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예비교사들의 실수 e에 대한 이해
An Analysis of Pre-Service Teachers' Understanding of the real number e 원문보기

韓國學校數學會論文集 = Journal of the Korean school mathematics society, v.20 no.4, 2017년, pp.495 - 519  

최은아 (우석대학교) ,  이홍렬 (우석대학교)

초록
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본 연구에서는 실수 e의 다양한 의미와 맥락을 살펴보고, 실수 e에 대한 예비교사들의 이해 정도를 조사하였다. 먼저 실수 e의 역사적 발생과 수학적 의미를 살펴보았으며, 이를 바탕으로 검사지를 개발하여 예비교사 28명에게 적용하고, 그 중 8명에게 반성 및 탐구 활동을 수행하였다. 실수 e에 대한 예비교사들의 이해를 분석한 결과는 다음과 같다. 상당수의 예비교사들이 실수 e의 형식적 정의와 그 표현과의 관계를 인식하지 못하였으며, 실수 e의 표현을 극한 표현에 편중되어 이해하고 있었다. 실수 e의 무리수 속성과 작도 불가능성에 대해서는 대체적으로 적절한 판단을 내렸으나, 그 근거에서는 다소 미흡한 면모를 드러내었다. 또한 실수 e의 연속 복리 맥락과 지수함수 맥락에는 높은 이해도를 나타낸 반면에, 기하적 맥락과 자연로그 맥락을 미흡하게 이해하고 있음을 확인하였다. 향후 예비교사 프로그램의 개선 방향으로, 예비교사들에게 실수 e의 다양한 표현과 속성, 맥락에 대한 학습기회를 제공하고, 실수 e의 다양한 측면이 잘 조직된 관계망 속에서 통합 지도될 필요가 있음을 제시하였다.

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

The purpose of this study is to analyze the concept of the real number e and to investigate the understanding of pre-service teachers about the real number e. 28 pre-service teachers were asked to take a test based on the various ideas of the real number e and 8 pre-service teachers were interviewed...

주제어

#실수 e   #예비교사   #지수함수   #자연로그   #기하적 맥락   #연속 복리  

질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
실수 e는 대수적으로 어떤 속성을 가지는가? 한편 실수 e는 대수적으로 무리수이자 초월수라는 속성을 가진다. Euler는 논문 <연분수에 관한 에세이>에서  이 분모에 등차수열이 나오는 무한 연분수로 표현된다는 사실로부터   가 무리수임을 보였으며, 이를 이용하여 e가 무리수임을 증명하였다.
π가 초월수임을 증명하는 것은 어떤 수의 증명이 이끌었나? 오랜 역사를 가진 π가 수학적 의미와 유용성 측면에서 가치 있는 것은 사실이지만, 해석학을 비롯한 고등수학 분야에서는 지수함수를 구성하는 e의 수학적 가치에 보다 더 주목한다. 무리수와 초월수의 증명의 역사에서도 e 에 대한 증명이 π의 증명을 이끌었다고 할 수 있다. Euler가 e 가 무리수임을 증명한 후 30여년이 지나서야 π가 무리수임을 Lambert가 증명할 수 있었으며(Cajori, 1905; Fey, 1969; Boyer & Merzbach, 2000), e 가 정수 계수 다항방정식의 해가 될 수 없는 초월수라는 사실을 증명한 Hermite의 방법은 이후 Lindemann이 π가 초월수임을 증명한 방법에 그대로 활용되었다(Maor, 2000).
학교수학에서 다루는 수 중에는 수의 발생과 확장에 관한 일반적인 지식에 부합되지 않는 수가 있는데 이 수는 무엇인가? 그런데 학교수학에서 다루는 수 중에는 수의 발생과 확장에 관한 일반적인 지식에 부합되지 않는 다소 인공적인 수가 존재한다. 자연상수 e 가 바로 그 대표적인 사례로, 세기 상황 또는 측정 상황과 직접적인 관련성을 찾기 어려울 뿐 아니라 정수 계수 방정식의 해가 될 수 없다고 알려져 있다. 미적분에서 가장 중요한 함수라고 할 수 있는 지수함수 ex 와 그 역함수 자연로그 lnx의 밑으로 더 잘 알려져 있는 실수 e 는 정의 방식에서도 차이를 보인다.
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참고문헌 (27)

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  27. Zazkis, R., & Sirotic, N. (2010). Representing and Defining Irrational Numbers: Exposing the Missing Link. CBMS Issues in Mathematics Education, 16. American mathematical Society. 

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