[논문]탄소성/접촉 해석을 위한 Co-rotational 정식화 기반의 9절점 평면 요소 개발

조해성; 주현식; 신상준

doi:10.7734/coseik.2017.30.1.1

초록
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본 논문에서는 비교적 최근 정립된 co-rotational 이론을 기반으로 한 4절점 평면요소 정식화를 확장하여 9절점 평면 요소에 적합한 CR 정식화를 제시하고자 한다. 그리고 등방성 재료의 소성 해석을 위해, 선형 경과 규칙(bi-linear hardening rule)을 바탕으로 하는 Newton-Raphson return-mapping 알고리즘을 적용하였다. 이때, von Mises 기준을 적용하여 소성 변형 상태를 예측하였다. Lagrange 승수를 도입하여 2차원 접촉에 대한 구속조건을 부여하였다. 개발한 요소는 상용프로그램인 ABAQUS 해석결과와 비교 검증하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

This paper presents development of the nine-node co-rotational(CR) planar element applicable for elastoplastic and contact analysis. The CR formulation is one of the efficient geometrically nonlinear formulations. It is based on the assumptions of small strain and large displacement. Further, it is ...

This paper presents development of the nine-node co-rotational(CR) planar element applicable for elastoplastic and contact analysis. The CR formulation is one of the efficient geometrically nonlinear formulations. It is based on the assumptions of small strain and large displacement. Further, it is extended to both elastoplastic analysis and contact analysis in this paper. For accurate plastic analysis, nine-node quadrilateral element, which can provide accurate stress prediction, is chosen. Bi-linear hardening rule based on Newton- Raphson return-mapping is employed. Also, Lagrange multiplier is used in order for constraints regarding the contact analysis. The present development is validated via the time transient problems. The present results are compared with those obtained by the other existing software.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서는 Battini에 의해 제시된 정식화를 확장하여 면내 잠김 현상에 자유롭고 응력 예측 정확성이 비교적 높은 9 절점 사각 평면 요소에 적합한 CR 정식화를 제시하고자 한다. 그리고 등방성 재료의 소성 해석을 위해, 선형 경과 규칙 (bi-linear hardening rule)을 바탕으로 하는 Newton-Raphson return-Mapping 알고리즘을 적용하였다.
평면 요소에 대한 CR 기법 정식화는 Battini(2008)에 의해 처음 제시되었다. 본 논문의 저자는 면내 회전자유도를 갖는 평면 요소에 적용 가능한 CR 정식화를 제시하였다(Cho et al., 2015; 2016).

제안 방법

하지만 소성 변형의 경우, 일반적인 탄성 기하비선형 해석에 비해 국부 변형의 크기가 커 그에 따른 적절한 좌표계 도입이 요구된다. 따라서 본 논문에서는 Lagragian 좌표를 도입하여 소성 변형에 따라 발생하는 변형률과 응력을 고려하고자 한다. 소성을 고려한 국부 요소의 강성행렬은 최종적으로 아래의 식과 같다(Bathe, 1996).
본 논문에서는 CR기법을 적용하여 9절점 비선형 사각 평면 요소를 개발하였다. 또한 동적해석을 위해 Newton-Raphson 기법과 HHT-α 내재적 시간 적분 기법을 적용하여 지배 방정식을 해석하였다.
또한 동적해석을 위해 Newton-Raphson 기법과 HHT-α 내재적 시간 적분 기법을 적용하여 지배 방정식을 해석하였다. 소성 해석을 위해 CR 국부 좌표계 내, Lagrangian 좌표를 도입하여 국부에서 발생하는 변형을 정밀하게 예측하고자 하였다. 소성영역에서의 응력해석을 위해 일정한 기울기를 갖는 선형 경화 규칙을 따르는 Newton-Raphson returnMapping 알고리즘을 적용하였고 Lagrange 승수를 도입한 접촉해석으로 추가 확장하였다.

데이터처리

Lagrange 승수를 도입하여 2차원 접촉에 대한 구속조건을 부여하였다. 개발한 요소는 상용프로그램인 ABAQUS 해석결과와 비교 검증하였다.
본 장에서는 기 개발한 9절점 평면 요소의 동적 해석을 수행하고 상용프로그램인 ABAQUS의 해석결과와 비교 검증하였다. 해석에 사용된 재료의 물성은 아래의 Table 1과 같다.
소성영역에서의 응력해석을 위해 일정한 기울기를 갖는 선형 경화 규칙을 따르는 Newton-Raphson returnMapping 알고리즘을 적용하였고 Lagrange 승수를 도입한 접촉해석으로 추가 확장하였다. 수치해석은 동적해석의 몇 가지 예제를 사용하였고 해석결과는 상용프로그램 해석결과와 비교 검증하였다. 검증 결과, 변위 응답이 동일조건의 조밀한 구조 격자를 사용한 ABAQUS 해석결과와 잘 일치하는 것을 확인하였다.

이론/모형

본 논문에서는 Battini에 의해 제시된 정식화를 확장하여 면내 잠김 현상에 자유롭고 응력 예측 정확성이 비교적 높은 9 절점 사각 평면 요소에 적합한 CR 정식화를 제시하고자 한다. 그리고 등방성 재료의 소성 해석을 위해, 선형 경과 규칙 (bi-linear hardening rule)을 바탕으로 하는 Newton-Raphson return-Mapping 알고리즘을 적용하였다. 이때, von Mises 기준을 적용하여 소성 변형 상태를 예측하였다.
본 논문에서는 CR기법을 적용하여 9절점 비선형 사각 평면 요소를 개발하였다. 또한 동적해석을 위해 Newton-Raphson 기법과 HHT-α 내재적 시간 적분 기법을 적용하여 지배 방정식을 해석하였다. 소성 해석을 위해 CR 국부 좌표계 내, Lagrangian 좌표를 도입하여 국부에서 발생하는 변형을 정밀하게 예측하고자 하였다.
본 논문에서는 비선형의 지배방정식을 수치적으로 해석하기 위해 Newton-Raphson 반복 해법과 Hilber-Hughes-Taylor -α(HHT-α) 내재적 시간 적분 기법을 적용하였다(Crisfield, 1997).
소성 해석을 위해 CR 국부 좌표계 내, Lagrangian 좌표를 도입하여 국부에서 발생하는 변형을 정밀하게 예측하고자 하였다. 소성영역에서의 응력해석을 위해 일정한 기울기를 갖는 선형 경화 규칙을 따르는 Newton-Raphson returnMapping 알고리즘을 적용하였고 Lagrange 승수를 도입한 접촉해석으로 추가 확장하였다. 수치해석은 동적해석의 몇 가지 예제를 사용하였고 해석결과는 상용프로그램 해석결과와 비교 검증하였다.
그리고 등방성 재료의 소성 해석을 위해, 선형 경과 규칙 (bi-linear hardening rule)을 바탕으로 하는 Newton-Raphson return-Mapping 알고리즘을 적용하였다. 이때, von Mises 기준을 적용하여 소성 변형 상태를 예측하였다. Lagrange 승수를 도입하여 2차원 접촉에 대한 구속조건을 부여하였다.
재료의 소성해석을 위해 일정한 기울기를 갖는 선형 경화 규칙을 따르는 Newton-Raphson return-mapping 알고리즘을 적용하였다(Neto et al., 2008). von-Mises 응력을 판단 기준으로 도입, 계산된 내부 응력과 비교함으로써 소성 영역에 대해 해석한다.

성능/효과

수치해석은 동적해석의 몇 가지 예제를 사용하였고 해석결과는 상용프로그램 해석결과와 비교 검증하였다. 검증 결과, 변위 응답이 동일조건의 조밀한 구조 격자를 사용한 ABAQUS 해석결과와 잘 일치하는 것을 확인하였다. 향후, 본 논문을 통해 개발한 평면 요소를 미사일 발사 장치 후방 덮개의 구조해석에 적용하여 유체-구조 결합해석을 수행할 것이다.
8에 나타내었다, 현 해석을 통해 도출된 끝단 응답 결과가 ABAQUS 해석 결과와 잘 일치하는 것을 확인하였다. 또한 본 논문에서 제시한 소성 해석이 탄성해석과 구분되는 거동 특성이 잘 예측되는 것을 확인하였다(Fig. 9).
5). 본 논문에서 개발한 평면 요소는 총 50개의 요소를 사용하여 606개의 총 절점 자유도가 고려되었으나, ABAQUS 해석에는 총 500개의 요소를 사용하여 총 3,422개의 절점 자유도가 고려되었다. 비교 결과, 현 해석을 통해 도출된 끝단 응답 결과가 ABAQUS 해석 결과와 잘 일치하는 것을 확인하였다.
7과 같이 설정하였다. 본 논문에서 개발한 평면요소는 총 120개의 요소를 사용하여 720개의 총 절점 자유도가 고려되었으나, ABAQUS 해석에는 총 540개의 요소를 사용하여 총 3,960개의 절점 자유도가 고려되었다. 검증을 위해 집중 하중을 받는 절점의 변위를 비교하였고 Fig.
ABAQUS의 경우, 기 개발 요소의 해석에서 적용한 시간간격에서 수렴하지 않는 문제가 발생하여 auto-time-stepping 기법을 적용하였다. 본 예제에서 역시기 개발 정식화를 적용함에 따라 소성 변형으로 인해 발생하는 거동적 특징이 잘 예측되는 것을 확인하였다. 해석 결과는 Fig.
본 논문에서 개발한 평면요소는 총 50개의 요소를 사용하여 606개의 총 절점 자유도가 고려되었으나, ABAQUS 해석에는 총 500개의 요소를 사용하여 총 3,422개의 절점 자유도가 고려되었다. 비교 결과, 현 해석을 통해 도출된 끝단 응답 결과가 ABAQUS 해석 결과와 비교적 잘 일치하는 것을 확인하였으나 시간이 지남에 따라 오차가 발생하는 것을 확인하였다. 이는 ABAQUS에서 시간 응답 해석 시, 기법간의 차이로 인해 발생한 것으로 사료된다.
본 논문에서 개발한 평면 요소는 총 50개의 요소를 사용하여 606개의 총 절점 자유도가 고려되었으나, ABAQUS 해석에는 총 500개의 요소를 사용하여 총 3,422개의 절점 자유도가 고려되었다. 비교 결과, 현 해석을 통해 도출된 끝단 응답 결과가 ABAQUS 해석 결과와 잘 일치하는 것을 확인하였다. 또한 소성 변형으로 인해 발생하는 거동적 특징이 잘 예측되는 것을 확인하였다.

후속연구

검증 결과, 변위 응답이 동일조건의 조밀한 구조 격자를 사용한 ABAQUS 해석결과와 잘 일치하는 것을 확인하였다. 향후, 본 논문을 통해 개발한 평면 요소를 미사일 발사 장치 후방 덮개의 구조해석에 적용하여 유체-구조 결합해석을 수행할 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	발사장치가 후방덮개 구조물을 갖는 이유는 무엇인가?	예를 들어 고속비행체 발사 시, 추진기관으로부터 발생하는 고온, 고압의 동적 하중은 수직 발사장치 내부 구조물들과의 유동-구조 연계현상을 일으켜 초기 발사 안정성에 큰 영향을 미치게 된다. 다중발사관의 형상을 가진 수직 발사장치의 경우, 인접한 발사관 내 고속비행체의 추진화염으로부터 내부 고속비행체를 보호하기 위해 후방덮개 구조물을 갖는다. 이 후방덮개 구조물은 길이에 비해 얇은 두께를 가진 단열재/금속재로 구성되며, 특정한 각도 및 위치를 가진 추가 구조물에 부딪혀 추진기관 화염의 방향을 편향하게 해주는 장치이다.
	total Lagrangian, updated Lagrangian 기법의 한계는 무엇인가?	, 1975). 이러한 전통적인 해석 기법은 요소 자체 가정에 따라 비선형 정식화 가정에 따라 상당한 어려움이 따를 수 있다(Simo et al., 1993). 즉, 요소에 따라 기하학적 비선형성을 고려하기 위한 추가의 수학적 모델링이 요구된다.
	후방덮개 구조물은 무엇인가?	다중발사관의 형상을 가진 수직 발사장치의 경우, 인접한 발사관 내 고속비행체의 추진화염으로부터 내부 고속비행체를 보호하기 위해 후방덮개 구조물을 갖는다. 이 후방덮개 구조물은 길이에 비해 얇은 두께를 가진 단열재/금속재로 구성되며, 특정한 각도 및 위치를 가진 추가 구조물에 부딪혀 추진기관 화염의 방향을 편향하게 해주는 장치이다. 추진기관의 화염에서 발생하는 동적 하중들에 의해 길이에 비해 얇은 두께를 갖고 금속 및 복합재로 구성된 후방덮개는 기하학적 비선형 및 소성영역에서의 거동을 나타낸다.

참고문헌 (10)

Bathe, K-J., Ramm, E., Wilson, E.L. (1975) Finite Element Formulations for Large Deformation Dynamic Analysis, Int. J. Nummer. Meth. Eng., 9, pp.353-386.

상세보기
Bathe, K-J. (1996) Finite Element Procedures, Englewood Cliffs, Nwe Jersey: Trentice Hall, Inc.
Battini, J-M. (2008) A Non-linear Corotational 4-node Plane Element, Mech. Res. Communications, 35, pp.408-413.

상세보기
Cho, H., Shin, S.J. (2015) Triangular Planar Element Based on Co-rotational Framework, J. Comput. Struct. Eng. Inst. Korea, 28, pp.485-491.

원문보기 상세보기
Cho, H., Kwak, J.Y., Shin, S.J., Lee, N., Lee, S. (2016) Flapping Wing Fluid-Structureal Interaction Analysis using Co-rotatioonal Triangular Planar Structural Element, AIAA J., 54, pp.2265-2276.

상세보기
Crisfield, M.A. (1997) Non-linear Finite Element Analysis of Solid and Structures, Advanced Topics, 2, Wiley, London.
Rankin, C.C., Nour-Omid, B. (1986) An Element Independent Co-rotational Procedure for the Treatment of Large Rotations, ASME J. Pressure Vessel Tech., 108, pp.165-174.

상세보기
Simo, J., Armero, F. (1993) Improved Version of Assumed Enhanced Strain Tri-linear Element for 3d Finite Deformation Problems, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 110, pp.359-386.

상세보기
Neto, E.A.S., Peric, D., Owen, D.R.J. (2008) Computational Methods for Plasticity, John Wiley & Sons, Ltd, Publication., United Kingdom.
Zienkiewicz, O., Taylor, R., Zhu, J. (2005) The Finite Element Mehod: Solid Mechanics, Amsterdam, Elsevier.

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