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문제 정의
- 따라서 본 연구에서는 다양한 DEA 모형들의 변별력을 평가할 수 있는 새로운 변별력 평가지수를 제시하였다. 또한 이를 이용하여 기존 CCR 모형 및 BCC 모형과 선행 연구를 통해 변별력을 제공할 수 있는 모형으로 제시된 4개 DEA 모형의 변별력을 평가하고, 기존 변별력 평가지수의 평가결과를 비교하여 제시하였다.
- 본 연구에서는 DEA 모형의 변별력 평가에 이용할 수 있는 변동계수에 기반한 새로운 평가기준을 제시하였다. 변별력 평가를 위해 기존 연구에서 제시한 중요도와 본 연구에서 제안한 변동계수를 적용하여 변별력을 분석하였다.
제안 방법
- 계산된 효율성 점수를 바탕으로 개별모형의 중요도와 변동계수를 계산하고, 중요도와 변동계수를 기준으로 개별 모형의 변별력을 평가한다. CCR 모형과 개별 DEA 모형으로부터 도출된 효율성 순위 간에 상관관계가 존재하는지 여부를 평가하기 위해서 순위상관분석을 수행한다. 또한 BCC 모형과 개별 DEA 모형으로부터 도출된 효율성 값들에 대해서도 순위상관분석을 실시한다.
- 첫 번째는 CRS 가정하에서 투입지향 DEA 모형을 통해 효율성을 계산하고, 두 번째는 VRS 가정하에서 투입지향 DEA 모형을 통해 효율성을 계산한다. 계산된 효율성 점수를 바탕으로 개별모형의 중요도와 변동계수를 계산하고, 중요도와 변동계수를 기준으로 개별 모형의 변별력을 평가한다. CCR 모형과 개별 DEA 모형으로부터 도출된 효율성 순위 간에 상관관계가 존재하는지 여부를 평가하기 위해서 순위상관분석을 수행한다.
- 변별력 평가를 위해 기존 연구에서 제시한 중요도와 본 연구에서 제안한 변동계수를 적용하여 변별력을 분석하였다. 다양한 DEA 모형들 중 변별력 평가를 위해 CCR, BCC, Entropy, Bootstrap, Super efficiency, Cross efficiency DEA 모형을 선정하고 실증분석을 실시하였다. 모형들의 순위상관관계를 파악하기 위해서 CCR 모형과 BCC 모형의 효율성 값과 Entropy, Bootstrap, Super Efficiency, Cross efficiency 모형의 효율성 값들 간에 순위상관분석을 실시하였다.
- 실증분석은 미국 연방정부 차원에서 지원한 사회적 빈곤계층 지원 프로그램을 운영하고 있는 70개 초등학교의 운영 효율성 평가를 위한 Charnes(1981)의 데이터를 이용하였다. 데이터는 투입 변수로 어머니 교육수준, 직업지수, 부모방문지수, 부모상담지수, 교사 수 등 5개 변수로 구성되어 있고, 산출 변수로는 읽기성적, 수학성적, 자존감 점수 등 3개 변수로 구성되어 있다. 실증분석에 이용한 데이터의 기술통계량을 정리하면 다음과 같다.
- CCR 모형과 개별 DEA 모형으로부터 도출된 효율성 순위 간에 상관관계가 존재하는지 여부를 평가하기 위해서 순위상관분석을 수행한다. 또한 BCC 모형과 개별 DEA 모형으로부터 도출된 효율성 값들에 대해서도 순위상관분석을 실시한다.
- 따라서 본 연구에서는 다양한 DEA 모형들의 변별력을 평가할 수 있는 새로운 변별력 평가지수를 제시하였다. 또한 이를 이용하여 기존 CCR 모형 및 BCC 모형과 선행 연구를 통해 변별력을 제공할 수 있는 모형으로 제시된 4개 DEA 모형의 변별력을 평가하고, 기존 변별력 평가지수의 평가결과를 비교하여 제시하였다.
- 다양한 DEA 모형들 중 변별력 평가를 위해 CCR, BCC, Entropy, Bootstrap, Super efficiency, Cross efficiency DEA 모형을 선정하고 실증분석을 실시하였다. 모형들의 순위상관관계를 파악하기 위해서 CCR 모형과 BCC 모형의 효율성 값과 Entropy, Bootstrap, Super Efficiency, Cross efficiency 모형의 효율성 값들 간에 순위상관분석을 실시하였다.
- 본 연구에서는 DEA 모형의 변별력 평가에 이용할 수 있는 변동계수에 기반한 새로운 평가기준을 제시하였다. 변별력 평가를 위해 기존 연구에서 제시한 중요도와 본 연구에서 제안한 변동계수를 적용하여 변별력을 분석하였다. 다양한 DEA 모형들 중 변별력 평가를 위해 CCR, BCC, Entropy, Bootstrap, Super efficiency, Cross efficiency DEA 모형을 선정하고 실증분석을 실시하였다.
- 본 연구에서는 Alder 등(2002)이 제안한 방법의 문제점을 해결하기 위하여 Soleimani-damaneh와 Zarepisheh(2009)가 제시한 중요도 계산 방법을 수정하여 변별력 평가기준으로 이용하였다.
- 본 연구에서는 의사결정자의 사전정보가 필요하지 않은 모형들 중 Entropy 모형, Bootstrap 모형, 수정 Super efficiency 모형, Cross efficiency 모형을 선정하고 투입지향 CCR 모형과 투입지향 BCC 모형과의 비교를 통해 개별 모형의 변별력을 평가하였다. 본 연구에서 변별력 평가에 이용한 4개 DEA 모형을 요약하여 간략하게 설명하면 다음과 같다.
- 첫 번째 단계로 효율성을 평가하고자 하는 문제의 변수를 설정하고 데이터를 입력한다. 입력된 문제 정보를 바탕으로 크게 두 가지 범주의 DEA 효율성을 계산한다. 첫 번째는 CRS 가정하에서 투입지향 DEA 모형을 통해 효율성을 계산하고, 두 번째는 VRS 가정하에서 투입지향 DEA 모형을 통해 효율성을 계산한다.
- 입력된 문제 정보를 바탕으로 크게 두 가지 범주의 DEA 효율성을 계산한다. 첫 번째는 CRS 가정하에서 투입지향 DEA 모형을 통해 효율성을 계산하고, 두 번째는 VRS 가정하에서 투입지향 DEA 모형을 통해 효율성을 계산한다. 계산된 효율성 점수를 바탕으로 개별모형의 중요도와 변동계수를 계산하고, 중요도와 변동계수를 기준으로 개별 모형의 변별력을 평가한다.
- 본 연구와 관련된 추후 연구 과제를 정리하면 다음과 같다. 첫째, 본 연구에서 고려한 4개 모형 이외에 변별력을 제공할 수 있는 다양한 DEA 모형을 포함시켜 변별력을 분석하고 수행도를 비교․평가하는 것이다. 둘째, 다양한 DEA 문제의 변별력 평가를 통해 투입변수 수, 산출변수 수와 DMU 수간에 어떤 관계가 존재하는지를 규명하고, 문제 상황에 부합하는 변별력이 가장 우수한 DEA 모형을 찾는 것이다.
- DEA모형의 변별력에 관한 대표적인 선행연구로는 Alder 등(2002)에 의해 수행된 연구로 변별력 문제를 해결하기 위해서 기존 연구들에서 제안된 다양한 DEA 모형들이 완전한 순위를 제공하는지 여부를 검토하였다. 해당 연구에서는 DEA 모형을 Cross efficiency, Super efficiency, Benchmarking, 다변량 통계기법, 비효율성 비율척도, 선호도 정보 모형 등 6개 범주로 구분하였다. 연구결과에 따르면 다양한 문제 상황에서 완전한 효율성 순위를 제공하는 모형이 존재한다고 말할 수 없다고 설명하고 개별 모형이 유용한 특정 분야가 존재한다고 지적하였다.
대상 데이터
- 실증분석은 미국 연방정부 차원에서 지원한 사회적 빈곤계층 지원 프로그램을 운영하고 있는 70개 초등학교의 운영 효율성 평가를 위한 Charnes(1981)의 데이터를 이용하였다. 데이터는 투입 변수로 어머니 교육수준, 직업지수, 부모방문지수, 부모상담지수, 교사 수 등 5개 변수로 구성되어 있고, 산출 변수로는 읽기성적, 수학성적, 자존감 점수 등 3개 변수로 구성되어 있다.
이론/모형
- (2단계) {# (k=1, ···, L)}로부터 크기 L인 무작위 표본을 생성하여 {∅ #Latex구현필요, ···, ∅ #}를 제공하는 커넬밀 도추정(kernel density function)과 반사법을 사용한다.
- (단계 1) 변수들의 조합 집합들에 대하여 DEA 모형을 적용하여 효율성 행렬 Ejk를 구한다.
- Bagherikahvarin와 Smet(2016)의 연구에서는 DEA 변별력 향상을 위해 DEA-MCDA 모형을 결합한 통합 모형을 제시하였다. DEA 모형의 가중치 값을 제한하기 위해 PROMETHEE II(Preference Ranking Organization METHod for Enrichment of Evaluations)를 이용하여 DEA 과정에 선호도 정보를 반영하였다. Shen 등(2016)은 DEA 모형의 변별력을 개선하기 위하여 효율적 변경과 비효율적 변경(anti-efficient frontier) 간의 거리를 이용하였으며 순위상관분석을 통해 제안한 방법의 상관관계가 높음을 입증하였다.
- Entropy DEA 모형은 Xie 등(2014)에 의해 제안된 방법으로 투입 및 산출변수 선정에 따른 DEA 모형의 변별력 문제를 개선하기 위해서 Shannon’s Entropy 방법을 이용하였다.
성능/효과
- 스피어만 상관계수는 순위들간의 유사성을 측정하는 데 활용되는 척도로 계수 값이 1이면 두 비교대상의 순위가 완전히 일치한다는 것을 의미하고, 계수가 0이면 두 비교대상의 순위가 완전히 다르다는 것을 의미한다. CCR 모형은SE, Bootstrap, Entropy, CE 모형 순으로 순위상관관계가 높은 것으로 분석되었으며, BCC 모형도 SE, Bootstrap, Entropy, CE 모형 순으로 순위상관관계가 높은 것으로 분석되었다.
- CRS 가정하의 모형별 효율성과 순위 결과는 [표 2]와 같으며, CCR 모형의 경우 70개 DMU 중 49개 만 유일한 순위를 제공하는 것으로 분석되어 모형 변별력에 문제가 있는 것으로 나타났다. 나머지 4개 모형의 효율성 순위는 모두 유일한 순위를 제공하는 것으로 나타나 모형이 변별력이 있는 것으로 분석되었다.
- DEA 모형의 특성 상 변별력 순위는 투입변수와 산출변수의 조합에 따라 변경될 수 있으므로 본 연구에서 제안한 변동계수를 이용하여 변별력을 평가한 후 변별력이 가장 높은 모형을 이용하는 것이 바람직한 것으로 판단된다. 본 연구의 한계로는 본 연구를 통해 변별력 평가기준으로 제시한 변동계수를 보다 다양한 DEA 문제와 다양한 DEA 모형에 적용하여 변별력이 가장 우수한 DEA 모형을 제시하지 못했다는 점이다.
- [표 1]의 모형별 효율성 분석결과에 대한 밀도함수를 그래프로 나타내면 [그림 2]와 같으며 그림에서 보는 봐와 같이 SE 모형의 변별력이 가장 큰 것으로 나타났다. Entropy를 이용한 중요도와 변동계수를 이용한 변별력 평가결과는 [표 3]과 같으며, 중요도와 변동계수의 결과 순위는 일치하는 것으로 분석되었다. 변별력 순위는 SE, Entropy, CE, Bootstrap DEA 모형 순으로 분석되었으며, 계산 시간은 변동계수 방법보다 중요도를 이용한 변별력 계수가 4.
- [표 4]의 모형별 효율성 분석결과에 대한 밀도함수를 그래프로 나타내면 [그림 3]과 같으며 그림에서 보는 봐와 같이 SE 모형의 변별력이 가장 큰 것으로 나타났다. Entropy를 이용한 중요도와 변동계수를 이용한 변별력 평가결과는 [표 5]와 같으며, 중요도와 변동계수의 결과 순위는 일치하는 것으로 분석되었다. 변별력 순위는 SE, Entropy, CE, Bootstrap DEA 모형 순으로 분석되었으며, 계산 시간은 CRS 가정하의 분석결과와 동일하게 나타났다.
- VRS 가정하의 모형별 효율성과 순위 결과는 [표 4]와 같으며, BCC 모형의 경우 70개 DMU 중 40개 만 유일한 순위를 제공하는 것으로 분석되어 모형 변별력에 문제가 있는 것으로 나타났다. 나머지 4개 모형의 효율성 순위는 모두 유일한 순위를 제공하는 것으로 나타나 모형이 변별력이 있는 것으로 분석되었다.
- CRS 가정하의 모형별 효율성과 순위 결과는 [표 2]와 같으며, CCR 모형의 경우 70개 DMU 중 49개 만 유일한 순위를 제공하는 것으로 분석되어 모형 변별력에 문제가 있는 것으로 나타났다. 나머지 4개 모형의 효율성 순위는 모두 유일한 순위를 제공하는 것으로 나타나 모형이 변별력이 있는 것으로 분석되었다.
- 첫째, 본 연구에서 고려한 4개 모형 이외에 변별력을 제공할 수 있는 다양한 DEA 모형을 포함시켜 변별력을 분석하고 수행도를 비교․평가하는 것이다. 둘째, 다양한 DEA 문제의 변별력 평가를 통해 투입변수 수, 산출변수 수와 DMU 수간에 어떤 관계가 존재하는지를 규명하고, 문제 상황에 부합하는 변별력이 가장 우수한 DEA 모형을 찾는 것이다.
- 첫째, 중요도와 변동계수를 이용한 모형들의 변별력 순위가 동일한 것으로 분석되어 변동계수를 DEA 모형의 변별력 평가기준으로 이용할 수 있다. 둘째, 본 연구의 실증분석 결과에 따르면 4개 모형 중 Super efficiency 모형이 변별력이 가장 높은 것으로 분석되었다. 셋째, CCR 모형과 순위상관관계가 가장 높은 모형은 Super efficiency 모형으로 나타났고, BCC 모형과 순위상관관계가 가장 높은 모형도 Super efficiency 모형으로 분석되었다.
- [표 5]에서 보는 봐와 같이 중요도에 기반한 변별력 순위와 변동계수를 이용한 변별력 순위가 일치한다. 따라서 DEA 모형의 변별력 평가기준으로 본 연구에서 제안한 변동계수를 이용할 수 있다는 점을 제시한다.
- 투입변수의 기술통계량을 살펴보면 투입변수의 평균, 표준편차, 최소값, 최대값에 있어서 의사결정단위인 초등학교들 간에 매우 큰 차이를 보이고 있으며, 산출변수의 기술통계량에 있어서도 초등학교들 간에 상당한 차이를 보이고 있다. 변동계수는 표준편차를 평균으로 나눈 값으로 변수들의 변동 폭은 0.57에서 0.77로 분석되었다.
- Entropy를 이용한 중요도와 변동계수를 이용한 변별력 평가결과는 [표 5]와 같으며, 중요도와 변동계수의 결과 순위는 일치하는 것으로 분석되었다. 변별력 순위는 SE, Entropy, CE, Bootstrap DEA 모형 순으로 분석되었으며, 계산 시간은 CRS 가정하의 분석결과와 동일하게 나타났다.
- Entropy를 이용한 중요도와 변동계수를 이용한 변별력 평가결과는 [표 3]과 같으며, 중요도와 변동계수의 결과 순위는 일치하는 것으로 분석되었다. 변별력 순위는 SE, Entropy, CE, Bootstrap DEA 모형 순으로 분석되었으며, 계산 시간은 변동계수 방법보다 중요도를 이용한 변별력 계수가 4.5배 더 소요되는 것으로 분석되었다.
- 본 연구는 DEA 모형의 변별력 평가를 위한 평가기준을 제시하였다는 점에서는 기존 연구와 동일하지만 변별력 평가기준으로 Entropy를 이용한 방법 보다 변동계수를 이용한 방법의 계산과정이 상대적으로 단순하고 계산 양이 적다는 점을 고려할 때 보다 효율적인 평가기준인 것으로 판단된다. 즉, 계산시간과 계산의 복잡도를 고려할 때 본 연구에서 제안한 변동계수를 이용한 방법이 변별력 평가에 더 효과적이라고 판단된다.
- 본 연구에서 제안한 변별력 평가방법은 변동계수를 이용하고 Soleimani-damaneh와 Zarepisheh가 제안한 방법에서는 다양화 수준(dl)을 이용한다는 점에서 유사한 방법이라고 할 수 있다.
- 둘째, 본 연구의 실증분석 결과에 따르면 4개 모형 중 Super efficiency 모형이 변별력이 가장 높은 것으로 분석되었다. 셋째, CCR 모형과 순위상관관계가 가장 높은 모형은 Super efficiency 모형으로 나타났고, BCC 모형과 순위상관관계가 가장 높은 모형도 Super efficiency 모형으로 분석되었다.
- 본 연구는 DEA 모형의 변별력 평가를 위한 평가기준을 제시하였다는 점에서는 기존 연구와 동일하지만 변별력 평가기준으로 Entropy를 이용한 방법 보다 변동계수를 이용한 방법의 계산과정이 상대적으로 단순하고 계산 양이 적다는 점을 고려할 때 보다 효율적인 평가기준인 것으로 판단된다. 즉, 계산시간과 계산의 복잡도를 고려할 때 본 연구에서 제안한 변동계수를 이용한 방법이 변별력 평가에 더 효과적이라고 판단된다.
- 본 연구를 통해 도출된 연구결과를 요약하면 다음과 같다. 첫째, 중요도와 변동계수를 이용한 모형들의 변별력 순위가 동일한 것으로 분석되어 변동계수를 DEA 모형의 변별력 평가기준으로 이용할 수 있다. 둘째, 본 연구의 실증분석 결과에 따르면 4개 모형 중 Super efficiency 모형이 변별력이 가장 높은 것으로 분석되었다.
- 투입변수의 기술통계량을 살펴보면 투입변수의 평균, 표준편차, 최소값, 최대값에 있어서 의사결정단위인 초등학교들 간에 매우 큰 차이를 보이고 있으며, 산출변수의 기술통계량에 있어서도 초등학교들 간에 상당한 차이를 보이고 있다. 변동계수는 표준편차를 평균으로 나눈 값으로 변수들의 변동 폭은 0.
- 은 DMU j의 DEA 모형 l에서의 효율성 값을 나타낸다. 특정 모형을 적용한 효율성 분석결과에서 효율성 값이 1인 DMU가 2개 이상 나타나면 변별력이 없다고 할 수 있으며, 변별력이 없는 모형을 entropy 계산에 적용하면 변별력이 없는 모형이 더 중요하다는 잘못된 결과를 도출할 수 있다.
후속연구
- DEA 모형의 특성 상 변별력 순위는 투입변수와 산출변수의 조합에 따라 변경될 수 있으므로 본 연구에서 제안한 변동계수를 이용하여 변별력을 평가한 후 변별력이 가장 높은 모형을 이용하는 것이 바람직한 것으로 판단된다. 본 연구의 한계로는 본 연구를 통해 변별력 평가기준으로 제시한 변동계수를 보다 다양한 DEA 문제와 다양한 DEA 모형에 적용하여 변별력이 가장 우수한 DEA 모형을 제시하지 못했다는 점이다.
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