신뢰성 해석 및 신뢰성기반 최적설계는 불확실성을 고려한 확률변수를 입력 값으로 요구하며, 확률변수는 모수적 비모수적 통계모델링 방법을 사용하여 확률분포함수의 형태로 정량화 된다. 신뢰성 해석과 같은 통계적 해석은 입력되는 확률분포함수의 특성이 결과값에 영향을 미치게 되며, 확률분포함수는 통계모델링 방법에 따라 다른 형태를 가지게 된다. 본 연구에서는 모수적 통계모델링 방법인 순차적 통계모델링 방법과 비모수적 방법인 커널밀도추정을 사용하여 데이터의 개수에 따른 통계모델링의 결과를 분석하였다. 또한 수치예제를 통해 두 가지 기법에 따른 신뢰성 해석의 결과를 분석하였고, 데이터의 개수에 따른 적절한 기법을 제안하였다.
신뢰성 해석 및 신뢰성기반 최적설계는 불확실성을 고려한 확률변수를 입력 값으로 요구하며, 확률변수는 모수적 비모수적 통계모델링 방법을 사용하여 확률분포함수의 형태로 정량화 된다. 신뢰성 해석과 같은 통계적 해석은 입력되는 확률분포함수의 특성이 결과값에 영향을 미치게 되며, 확률분포함수는 통계모델링 방법에 따라 다른 형태를 가지게 된다. 본 연구에서는 모수적 통계모델링 방법인 순차적 통계모델링 방법과 비모수적 방법인 커널밀도추정을 사용하여 데이터의 개수에 따른 통계모델링의 결과를 분석하였다. 또한 수치예제를 통해 두 가지 기법에 따른 신뢰성 해석의 결과를 분석하였고, 데이터의 개수에 따른 적절한 기법을 제안하였다.
Reliability analysis(RA) and Reliability-based design optimization(RBDO) require statistical modeling of input random variables, which is parametrically or nonparametrically determined based on experimental data. For the parametric method, goodness-of-fit (GOF) test and model selection method are wi...
Reliability analysis(RA) and Reliability-based design optimization(RBDO) require statistical modeling of input random variables, which is parametrically or nonparametrically determined based on experimental data. For the parametric method, goodness-of-fit (GOF) test and model selection method are widely used, and a sequential statistical modeling method combining the merits of the two methods has been recently proposed. Kernel density estimation(KDE) is often used as a nonparametric method, and it well describes a distribution function when the number of data is small or a density function has multimodal distribution. Although accurate statistical models are needed to obtain accurate RA and RBDO results, accurate statistical modeling is difficult when the number of data is small. In this study, the accuracy of two statistical modeling methods, SSM and KDE, were compared according to the number of data. Through numerical examples, the RA results using the input models modeled by two methods were compared, and appropriate modeling method was proposed according to the number of data.
Reliability analysis(RA) and Reliability-based design optimization(RBDO) require statistical modeling of input random variables, which is parametrically or nonparametrically determined based on experimental data. For the parametric method, goodness-of-fit (GOF) test and model selection method are widely used, and a sequential statistical modeling method combining the merits of the two methods has been recently proposed. Kernel density estimation(KDE) is often used as a nonparametric method, and it well describes a distribution function when the number of data is small or a density function has multimodal distribution. Although accurate statistical models are needed to obtain accurate RA and RBDO results, accurate statistical modeling is difficult when the number of data is small. In this study, the accuracy of two statistical modeling methods, SSM and KDE, were compared according to the number of data. Through numerical examples, the RA results using the input models modeled by two methods were compared, and appropriate modeling method was proposed according to the number of data.
본 연구에서는 통계시뮬레이션을 이용해 모수적 밀도추정 방법인 SSM과 비모수적 밀도추정 방법인 KDE를 사용하여 데이터의 개수에 따른 통계모델의 추정 정확도를 비교하였다. 또한 입력모델링기법에 따른 신뢰성 해석의 결과를 분석하기 위해서 수학적 신뢰성 해석 모델인 Lognormal ratio 문제와 수직-수평하중을 받는 외팔보 문제에 대해서 신뢰성 해석을 수행하였다.
본 논문에서는 모수적 · 비모수적 입력모델링 기법에 따른 특성을 비교하기 위해서 모수적 모델링 방법인 순차적 통계 모델링 방법과 비모수적 방법인 커널밀도추정을 이용하여 입력변수의 모델링의 정확성을 비교 분석하였고, 두 모델링 기법을 이용한 두 가지 신뢰성 해석 예제를 통하여서 입력 모델링기법에 따른 신뢰성 해석의 결과를 비교 분석하였다. 결과는 다음과 같이 요약할 수 있다.
대상 데이터
본 논문에서는 통계시뮬레이션과 신뢰성 해석을 위해 Birnbaum-Saunders(BS), Exponential, Extreme value, Gamma, Generalized extreme values(GEV), Logisitic (LOG), Log-logistic, Log-normal(LOGN), Nakagami, Normal(NORM), Rayleigh(RAY), t location-scale, Weibull(WBL) 분포함수를 후보모델로 사용하였다.
데이터처리
입력모델링 기법에 따른 신뢰성 해석의 결과를 비교하기 위해서 문제에서 정의된 입력변수에 대한 모집단의 확률변수의 분포함수로부터 데이터의 개수를 3, 5, 7, 10, 20, 30, 50, 100, 200, 300까지 증가시켜 가면서 각 1,000개의 데이터 세트를 추출하였으며, 각각의 데이터 세트에서 추출된 샘플을 이용하여 통계모델링을 수행하였다. 그리고 통계모델링 기법을 사용하지 않은 경우와 비교를 위해서 추출된 샘플을 균일분포 함수(uniform distribution function, UNI)로 가정하였고, 모수는 최대우도추정방법을 이용하여 데이터로부터 계산하였다. 신뢰성 해석 방법인 몬테카를로 시뮬레이션(Monte Carlo simulation, MCS)을 수행하기 위해 SSM, KDE, UNI으로 추정된 입력변수의 분포함수로부터 100,000개의 시뮬레이션 샘플을 추출하고, 한계상태함수(limit-state function)를 이용하여 100,000개의 샘플에 대한 파손확률(probability of failure)을 계산하였다.
모수적 · 비모수적 입력모델링 기법에 따른 신뢰성 해석의 결과를 비교하기 위해서 수학적 모델과 간단한 외팔보 문제에 대해 SSM과 KDE로부터 추정된 분포함수를 이용하여 신뢰성 해석을 수행하였다.
성능/효과
1) 데이터 수가 10개 이하인 경우 대체적으로 KDE의 추정 정확도가 높지만 데이터 수가 20개 이상인 경우에는 SSM의 정확도가 더욱 높다. 특히 분포 모델의 형태가 타분포와 상이한 모델인 경우(RAY) 데이터 수가 적은 경우에도 SSM의 정확도가 높았다.
2) KDE를 이용한 신뢰성 해석은 데이터의 개수에 상관없이 SSM에 비해 보수적으로 파손확률을 예측하였으며 UNI 분포로 가정한 경우보다 정확성과 안정성이 우수하였다.
3) 데이터 수가 증가함에 따라 SSM이 KDE 보다 실제 파손확률값에 더 빨리 수렴하는 경향을 보였다.
후속연구
향후 연구계획은 데이터의 개수에 관계없이 적용할 수 있는 통합된 통계모델링 방법을 개발할 예정이며, 기존의 모수적 · 비모수적 통계모델링 방법 및 개발된 방법을 실제 공학예제에 적용하여 통계모델링의 정확도가 신뢰성 해석 및 신뢰성 기반 최적설계(RBDO)에 미치는 영향에 대해 연구를 수행할 예정이다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
통계모델링이란 무엇인가?
, 2010). 위와 같이 확률적 분포함수를 이용하여 불확실성을 정량화 및 정의하는 것을 통계모델링(statistical modeling)이라고 하며, 통계모델링 방법은 통계적 모수의 사용 유무에 따라 모수적․비모수적 통계모델링 방법으로 구분된다.
적합도 검정과 모델 선택법의 장단점은?
, 2016). 적합도 검정은 후보모델(candidate model)들이 주어진 데이터를 표현하기 적절한지 채택 혹은 기각의 두 가지 조건으로 절대적인 평가가 가능하지만 채택된 모델간의 적합도의 순위를 평가하지 못하고, 모델선택법은 주어진 데이터를 가장 잘 표현하는 순서대로 후보모델의 우선순위를 상대적으로 평가할수 있지만 절대적인 평가는 할 수 없다. SSM기법은 서로 다른 특성을 가지는 두 가지 기법을 결합하여 서로의 단점을 보완한 방법이다.
KDE는 어떻게 밀도함수를 추정하는가?
커널밀도추정(KDE)은 비모수적 밀도추정방법으로서, 통계적 모수 및 모수적 분포함수를 사용하지 않고 오직 주어진 데이터만을 사용하여 입력확률변수의 확률밀도함수를 추정한다. 즉, KDE는 밀도함수의 추정 시, 통계적 모멘트와 모수 및 분포 형태와 같은 사전정보가 필요없고 각 데이터에서 생성된 커널 함수(kernel function)를 결합하여 밀도함수를 추정한다. KDE는 데이터만을 사용하기 때문에 확률변수가 정의된 모수적 확률밀도함수로 표현되기 어려운 경우 유용한 방법이다.
참고문헌 (12)
Analytical Methods Committee (1989) Robust Statistics-how NOT to Reject Outliers. Part 1. Basic Concepts, Analyst, 114(12), pp.1693-1697.
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Lee, T.H., Choi, J.S., Lim, W.C., Cho, S.G., Lee, M., Hong, S. (2013) Nonparametric Reliability Analysis for Design of a Mechanical System Working on an Inaccessible Area, 10th World Congress on Structural and Multidisciplinary Optimization, Orlando, Florida, USA.
Lim, W., Lee, T.H. (2012) Reliability based Design Optimization using Akaike Information Criterion for Discrete Information, Trans. Korean Soc. Mech. Eng., A, 36(8), pp.921-927.
Noh, Y. (2016) A Comparison Study on Statistical Modeling Methods, J. Korea Acad.-Industrial co. Soc., 17(5), pp.645-665.
Noh, Y., Choi, K.K., Lee, I. (2010) Identification of Marginal and Joint CDFs using Bayesian Method for RBDO, Struct. Multidisc. Optim., 40(1), pp.35-51.
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