'규칙과 대응'에 대한 2007 개정 및 2009 개정 초등학교 수학 교과서 분석 An Analysis of 'Patterns and Correspondence' in the Elementary Mathematics Textbooks Aligned to the 2007 and 2009 Revised Curriculum원문보기
초등학교 수학에서 '규칙과 대응'은 함수 개념에 대한 기초적인 토대를 마련할 수 있다는 측면에서 중요하지만, 관련 연구는 많지 않다. 이에 본 연구에서는 선행 연구를 분석하여 규칙과 대응을 지도하기 위한 핵심 교수 학습 요소를 도출하였으며, 이를 바탕으로 2007 개정 수학 교과서 및 2009 개정 수학 교과서에 제시된 규칙과 대응 관련 단원을 분석하였다. 구체적으로 실생활 맥락의 반영, 다양한 유형의 패턴 과제 활용, 두 양 사이의 대응 관계 탐구, 변수를 사용한 관계 표현에서의 의미 지도 측면에서 규칙과 대응 관련 단원을 비교 분석하였다. 분석 결과, 실생활 맥락의 반영은 두 교과서에 대체로 잘 구현되어 있었으며, 다양한 유형의 패턴 과제 활용과 두 양 사이의 대응 관계 탐구는 부분적으로 구현된 편이었다. 한편 변수를 사용한 관계 표현에서의 의미 지도는 두 교과서에서 공통적으로 잘 구현되지 않았다. 이러한 결과를 바탕으로 규칙과 대응을 지도하는 방안 및 차기 교과서 개발 방향에 관한 시사점을 논의하였다.
초등학교 수학에서 '규칙과 대응'은 함수 개념에 대한 기초적인 토대를 마련할 수 있다는 측면에서 중요하지만, 관련 연구는 많지 않다. 이에 본 연구에서는 선행 연구를 분석하여 규칙과 대응을 지도하기 위한 핵심 교수 학습 요소를 도출하였으며, 이를 바탕으로 2007 개정 수학 교과서 및 2009 개정 수학 교과서에 제시된 규칙과 대응 관련 단원을 분석하였다. 구체적으로 실생활 맥락의 반영, 다양한 유형의 패턴 과제 활용, 두 양 사이의 대응 관계 탐구, 변수를 사용한 관계 표현에서의 의미 지도 측면에서 규칙과 대응 관련 단원을 비교 분석하였다. 분석 결과, 실생활 맥락의 반영은 두 교과서에 대체로 잘 구현되어 있었으며, 다양한 유형의 패턴 과제 활용과 두 양 사이의 대응 관계 탐구는 부분적으로 구현된 편이었다. 한편 변수를 사용한 관계 표현에서의 의미 지도는 두 교과서에서 공통적으로 잘 구현되지 않았다. 이러한 결과를 바탕으로 규칙과 대응을 지도하는 방안 및 차기 교과서 개발 방향에 관한 시사점을 논의하였다.
Even though patterns and correspondence serve a fundamental basis of function for elementary students, there has been lack of research in this field. This study explored prior studies to extract the key instructional elements on how to teach patterns and correspondence. This study then analyzed the ...
Even though patterns and correspondence serve a fundamental basis of function for elementary students, there has been lack of research in this field. This study explored prior studies to extract the key instructional elements on how to teach patterns and correspondence. This study then analyzed the unit of 'patterns and correspondence' in the mathematics textbooks in terms of four key instructional elements (i.e., relation to real-life contexts, diversity of pattern tasks, exploration for a correspondence relationship, and teaching variables). The results of this study showed that topics dealing with patterns and correspondence were represented with relation to real-life contexts but diversity of pattern tasks and exploration for a correspondence relationship were needed to be further considered in the textbooks. Another noticeable result was that teaching variables was not explicitly addressed in the textbooks. Based on these results, this study provides textbook writers with implications on what to further consider in dealing with patterns and correspondence.
Even though patterns and correspondence serve a fundamental basis of function for elementary students, there has been lack of research in this field. This study explored prior studies to extract the key instructional elements on how to teach patterns and correspondence. This study then analyzed the unit of 'patterns and correspondence' in the mathematics textbooks in terms of four key instructional elements (i.e., relation to real-life contexts, diversity of pattern tasks, exploration for a correspondence relationship, and teaching variables). The results of this study showed that topics dealing with patterns and correspondence were represented with relation to real-life contexts but diversity of pattern tasks and exploration for a correspondence relationship were needed to be further considered in the textbooks. Another noticeable result was that teaching variables was not explicitly addressed in the textbooks. Based on these results, this study provides textbook writers with implications on what to further consider in dealing with patterns and correspondence.
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문제 정의
본 연구에서 이처럼 관련 문헌 검토를 토대로<표 III-1> 규칙과 대응 관련 단원의 학습 내용규칙과 대응의 핵심 교수ㆍ학습 요소를 도출한 후 그것을 분석 기준으로 활용하는 이유는 무엇보다 본 연구의 목적과 관련이 있다. 본 논문은 2007 개정 수학 교과서와 2009 개정 수학 교과서에 제시된 규칙과 대응 관련 단원의 활동이나 소재 등 교과서의 외형적인 요소를 비교하는 데 초점이 있는 것이 아니라, 규칙과 대응을 지도하기 위해 기존의 우리나라 교과서가 어떻게 구현되어 있는지를 교수학적인 측면에서 분석하는데 더욱 관심이 있기 때문이다. 그리고 수학의 내용 영역별 특수성에 따라 그 내용에서 강조되는 교수ㆍ학습 요소가 다를 수 있다는 방정숙, 김정원, 김혜정의 연구를 고려하였다.
본 논문에서는 규칙과 대응이 우리나라 초등학교 수학 교과서에서 어떻게 구현되어 있는지 분석하기 위해, 4학년 2학기 2007 개정 수학 교과서(교육과학기술부, 2010) 및 2009 개정 수학교과서(교육부, 2014)에 제시된 규칙과 대응 관련 단원을 분석 대상으로 선정하였다. 본 연구에서 2007 개정 수학 교과서와 2009 개정 수학 교과서 두 권을 함께 분석하는 의도는 두 교과서를 비교․대조하려는 목적이 아니라, 규칙과 대응에 대한 핵심 교수ㆍ학습 요소에 비추어 우리나라의 수학 교과서에서 규칙과 대응을 구현하는 전반적인 경향성 및 변화의 방향성을 살펴보기 위해서이다.
본 연구에서 이처럼 관련 문헌 검토를 토대로 규칙과 대응 관련 단원의 학습 내용규칙과 대응의 핵심 교수ㆍ학습 요소를 도출한 후 그것을 분석 기준으로 활용하는 이유는 무엇보다 본 연구의 목적과 관련이 있다.
이 과정에서 선행 연구를 토대로 규칙과 대응을 지도할 때 특히 고려해야 하는 핵심 교수ㆍ학습 요소를 도출하여 분석 기준으로 활용하였다. 이를 통하여 규칙과 대응의 지도에 관한 특화된 시사점을 도출하고 2015 개정 수학과 교육과정에 따른 차기 교과서 개발에의 시사점을 논의한다.
우리나라의초등학교 수학 교과서에서 수로 표현되는 패턴과제를 주로 다룬다는 점은 권성룡(2007), 방정숙과 선우진(2016) 등에서도 지적되었던 문제이다. 이와 더불어 본 연구에서는 y=ax 유형 뿐 아니라 y=x+b 유형의 서로 다른 관계의 패턴 과제도 균형 있게 다룰 필요성을 제기하는 바이다. 학생들은 서로 다른 표현의 패턴이나 서로 다른관계의 패턴들을 함께 다루는 경험을 통하여 대응 관계에 대한 이해의 폭을 넓힐 수 있기 때문이다(김성준, 2003; 김정원, 2014; Beatty, 2010;Moss & McNab, 2011).
제안 방법
본 연구에서 변수를 사용한 관계 표현에서의 의미 지도 측면은 두 양 사이의 관계를 , △등의 기호를 사용하여 식으로 나타내는 활동과 관련되는데, 이 때 학생들이 변수에 대하여 의미있게 학습할 수 있도록 교과서 활동이 구현되어있는지에 초점을 두어 분석하였다. 구체적으로 변수 사용의 유연성, 변수 및 변수 식의 의미 지도의 측면에서 살펴보았다. 분석 결과, 2007 개정 수학 교과서와 2009 개정 수학 교과서는 변수 기호 사용의 유연성 측면에서 가장 큰 차이를 보였다.
다양한 유형의 패턴 과제 활용 측면은 한 차시 내에서 서로 다른 표현 형식의 패턴 과제를 다루는지, 또는 서로 다른 증가 관계에 있는 패턴 과제(예, 덧셈 관계, 곱셈 관계)를 다루는지를 중심으로 분석하였다. 그 결과, 2007 개정 수학교과서 및 2009 개정 수학 교과서에서는 대체로 수로 표현되는 패턴 과제를 중심으로 대응 관계를 다루는 편이며, 특히 y=ax 유형 같은 곱셈 관계를 많이 다룬다는 것을 확인하였다.
다음으로 변수 지도 관련 연구를 반영하여 ‘변수를 사용한 관계 표현에서의 의미 지도’를 도출하였다.
이에 대한 구체적인 분석의 예를 제시하면 <표III-4>와 같다. 다음으로, 위와 같이 학습 내용을 전반적으로 분석한 이후에는 코딩 결과를 바탕으로 2007 개정 수학 교과서 및 2009 개정 수학교과서에서 규칙과 대응의 핵심 교수ㆍ학습 요소가 어떻게 구현되어 있는지 각 요소별로 면밀하게 분석하여 기술하였다.
마지막으로 두 교과서에서는 두 양의 변화와 표 전체의 내용을 모두 기록할 수 있도록 빈 칸으로 제시된 대응표도 다루었다. 이러한 대응표는 두 교과서에서 공통적으로 ‘단원 평가’ 차시에서만 제시하였으며, 문제 형태도 동일하였다.
먼저 각 학습 내용마다 핵심 교수ㆍ학습 요소가 어떻게 구현되어 있는지를 전반적으로 살펴보기 위한 분석을 진행하였다.
먼저 규칙과 대응 단원에서 다루는 모든 학습 내용을 과 같이 다섯 가지의 학습 내용으로 구분하였다.
규칙과 대응을 지도하는 데 필요한 네 가지의 핵심 교수ㆍ학습 요소가 2007 개정 수학 교과서및 2009 개정 수학 교과서에 어떻게 구현되어 있는지 분석한 전반적인 결과는 <표 IV-1>과 같다. 먼저 두 교과서에서 비교적 잘 구현된 요소는 실생활 맥락의 반영이며, 다양한 유형의 패턴과제 활용 및 두 양 사이의 대응 관계 탐구는부분적으로 구현되었다. 그러나 변수를 사용한관계 표현에서의 의미 지도는 두 교과서에서 공통적으로 잘 구현되지 않은 편이었다.
먼저 함수적 사고관련 연구 및 교과서 분석 연구에서 지속적으로 제기되어 온 ‘다양한 유형의 패턴 과제 활용’을 요소로 선정하였다.
본 연구에서 ‘비전형적인 대응표’는 전형적인 대응표와는 다르게 윗줄에 더 큰 값을 제시하거나, 종속변수에 해당하는 양의 변화를 비연속적으로 기록하게 하는 경우들로 분류하였다.
본 연구에서 변수를 사용한 관계 표현에서의 의미 지도 측면은 두 양 사이의 관계를 , △등의 기호를 사용하여 식으로 나타내는 활동과 관련되는데, 이 때 학생들이 변수에 대하여 의미있게 학습할 수 있도록 교과서 활동이 구현되어있는지에 초점을 두어 분석하였다.
본 연구에서는 2007 개정 수학 교과서 및2009 개정 수학 교과서에 제시된 규칙과 대응관련 단원을 규칙과 대응에 대한 핵심 교수ㆍ학습 요소([그림 II-1] 참조)를 기준으로 분석하였다. 자세한 분석 방법은 다음과 같다.
본 연구에서는 관련 선행 연구 검토를 통하여 규칙과 대응을 지도하기 위한 핵심 교수ㆍ학습요소를 도출하였으며, 이를 바탕으로 2007 개정수학 교과서 및 2009 개정 수학 교과서에 제시된 규칙과 대응 관련 단원을 분석하였다. 분석결과를 바탕으로 초등학교 수학에서 규칙과 대응을 지도하는 방안 및 차기 교과서 개발에의 시사점을 논의하면 다음과 같다.
위와 같은 연구의 필요성을 바탕으로 본 연구에서는 2015 개정 수학과 교육과정에서 5~6학년군 내용 요소로 제시한 규칙과 대응이 우리나라 초등학교 수학 교과서에 어떻게 구현되어 있는지 살펴보기 위해서, 2007 개정 수학과 교육과정에 의한 초등학교 수학 교과서(이하, 2007 개정수학 교과서)와 2009 개정 수학과 교육과정에 의한 초등학교 수학 교과서(이하, 2009 개정 수학교과서)에 제시된 관련 단원을 비교ㆍ분석하였다(교육과학기술부, 2010; 교육부, 2014). 이 과정에서 선행 연구를 토대로 규칙과 대응을 지도할 때 특히 고려해야 하는 핵심 교수ㆍ학습 요소를 도출하여 분석 기준으로 활용하였다.
위와 같은 연구의 필요성을 바탕으로 본 연구에서는 2015 개정 수학과 교육과정에서 5~6학년군 내용 요소로 제시한 규칙과 대응이 우리나라 초등학교 수학 교과서에 어떻게 구현되어 있는지 살펴보기 위해서, 2007 개정 수학과 교육과정에 의한 초등학교 수학 교과서(이하, 2007 개정수학 교과서)와 2009 개정 수학과 교육과정에 의한 초등학교 수학 교과서(이하, 2009 개정 수학교과서)에 제시된 관련 단원을 비교ㆍ분석하였다(교육과학기술부, 2010; 교육부, 2014). 이 과정에서 선행 연구를 토대로 규칙과 대응을 지도할 때 특히 고려해야 하는 핵심 교수ㆍ학습 요소를 도출하여 분석 기준으로 활용하였다. 이를 통하여 규칙과 대응의 지도에 관한 특화된 시사점을 도출하고 2015 개정 수학과 교육과정에 따른 차기 교과서 개발에의 시사점을 논의한다.
이를 위하여 각 학습내용별로 핵심 교수ㆍ학습 요소의 구현 정도를 <표 III-3>에 따라 코딩하였다. 이 때 코딩은 두명의 연구자가 각자 코딩한 후 서로 비교하여 일치하는 결과를 코딩하였고, 일치하지 않는 경우에는 서로 논의하여 최종적으로 결정하였다.이에 대한 구체적인 분석의 예를 제시하면 <표III-4>와 같다.
이를 위하여 각 학습내용별로 핵심 교수ㆍ학습 요소의 구현 정도를 에 따라 코딩하였다.
이후 앞서 도출한 규칙과 대응에 대한핵심 교수ㆍ학습 요소를 와 같은 분석틀로 정리하여, 분석틀에 따라 다섯 가지의 학습내용을 분석하였다.
지금까지 본 장에서는 규칙과 대응에 관한 선행 연구들을 검토하여 규칙과 대응의 지도와 관련하여 논의되어 온 교수ㆍ학습 상의 시사점을 추출하였다. 본 연구에서는 이러한 시사점 중 초등학교에서 규칙과 대응을 지도하는 데 고려해야 할 핵심 교수ㆍ학습 요소를 도출하였는데, 구체적인 과정은 다음과 같다.
한편 본 연구에서는 실생활 맥락의 반영 여부를분석할 때, 실생활 맥락을 활용하여 대응 관계를 다루는지와 더불어 대응 관계에 대한 아이디어를 바탕으로 주변 현상을 이해할 수 있도록 교과서를 구현하였는지도 분석하였다.
대상 데이터
본 논문에서는 규칙과 대응이 우리나라 초등학교 수학 교과서에서 어떻게 구현되어 있는지 분석하기 위해, 4학년 2학기 2007 개정 수학 교과서(교육과학기술부, 2010) 및 2009 개정 수학교과서(교육부, 2014)에 제시된 규칙과 대응 관련 단원을 분석 대상으로 선정하였다. 본 연구에서 2007 개정 수학 교과서와 2009 개정 수학 교과서 두 권을 함께 분석하는 의도는 두 교과서를 비교․대조하려는 목적이 아니라, 규칙과 대응에 대한 핵심 교수ㆍ학습 요소에 비추어 우리나라의 수학 교과서에서 규칙과 대응을 구현하는 전반적인 경향성 및 변화의 방향성을 살펴보기 위해서이다.
성능/효과
결론적으로 본 연구에서는 ‘실생활 맥락의 반영’, ‘다양한 유형의 패턴 과제 활용’, ‘두 양 사이의 대응 관계 탐구’,‘변수를 사용한 관계 표현에서의 의미 지도’를 규칙과 대응을 지도하는 데 고려해야 할 핵심교수ㆍ학습 요소로 도출하였다([그림 II-1] 참조).
다양한 유형의 패턴 과제 활용 측면은 한 차시 내에서 서로 다른 표현 형식의 패턴 과제를 다루는지, 또는 서로 다른 증가 관계에 있는 패턴 과제(예, 덧셈 관계, 곱셈 관계)를 다루는지를 중심으로 분석하였다. 그 결과, 2007 개정 수학교과서 및 2009 개정 수학 교과서에서는 대체로 수로 표현되는 패턴 과제를 중심으로 대응 관계를 다루는 편이며, 특히 y=ax 유형 같은 곱셈 관계를 많이 다룬다는 것을 확인하였다. 각 교과서별로 구체적으로 살펴보면 다음과 같다.
다음으로 함수적 사고 관련연구에서 제기된 일반화를 위한 충분한 사례 탐구, 대응 관계를 탐구할 수 있는 다양한 전략 활용, 대응 관계를 다양하게 표현, 그리고 교과서분석 연구에서 제기된 대응 관계를 탐구할 수있는 활동 강화, 대응 관계를 고려할 수 있는 대응표, 일반화를 위한 충분한 사례 탐구는 각각을 별개의 요소로 도출하기보다 ‘두 양 사이의 대응 관계 탐구’라는 포괄적인 요소로 도출하였다.
2015 개정 수학과 교육과정에서는 사칙 연산중 하나의 연산으로만 표현되는 간단한 대응관계만 다루도록 명시하고 있으나(교육부, 2015), 초등학생에게 두 양 사이의 관계를 □, △ 등을 사용하여 식으로 나타내는 과정은 매우 도전적일 수 있다. 본 연구의 결과, 2009 개정 수학 교과서보다는 2007 개정 수학 교과서에서 더욱 다양한 변수 기호를 사용할 수 있는 기회를 제공하였다. 하지만 대응 관계를 변수 기호로 나타내는 필요성, 변수 기호 및 변수 식의 의미 등에 대하여 생각해 볼 수 있 는 과정이나, 학생이 스스로 두 양을 표현할 수 있는 변수 기호를 선택할 수 있는 기회 등은 두 교과서에서 공통적으로 거의 드러나지 않았다.
분석 결과, 2007 개정 수학 교과서및 2009 개정 수학 교과서에는 대체로 독립변수에 해당하는 양은 모두 기록되어 있고, 일부 종속변수에 해당하는 양만을 기록하는 형태의 대응표를 가장 많이 다루고 있다( 참조).
구체적으로 변수 사용의 유연성, 변수 및 변수 식의 의미 지도의 측면에서 살펴보았다. 분석 결과, 2007 개정 수학 교과서와 2009 개정 수학 교과서는 변수 기호 사용의 유연성 측면에서 가장 큰 차이를 보였다. 이는 단적으로 두 교과서에 제시된변수의 종류만 비교해 보아도 알 수 있다(<표IV-4> 참조).
이러한 연구 결과를 바탕으로 연구자들은 초등학생들이 변수의 여러 가지 의미를 이해할 수 있는 다양한 맥락을 교육과정 내에서 체계적으로 지도할 것을 주장하였다.
이러한 측면에서 규칙과 대응을 지도할 때에는 실생활 소재를 활용하는 데서 그치는 것이 아니라, 대응 관계에 대한 이해를 토대로 주변의 현상을 이해하고 해석할 수있는 기회를 제공하는 것이 필요하다. 이와 관련하여 분석 결과를 살펴보면, 대체로 2007 개정수학 교과서보다는 2009 개정 수학 교과서에서 실생활 맥락의 반영 측면이 더욱 잘 구현된 편이었다. 이에 차기 교과서를 개발하는 과정에서도 이러한 측면을 지속적으로 고려하여, 다양한실생활 맥락을 반영하되 학생 스스로 주변의 현상을 대응 관계의 측면에서 해석하고 논의할 수 있는 활동이 적극적으로 구현되기를 기대한다.
후속연구
둘째, 규칙과 대응을 지도할 때에는 다양한 유형의 패턴 과제를 다룰 수 있는 기회가 제공되어야 한다. 연구 결과, 2009 개정 수학 교과서에서는 주로 수로 표현되는 y=ax 유형의 패턴 과제를 중심으로 대응 관계를 다룬다.
초등학교 수학과 교육과정에서 규칙과 대응이 차지하는 양이나 비중은 다른 내용 요소들과 비교하여 상대적으로 작게 인식될 수 있으나, 규칙과 대응에 내재된 수학적인 아이디어가 지니는 중요성이나 확장성은 결코 작지 않다. 본 연구가 초등 수학 교육에서 규칙과 대응에 대한 관심을 환기하고, 나아가 이에 대한 의미 있는 지도 방안을 탐색하는 연구를 촉진할 수 있기를 바란다.
셋째, 두 양 사이의 대응 관계를 탐구할 수 있는 활동이 강화될 수 있도록 다양한 발문을 활용할 필요가 있다. 결과에서 알 수 있듯이, 2007개정 수학 교과서 및 2009 개정 수학 교과서는두 양 사이의 관계를 ‘표현’해 보는 발문을 중심으로 학습 내용을 구성하고 있다.
이와 관련하여 분석 결과를 살펴보면, 대체로 2007 개정수학 교과서보다는 2009 개정 수학 교과서에서 실생활 맥락의 반영 측면이 더욱 잘 구현된 편이었다. 이에 차기 교과서를 개발하는 과정에서도 이러한 측면을 지속적으로 고려하여, 다양한실생활 맥락을 반영하되 학생 스스로 주변의 현상을 대응 관계의 측면에서 해석하고 논의할 수 있는 활동이 적극적으로 구현되기를 기대한다.
또는수 패턴을 그림으로 표현해 보게 하거나, 기하패턴에서 항이 변함에 따라 계속해서 변하는 부분과 변하지 않는 부분을 살펴보게 하는 발문도 효과적이다(Moss & McNab, 2011). 이처럼 대응관계를 탐구하는 데 도움이 되는 구체적이고 다양한 발문을 모색하여 이를 교과서나 교사용 지도서 등에 안내할 것을 제안한다.
첫째, 규칙과 대응을 지도할 때에는 대응 관계에 대한 이해를 바탕으로 실생활의 여러 현상을 해석할 수 있는 기회가 제공되어야 한다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
중학교 함수 영역에서 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항에 의하면 함수의 개념을 어떻게 도입하는가?
구체적으로 교육과정에서(교육부, 2015), 초등학교 5~6학년군의 성취 기준에 “한 양이 변할 때 다른 양이 그에 종속하여 변하는 대응 관계”를 다루게 하며(p. 26), 이후 중학교의 함수 영역에서 “한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는두 양 사이의 대응 관계”를 이용하여 함수의 개념을 도입하도록 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항에 명시하고 있다(p. 33).
2015 개정 수학과 교육과정에 의하면 우리나라의 초등학생들은 함수를 어떻게 학습하는가?
2015 개정 수학과 교육과정을 살펴보면(교육부, 2015), 우리나라의 초등학생들은 주로 규칙성영역을 통하여 함수의 기초적인 개념 및 원리를 학습한다. 특히 5~6학년군의 내용 요소 중 ‘규칙과 대응’2)은 중학교에서 다루는 함수의 기본 개념과 상당히 밀접하게 연계되어 있다.
함수는 학교 수학에서 다루는 가장 중요한 내용 중 하나인 이유는 무엇인가?
함수는 학교 수학에서 다루는 가장 중요한 내용 중 하나이다. 함수는 산술과 기하, 대수 등 수학의 여러 내용 영역을 통합하고, 주변 현상을 이해하고 탐구하는 데 핵심적인 개념이기 때문이다(김정원, 2014). 특히 Carraher와 Schliemann(2015)에 의하면, 함수와 관계에 대한 아이디어는 초등 수학과 중등 수학을 관통하는 매우 강력한 아이디어이므로 초등학교에서부터 꾸준히 지도해야 한다.
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