 ‘자료 분석과 확률’ 영역의 수학적 과제는 학습 내용을 학생들에게 설명하여 전달하고 그것을 점검하게 하기 보다는 학생들 스스로 학습 내용을 전개하여 이해하고 해당 내용들을 확인하도록 이끄는 경향이 높음을 알 수 있다.
한 마디로, 에서 알 수 있는 바와 같이, 수학적 과제의 전체적인 인지적 요구 수준을 평균 점수로 나타낸 결과는 1.64이며, 이는 수학적 과제의 수준이 평균적으로 low level과 high level의 중간 수준에 해당할 경우 척도 값이 1.5이므로 본 연구에서 다룬 과제들의 전체적인 수준은 high level 수준에 보다 근접한 것으로 볼 수 있다.
후속연구
각 과제들은 몇몇 문항들로 구성되어 있어 과제를 분석하는 일은 곧 문항들을 분석하는 것이므로, 의 과제 유형 분석틀에 맞춰 인지적 요구 수준을 적절히 파악하기 위해서는 모든 과제들에 속해 있는 문항들을 일관성 있게 살펴보아야 할 것이다.
궁극적으로, 적정한 과제 선정에 있어서 교사의 역할이 중요할 터인데, 교과서 안에서 교사가 학생들의 인지 수준 및 수업 상황 등을 고려하여 낮은 수준의 수학적 과제와 높은 수준의 수학적 과제를 적절히 조정하여 제시하고, 개입의 정도를 조절하여 학습의 어려움을 경감시키며 흥미를 느낄 수 있게 유도해야 할 것이다. 이처럼, 수학적 문제해결 능력이나 학업 성취 능력 등과 같은 인지적 측면뿐만 아니라 학습 태도 및 흥미와 같은 정의적 측면에서의 능력 향상을 유도하여 긍정적이고 효율적인 수업 결과를 가져오도록 하는 것은 중요한 일일 것이다.
그러려면 본문 내용 전개보다는 과제 활동에 중심을 두는 교수·학습 자료를 개발하여 활용함으로써 학생들의 수학적 사고력 향상을 도울 필요가 있겠다.
끝으로, 성공적인 수학 수업을 위해서는 여러 가지 과제 유형이 균등하게 분포한 적절한 수준의 교과서가 필요할 것이다. 학생들의 수준을 고려하지 않고 인지적 요구 수준이 높은 과제들을 중심으로 수업을 진행한다면 학생들의 수학적 문제해결 능력이나 성취도의 향상을 절대적으로 기대하거나 보장하기 힘들며, 또한 인지적 요구 수준이 낮은 과제들로만 이루어져 있다면 높은 수준의 인지적 능력의 학습 효과를 기대하기 어려울 것이다.
이는 교과서의 Level이 올라갈수록 과제를 푸는 절차가 필요 없고 긴 시간을 요구하지 않는 MT나 알고리즘적인 PNCT의 과제 해결 보다는, 비알고리즘적인 과제의 해결을 통해 학생들 스스로 학습할 시간과 기회를 주고 그들 스스로가 주도하는 학습이 되도록 돕는 것으로 해석할 수 있다. 다만, 본 연구에서는 우리나라 중학교 과정에 맞춘 MiC 교과서의 내용만을 찾아 비교하다보니 MiC Level 3에 해당하는 Section이 한 개 밖에 없어서 유의미한 비교가 이뤄지지 못한 아쉬움이 남는다. 따라서 중학교뿐만 아니라 초·중등학교의 ‘자료 분석과 확률’ 영역 내용을 전반적으로 다룸으로써 연구 결론의 타당성을 높일 필요가 있다.
다만, 이러한 결론의 타당성을 견고히 하려면 초등학교와 고등학교의 ‘확률과 통계’ 영역에서도 내용의 위계에 따라 인지적 요구 수준이 높아지고 있는지 살펴보아야 할 것이다.
이런 결론 도출에 좀 더 무게감을 싣기 위해서는 MiC 교과서의 초·중등학교 ‘자료 분석과 확률’ 영역의 전체 내용은 물론, 더 나아가 다른 영역의 과제에 대한 인지적 요구 수준에 따른 과제 유형과도 비교 분석해 볼 필요가 있겠다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
Mathematics in Context는 어떤 문제를 해결할 수 있게 하는가?
이에 부합하는 교과서의 예로, 현실주의 수학교육을 강조한 프로이덴탈(Freudenthal)의 이론을 배경으로 하는 미국 수학 교과서, Mathematics in Context(이하 MiC라 칭함)를 들 수 있다. MiC 교과서는 주어진 과제 또는 문제 상황을 통하여 자연스럽게 수학이 필요함을 인식하게 하기 때문에 학생들이 수학을 현실의 여러 상황을 정리하고 조직하여 문제를 해결하는 도구로서 이용할 수 있으며, 학습의 흐름을 자연스럽게 연결하여 문제해결 전략을 고안하고 학생들로 하여금 그러한 문제를 해결할 수 있도록 한다(최선희, 이대현, 2012). 또한, MiC 교과서는 수학화 활동 과정에서 학생 상호간, 교사와 학생간의 의사소통을 통하여 의견 공유가 가능하며, 이러한 과정을 통해 자신의 생각을 회고하여 보다 나은 아이디어를 표출할 수 있는 기회를 가지고 서로간의 도움을 줄 수 있도록 구성되어 있다고 한다.
수학적 과제는 무엇인가?
이렇듯, 수학을 효과적으로 지도하는데 있어서 수학 과제의 의미와 역할이 중요하며, 교실 수업에서 교사가 학생들에게 제시할 적절한 수학적 과제를 선택하는 것 또한 중요하고 이를 위해서 다양한 유형의 수학적 과제를 수반하는 수학 교과서의 활용은 유의미할 것이다(NCTM, 2000). 이때, 수학적 과제는 학생들이 수학을 학습하기 위해 참여하는 여러 가지 활동들을 총칭하는 것이다.
MiC 교과서는 어떻게 구성되어 있는가?
MiC 교과서는 주어진 과제 또는 문제 상황을 통하여 자연스럽게 수학이 필요함을 인식하게 하기 때문에 학생들이 수학을 현실의 여러 상황을 정리하고 조직하여 문제를 해결하는 도구로서 이용할 수 있으며, 학습의 흐름을 자연스럽게 연결하여 문제해결 전략을 고안하고 학생들로 하여금 그러한 문제를 해결할 수 있도록 한다(최선희, 이대현, 2012). 또한, MiC 교과서는 수학화 활동 과정에서 학생 상호간, 교사와 학생간의 의사소통을 통하여 의견 공유가 가능하며, 이러한 과정을 통해 자신의 생각을 회고하여 보다 나은 아이디어를 표출할 수 있는 기회를 가지고 서로간의 도움을 줄 수 있도록 구성되어 있다고 한다. 이렇듯, 수학을 효과적으로 지도하는데 있어서 수학 과제의 의미와 역할이 중요하며, 교실 수업에서 교사가 학생들에게 제시할 적절한 수학적 과제를 선택하는 것 또한 중요하고 이를 위해서 다양한 유형의 수학적 과제를 수반하는 수학 교과서의 활용은 유의미할 것이다(NCTM, 2000).
참고문헌 (22)
강정은 (2007). 중학교 수학 교과서 통계 단원 국제 비교 -한국, 미국, 싱가포르를 중심으로-. 한국교원대학교 대학원 석사학위논문. (Kang, Jung Eun (2007). An International Comparative Study on Statistics Section presented in Mathematics Textbook in Middle Schools-Cases in Korea, U.S. and Singapore-. Master's Dissertation, Korea National University of Education.)
구미영.이광호(2015). 인지적 요구 수준 및 사고 수준의 발달 방향에 따른 초등학교 길이 측정 단원의 수학과제 분석. 한국초등수학교육학회지, 19(3), 387-408. (Ku, Miyoung & Lee, Kwangho (2015). Analyzing and Restructuring Mathematical Tasks of Length Measurement in Elementary School Mathematics. Journal of elementary mathematics education in Korea, 19(3), 387-408.)
권성룡 (2015). 초등예비교사의 수학수업에서의 학습과제의 인지적 수준 분석. 한국수학교육학회지 시리즈 C , 18(2), 61-75. (Kwon, Sungyong (2015). An analysis on the level of cognitive demands of mathematical tasks set up by pre-service elementary school teachers. Education of primary school mathematics, 18(2), 61-75.)
김미희.김구연 (2013). 고등학교 교과서의 수학과제 분석. 학교수학, 15(1), 37-59. (Kim, Mihee & Kim, Gooyeon (2013). The Analysis of Mathematical Tasks in the High School Mathematics. School Mathematics, 15(1), 37-59.)
김민연 (2010). 중학교 수학교과서 개정에 따른 9단계 통계 단원에 대한 7차 교과서 분석. 이화여자대학교 교육대학원 석사학위논문. (Kim, Min Yeon (2010). An Analysis of the 7th Textbook on Statistical Section with Nine Stages according to the Revised Curriculum of Middle School Mathematics Textbook. Master's Dissertation, Ewha Womans University.)
박성환 (2015). 중학교 1학년 교과서의 수학적 과정에 대한 과제 분석. 충북대학교 교육대학원 석사학위논문. (Pack, Sung Hwan (2015). An Analysis of Tasks on the Mathematical Processes in the 1st grade of Middle School Math Textbooks. Master's Dissertation, Chungbuk National University.)
손재현 (2012). 문맥을 바탕으로 한 통계영역 교수 학습 자료 개발에 관한 연구. 전주교육대학교 교육대학원 석사학위논문. (Son, Jae Hyun (2012). A Research on Development of Instruction-Materials in Statistics based on Context. Master's Dissertation, Jeonju National University.)
우정호 (2011). 학교 수학의 교육적 기초. 서울대학교 출판부. (Woo Jung Ho (2011). A Educational foundation on School Mathematics. Seoul National University Publisher.)
이은영, 이광호 (2015). 교사의 수업반성이 수학 수업에 주는 영향 -수학적 과제의 인지적 수준을 중심으로-. 한국수학교육학회 시리즈 C , 18(2), 155-173. (Lee, Eun Young & Lee, Kwangho (2015). The Effect Of Teachers' Reflection For Mathematics Classroom Instruction -Focused on the cognitive demands of mathematical tasks-. Education of primary school mathematics, 18(2), 155-173.)
이미연, 오영열 (2007). 수학적 과제가 의사소통에 미치는 영향. 수학교육학연구, 17(4), 395-418. (Lee, Mi Yeon, Oh, Young Youl (2007). The Influence of Mathematical Tasks on Mathematical Communication. Journal of Educational Research in Mathematics, 17(4), 395-418.)
이병로 (2016). MiC 교과서를 활용한 교수-학습 자료 개발 및 적용: 중1 통계 단원을 중심으로. 전남대학교 교육대학원 석사학위논문. (Lee, Byung Lo (2016). The Development and Application of Teaching-Learning Materials Utilizing the Mic Textbooks. Master's Dissertation, Chonnam National University.)
임혜련 (2013). 중학교 통계단원 교과서와 미국의 MiC교과서 비교 분석. 상명대학교 교육대학원 석사학위논문. (Lim, Hye Ryeon (2013). A comparative analysis of the MiC textbooks with the middle grades mathematics textbook focused of statistics units. Master's Dissertation, Sangmyung University.)
조민정 (2011). 확률분포 개념에 대한 학생들의 이해 능력 및 지도내용 분석. 고려대학교 대학원 석사학위논문. (Cho, Min Jeong (2011). Analysis of Instructional Content and Students' Understanding Ability on the Concept of Probability Distribution. Master's Dissertation, Korea University.)
최선희, 이대현(2012). 우리나라 초등 교과서와 MiC 교과서의 통계 단원 비교 분석. 한국수학교육학회지 시리즈 C , 15(1), 41-52. (Choi, Seon-Hee & Lee, Dae-Hyun (2012). A comparison analysis of the Statistical sections between in the Korean Elementary Mathematics textbooks and the MiC textbooks, Education of primary school mathematics, 15(1), 41-52.)
최인영 (2013). 초등 수학 교수.학습 과정에서 의사소통 중심 과제의 인지적 수준 분석. 한국교원대학교 대학원 석사학위논문. (Choi, In-Young (2013). An Analysis of Cognitive Demands of Communication Centered Tasks in Elementary Mathematics Classrooms. Master's Dissertation, Korea National University of Education.)
홍창준, 김구연 (2012). 중학교 함수 단원의 수학과제 분석. 학교수학, 14(2), 213-232. (Hong, Chang-Jun & Kim, Goo-Yeon (2012). Functions in the Middle School Mathematics: The Cognitive Demand of the Mathematical Tasks. School Mathematics, 14(2), 213-232.)
황혜정, 박현파 (2013). MiC 교과서의 수학적 과제의 인지적 요구 정도 분석 -함수 내용을 중심으로-. 한국수학 교육학회지 시리즈 E , 27(4), 449-472. (Hwang, Hye Jeang & Park, Hyun-Pa (2013). Exploration on Mathematical Tasks on Function Content in MiC 3 level Textbook. Communications of mathematical education, 27(4), 449-472.)
Hierbert, J., et al.(1997). Making Sense: teaching and learning mathematics with understanding. 김수환, 박영희, 이경화, 한 대희(공역)(2004). 어떻게 이해하지. 서울:경문사.
Jonker, V., van Galen, F., Boswinkel, N., Wijers, M., Bakker, A., Simon, A. N., Burrill, G., & Middleton, J. A. (2005). Take a chance. In Wisconsin Center for Education Research & Freudenthal Institute(Eds.) Mathematics in Context. Chicago: Encyclopedia Britannica, Inc.
National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author.
Stein, M. K., & Smith, M. S. (1998). Mathematical tasks as a framework for reflection: from research to practice. Mathematics Teaching in the Middle School, 3, 268-275.
Stein, M. K., Smith, M. S., Henningsen, M. A., & Silver, E. A. (2009). Implementing standards-based mathematics instruction: A casebook for professional development(2nd ed). New York: Teachers College Press.
※ AI-Helper는 부적절한 답변을 할 수 있습니다.