[논문]세 자리 수의 범위에서 학습한 덧셈과 뺄셈 원리의 일반화 가능성

장혜원; 임미인

문제 정의

본 연구는 교육과정 개정에 따른 성취기준의 변화가 학생들의 학습 결과에 미치는 영향을 조사하는 연구로, 변화된 성취기준은 수와 연산 영역의 네 자리 수의 덧셈과 뺄셈 관련이다. 네 자리 수의 덧셈과 뺄셈의 학습 여부에 따라 구별된 두 집단에게 덧셈과 뺄셈 문제를 풀게 하여 네 자리 수의 덧셈과 뺄셈에 대한 학습 여부가 계산 기능에 미치는 영향을 조사함으로써 세 자리 수의 범위에서 학습한 덧셈과 뺄셈의 일반화 가능성을 파악하고자 하였다.
요컨대 받아올림이나 받아내림이 2회 또는 3회 있는 문제, 0의 포함 횟수에 있어 0개, 1개, 2개, 3개인 문제 등 다양한 유형을 포함하였고, 특히 뺄셈의 경우에는 0처리 오류의 영향을 고려하여 문항을 구성하였다. 덧셈의 경우는 뺄셈과 달리 0처리에 대한 어려움이 상대적으로 적기 때문에 0 포함 문항은 0처리 오류가 예상되는 것을 중심으로 구성함으로써 학생들의 원리 이해 여부를 파악하고자 하였다. 덧셈과 뺄셈 각각의 문항 구성은 <표 III-3>, <표 III-4>와 같다¹⁾.
따라서 2009 개정 수학과 교육과정의 주요 변화 사항인 네 자리 수의 덧셈과 뺄셈의 명시적인 학습 여부를 판단 가능한 학년을 선정하기 위해 연도별 교육과정 적용 학년을 과 같이 정리하였다.
따라서 의 결과 중 뺄셈에서의 차이가 세 자리 수와 네 자리 수에서 다르게 나타나는지를 확인하고자 하였다.
만약 집단 2016이 네 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 배우지 않았음에도 불구하고 두 집단 간 성취도에 있어서 유의미한 차이가 없다면, 세 자리 수의 덧셈과 뺄셈 원리에 대한 일반화 가능성을 확인할 수 있기 때문이다. 또한 이러한 양적 연구 이후, 통계적으로 유의미한 차이를 보이는 문항 중 정답률의 차이가 큰 문항에 대해서는 부수적으로 구체적인 학생들의 반응을 조사하여 오류의 유형을 통해 학생들이 경험한 어려움의 원인을 파악하고자 하였다. 분석 결과에 기초하여 덧셈과 뺄셈 계산원리의 일반화 가능성 및 교수학적 시사점에 대한 논의를 전개하였다([그림 III-2]).
본 연구는 교육과정 개정에 따른 성취기준의 변화가 학생들의 학습 결과에 미치는 영향을 조사하는 연구로, 변화된 성취기준은 수와 연산 영역의 네 자리 수의 덧셈과 뺄셈 관련이다. 네 자리 수의 덧셈과 뺄셈의 학습 여부에 따라 구별된 두 집단에게 덧셈과 뺄셈 문제를 풀게 하여 네 자리 수의 덧셈과 뺄셈에 대한 학습 여부가 계산 기능에 미치는 영향을 조사함으로써 세 자리 수의 범위에서 학습한 덧셈과 뺄셈의 일반화 가능성을 파악하고자 하였다.
본 연구와 좀 더 직결되는 연구로는 Cauley(1988), Davis & McKnight(1980), Fuson & Kwon (1992), Hiebert & Wearne(1996), Resnick(1982) 등이 있으며, 이러한 선행 연구 결과를 검토하여 본 연구에 시사하는 바를 도출하고자 한다.
이에 본 연구는 2009 개정 교육과정에 따라 세 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 배운 학생들이 그 원리를 네 자리 수의 덧셈과 뺄셈으로 확장할 수 있는지에 관심이 있다. 이를 위해 세 자리 수까지의 덧셈과 뺄셈을 배운 학생들과 네 자리수까지의 덧셈과 뺄셈을 배운 학생들의 덧셈과 뺄셈 성취도를 비교하고, 그 결과에 기초하여 자연수의 덧셈과 뺄셈 원리의 일반화를 위해 몇 자리 수까지 명시적으로 지도해야 하는지, 2009 개정 교육과정에서처럼 세 자리 수의 덧셈과 뺄셈 학습으로 덧셈과 뺄셈 원리의 일반화가 가능한지에 대한 논의를 전개하고자 하는 것이다.

제안 방법

검사 결과를 수합한 후, 먼저 두 집단의 각 문항별 정답률을 파악하여 학생들이 어려워하는 문제 유형을 조사하였다. 이어서 세 자리 수의 덧셈과 뺄셈 원리의 일반화 가능성을 알아보기 위하여 두 집단 간 성취도가 통계적으로 유의미한 차이가 있는지 분석하였다.
검사 문항의 타당도를 확보하기 위하여 2007 개정 교육과정에 따른 수학 익힘책 3-2(교육과학기술부, 2010) 중 선수학습 요소를 확인하는 ‘준비학습’과 ‘기본다지기’에 실린 문제를 그대로 인용하되, 곤란도가 있는 문제를 통해 학생들의 계산력 차이가 고려될 수 있도록 문항을 구성하였다.
계산 검사 결과, 0을 포함하는 문제를 비롯하여 대부분의 문항에서 우리나라 학생들의 정답률이 높았으며 이는 미국 학생들에 비해 월등히 우수한 능력을 지닌 것임을 보여준 것이다. 또한 면담을 통해 학생들이 덧셈에 대해 지닌 개념적 구조를 파악해내었다.
본 연구에서는 [그림 III-1]을 적용하여 연구 대상의 덧셈과 뺄셈 수행 능력을 검사한 후 보완적으로 학생들의 구체적인 반응에 대한 조사를 통해 오류 유형을 분석하는 혼합 연구의 방법(송상헌 외, 2013)을 취하였다. 즉 검사 문항에 대한 학생 응답을 조사하여 두 집단의 검사 결과의 평균에 대한 차이를 독립표본 t-검정으로 분석하는 양적 연구를 실시한 후, 통계적으로 유의미한 차이를 보인 문항들 중에서 정답률의 차이가 큰 문항에 대해 추가적으로 학생들의 반응을 조사함으로써 구체적인 오류 유형을 제시하였다.
또한 이러한 양적 연구 이후, 통계적으로 유의미한 차이를 보이는 문항 중 정답률의 차이가 큰 문항에 대해서는 부수적으로 구체적인 학생들의 반응을 조사하여 오류의 유형을 통해 학생들이 경험한 어려움의 원인을 파악하고자 하였다. 분석 결과에 기초하여 덧셈과 뺄셈 계산원리의 일반화 가능성 및 교수학적 시사점에 대한 논의를 전개하였다([그림 III-2]).
뺄셈에 대한 두 집단 간 평균의 통계적 차이가 t=1.668, p=0.096으로 나타났기 때문에, 이와 같은 해석의 타당성을 제고하기 위하여 한 가지 분석을 추가하였다. 이는 학생들의 동질성을 확보하기 위한 몇 가지 조처를 취했지만 학생들의 계산 능력 자체에 있어 차이가 있을 수 있다는 가능성을 배제하기 위함이기도 하다.
요컨대 받아올림이나 받아내림이 2회 또는 3회 있는 문제, 0의 포함 횟수에 있어 0개, 1개, 2개, 3개인 문제 등 다양한 유형을 포함하였고, 특히 뺄셈의 경우에는 0처리 오류의 영향을 고려하여 문항을 구성하였다. 덧셈의 경우는 뺄셈과 달리 0처리에 대한 어려움이 상대적으로 적기 때문에 0 포함 문항은 0처리 오류가 예상되는 것을 중심으로 구성함으로써 학생들의 원리 이해 여부를 파악하고자 하였다.
Fuson & Kwon(1992)은 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈에 대한 우리나라 2, 3학년 학생들의 이해 수준을 조사하였다. 이는 받아올림이 있는 덧셈에 대한 설명 능력에 초점을 맞춘 연구로서, 두 자리 수와 세 자리 수의 덧셈을 풀도록 한 다음이에 대한 개념적 이해를 파악하기 위해 면담법을 이용하였다. 계산 검사 결과, 0을 포함하는 문제를 비롯하여 대부분의 문항에서 우리나라 학생들의 정답률이 높았으며 이는 미국 학생들에 비해 월등히 우수한 능력을 지닌 것임을 보여준 것이다.
이에 본 연구는 2009 개정 교육과정에 따라 세 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 배운 학생들이 그 원리를 네 자리 수의 덧셈과 뺄셈으로 확장할 수 있는지에 관심이 있다. 이를 위해 세 자리 수까지의 덧셈과 뺄셈을 배운 학생들과 네 자리수까지의 덧셈과 뺄셈을 배운 학생들의 덧셈과 뺄셈 성취도를 비교하고, 그 결과에 기초하여 자연수의 덧셈과 뺄셈 원리의 일반화를 위해 몇 자리 수까지 명시적으로 지도해야 하는지, 2009 개정 교육과정에서처럼 세 자리 수의 덧셈과 뺄셈 학습으로 덧셈과 뺄셈 원리의 일반화가 가능한지에 대한 논의를 전개하고자 하는 것이다.
검사 결과를 수합한 후, 먼저 두 집단의 각 문항별 정답률을 파악하여 학생들이 어려워하는 문제 유형을 조사하였다. 이어서 세 자리 수의 덧셈과 뺄셈 원리의 일반화 가능성을 알아보기 위하여 두 집단 간 성취도가 통계적으로 유의미한 차이가 있는지 분석하였다. 만약 집단 2016이 네 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 배우지 않았음에도 불구하고 두 집단 간 성취도에 있어서 유의미한 차이가 없다면, 세 자리 수의 덧셈과 뺄셈 원리에 대한 일반화 가능성을 확인할 수 있기 때문이다.
따라서 <표 IV-3>의 결과 중 뺄셈에서의 차이가 세 자리 수와 네 자리 수에서 다르게 나타나는지를 확인하고자 하였다. 이에 검사 문항을 세 자리 수의 범위에 대한 1~4번까지의 4개 문항과 네 자리 수의 범위에 대한5~10번까지의 6개 문항을 구분하여 재분석해 보았다. 그 결과는 <표 IV-4>와 같이 나타났다.
본 연구에서는 [그림 III-1]을 적용하여 연구 대상의 덧셈과 뺄셈 수행 능력을 검사한 후 보완적으로 학생들의 구체적인 반응에 대한 조사를 통해 오류 유형을 분석하는 혼합 연구의 방법(송상헌 외, 2013)을 취하였다. 즉 검사 문항에 대한 학생 응답을 조사하여 두 집단의 검사 결과의 평균에 대한 차이를 독립표본 t-검정으로 분석하는 양적 연구를 실시한 후, 통계적으로 유의미한 차이를 보인 문항들 중에서 정답률의 차이가 큰 문항에 대해 추가적으로 학생들의 반응을 조사함으로써 구체적인 오류 유형을 제시하였다.
이는 학생들의 동질성을 확보하기 위한 몇 가지 조처를 취했지만 학생들의 계산 능력 자체에 있어 차이가 있을 수 있다는 가능성을 배제하기 위함이기도 하다. 즉 두 집단 모두 학습한 세 자리 수의 덧셈과 뺄셈에서는 차이가 없고, 학습 여부가 다른 네 자리 수에서만 차이가 있어야 하므로 학습 여부에 따른 문제를 구분하여 분석한 것이다. 세 자리 수의 덧셈과 뺄셈은 두 집단 모두 학습했지만, 네 자리수의 덧셈과 뺄셈은 집단 2015만이 명시적으로 학습한 내용이다²⁾.
통계적으로 유의미한 차이가 드러난 네 자리수 범위의 뺄셈에 있어서 학생들이 경험하는 어려움을 파악하고자, 앞 절에서 집단 2015에 비해 집단 2016의 정답률이 5% 이상 낮은 것으로 드러났던 5, 6, 7번 문항에 있어서 다수의 학생들이 보인 대표적인 오류 유형을 분석하여 범주화하였다.
검사 문항의 계산 수행을 위한 학생들의 소요 시간을 어림하기 위해 서울시 소재 O초등학교 5학년 1개 학급에 예비 검사를 실시하였다. 특수학급 학생을 제외한 전 학생이 4분~9분에 걸쳐 완료하였기에 시간에 의한 영향을 최소화한다는 의도에서 본 검사의 시간을 10분으로 제한하였다.

대상 데이터

가능한 한 연구 대상 집단의 동질성을 확보하기 위해 연구 기간으로 계획한 2년에 걸쳐 동일 학교의 동일 학년을 택하였고, 검사 시기도 각 해의 4월 마지막 주로 맞추어 동질성을 최대화하였다. 2015년과 2016년 4월 마지막 주에 학교 및 학급의 상황에 편리한 시간을 선택하여 실시하도록 하였다.
검사 문항의 계산 수행을 위한 학생들의 소요 시간을 어림하기 위해 서울시 소재 O초등학교 5학년 1개 학급에 예비 검사를 실시하였다. 특수학급 학생을 제외한 전 학생이 4분~9분에 걸쳐 완료하였기에 시간에 의한 영향을 최소화한다는 의도에서 본 검사의 시간을 10분으로 제한하였다.
이와 같은 기준에 따라 2015학년도 서울, 경기, 강원, 충청, 경상, 전라권에서 선정된 초등학교 5학년 1~6개 학급 학생 339명과 2016학년도 동일 학교, 동일 학년 1~5개 학급 학생 316명을 선정하였다(<표 III-2>). 분석 결과의 타당성 제고를 위해 연구 대상을 6개 지역의 학교로부터 유사 층화표집 하였으며, 교육 환경적 요소의 영향을 최소화함으로써 비교 대상의 동질성을 확보하기 위하여 동일 학교, 동일 학년의 학생들을 대상으로 한 것이다. 2007 개정 교육과정에 따라 네 자리수의 덧셈과 뺄셈을 배운 학생들을 ‘집단 2015’, 2009 개정 교육과정에 따라 네 자리 수에 대한 별도의 지도 없이 세 자리 수의 범위에서 덧셈과 뺄셈을 배운 학생들을 ‘집단 2016’이라 지칭한다.
이와 같은 기준에 따라 2015학년도 서울, 경기, 강원, 충청, 경상, 전라권에서 선정된 초등학교 5학년 1~6개 학급 학생 339명과 2016학년도 동일 학교, 동일 학년 1~5개 학급 학생 316명을 선정하였다().

데이터처리

두 집단의 정답률 차이가 통계적으로 유의미한 것인지 파악하기 위하여 t-검정을 실시하였다. 앞 절에서 일부 뺄셈 문제(5, 6, 7번)에 대한 집단 2016의 정답률이 집단 2015에 비해 상대적으로 눈에 띄게 저조하다는 사실로부터 뺄셈 문항의 평균에 대한 t-검정 결과가 관건일 것으로 예측되었다.

성능/효과

구체적인 연구 절차는 다음과 같다. 가능한 한 연구 대상 집단의 동질성을 확보하기 위해 연구 기간으로 계획한 2년에 걸쳐 동일 학교의 동일 학년을 택하였고, 검사 시기도 각 해의 4월 마지막 주로 맞추어 동질성을 최대화하였다. 2015년과 2016년 4월 마지막 주에 학교 및 학급의 상황에 편리한 시간을 선택하여 실시하도록 하였다.
이는 받아올림이 있는 덧셈에 대한 설명 능력에 초점을 맞춘 연구로서, 두 자리 수와 세 자리 수의 덧셈을 풀도록 한 다음이에 대한 개념적 이해를 파악하기 위해 면담법을 이용하였다. 계산 검사 결과, 0을 포함하는 문제를 비롯하여 대부분의 문항에서 우리나라 학생들의 정답률이 높았으며 이는 미국 학생들에 비해 월등히 우수한 능력을 지닌 것임을 보여준 것이다. 또한 면담을 통해 학생들이 덧셈에 대해 지닌 개념적 구조를 파악해내었다.
덧셈과 뺄셈 전체 평균과 덧셈 평균에 있어서는 통계적으로 유의미한 차이가 없는 것으로 나타났으며, 뺄셈에 대해서는 p<0.1 수준에서 두 집단의 평균이 통계적으로 유의미한 차이(t=1.668, p=0.096)를 나타내었다.
또한 두 집단 간 정답률을 비교해보면, 대부분 큰 차이가 없거나 덧셈 7번, 뺄셈 10번에서와 같이 오히려 집단2016이 더 높은 경우도 있지만, 뺄셈 5, 6, 7번에서는 집단 2015에 비해 집단 2016의 정답률이 5% 이상 낮은 것으로 나타났다.
왜냐하면 집단 2015는 네 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 배웠고 집단 2016은 배우지 않았음에도 불구하고 두 집단 간 성취도에 있어서 유의미한 차이가 없다면 두 집단의 네 자리 수의 덧셈과 뺄셈 계산 능력에서 차이가 없다고 할 수 있으므로, 세 자리 수까지를 대상으로 학습한 덧셈과 뺄셈 원리의 일반화 가능성에 대해 긍정적인 해석을 내릴 수 있기 때문이다. 연구 결과, 덧셈에서는 세 자리 수와 네 자리 수 모두 두 집단의 평균에 있어 통계적으로 유의미한 차이가 없는 것으로 나타났다. 그러나 뺄셈에서는 통계적으로 유의미한 차이가 없는 세 자리 수와 달리 네 자리 수에서 집단 2015가 집단 2016에 비해 통계적으로 유의미하게 높은 정답률을 나타내었다.
둘째, 학생들이 덧셈보다 어려워한 뺄셈에 대해 여러 가지 문제 유형을 경험하게 할 필요가 있다. 연구 결과는 피감수에 포함된 0의 개수나 위치에 따라 학생들이 경험하는 구체적 곤란도가 상이함을 보여준다. 10묶음과 관련한 받아내림의 원리는 동일하지만 0이 포함되는 유형에 따라 구체적인 상황 특성이 달라지고, 이로 인한 계산 오류가 발생할 수 있다.
이 결과에 따르면 집단 간 차이가 가장 적은 부분이 세 자리 수의 덧셈이고, 뺄셈에 있어서는 세 자리 수의 성취도는 통계적으로 유의미한 차이가 없으나 네 자리 수 범위의 뺄셈에서는 두 집단의 평균 간에 p<0.05 수준에서 통계적으로 유의미한 차이가 있는 것으로 나타났다.
이에 대해 덧셈의 원리인 받아올림은 받아내림보다 상대적으로 용이하여 네 자리 수에 대한 명시적인 학습 없이도 수행이 용이하였지만 뺄셈의 경우에는 받아내림이 어렵고 자리의 수가 클수록 받아내림에서 기인하는 오류 유형이 다양하고 오류 발생 가능성이 크다는 점을 원인으로 설명할 수 있다. 특히 본 연구에서 정답률의 차이가 큰 뺄셈 문항에 대해 추가적으로 학생들의 구체적인 오류 유형을 조사한 결과에서도 파악할 수 있듯이, 피감수에 0이 포함된 뺄셈에서는 0처리 오류로 인한 계산의 곤란도가 크기 때문에 이를 유형별로 명시적으로 학습하지 않은 경우에 오류 발생 가능성이 높아지고, 결과적으로 뺄셈 원리의 일반화 가능성이 덧셈에 비해 낮은 것으로 볼 수 있다.

후속연구

피감수에 모두 0이 포함된 경우이고, 덧셈에서의 0이 오히려 계산을 쉽게 한다는 특성과 비교할 때 뺄셈에서는 피감수가 0을 포함하는 경우의 오류에 주의할 필요가 있다. 따라서 본 검사지에 포함된 문항 유형과 같이 0의 포함 횟수나 위치를 교수학적 변인으로 삼아 가능한 한 다양한 경우를 망라하는 문제를 제공할 필요가 있다. 장혜원, 최민아, 임미인(2014)에 제시된 교과서의 0처리 오류 가능성이 높은 계산 문제 역시 피감수에 0이 있는 뺄셈이 포함됨을 확인할 수 있다.
셋째, 0처리 오류와 같이 학생들이 어려워하는 문제 유형에 대해서는 효과적인 교수학적 도구의 사용을 고려할 필요가 있다. 예를 들어, ‘문제의 호소 음성(appealing voice of the problem)(Powell et al.
첫째, 교사 수업 시 또는 교사가 수업 설계 시 의존도가 높은 교과서에서 덧셈과 뺄셈의 계산 알고리즘에 앞서 계산 원리를 보다 정교하게 지도할 필요가 있다. 이론적으로는 덧셈과 뺄셈의 원리 파악이 충실히 이루어졌다면 세 자리 수의 덧셈과 뺄셈만으로 보다 큰 수의 계산으로 일반화가 가능하다.
따라서 2009 개정 교육과정에서 축소된 자연수의 덧셈과 뺄셈 원리의 명시적인 지도 범위가 어느 수준으로 유지 또는 개선되어야 하는지에 대해 고민해야할 필요성을 시사한다. 특히 뺄셈의 경우, 세 자리 수 범위를 네 자리 수 범위까지 재확장해야 하는지에 대해서도 추가적인 연구가 필요할 수 있다. 그러나 네 자리 수의 뺄셈을 지도하고 나서 다섯 자리 수로의 확장을 가정할 경우에도 뺄셈의 받아내림의 횟수 증가 및 0처리 오류로 인해 야기되는 오류 빈도의 증가를 예측한다면, 일반화를 위한 명시적 지도를 어느 자리까지 해야 하는가라는 양적 측면의 정답을 찾기보다는 어떤 방식으로 뺄셈 원리를 지도해야하는가 하는 질적 차원의 교수・학습 방법에 대한 시사점을 얻는 것이 보다 효과적인 논의일 것으로 생각한다.

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	저자가 추측한 세 자리 이상의 수의 덧셈과 뺄셈에 대한 연구가 미흡한 것에 대한 이유는 무엇인가?	그러나 덧셈구구와 뺄셈구구, 계산 전략, 가감문장제, 비형식적 지식 등에 대한 연구에 비해 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈 계산 능력 및 계산 원리의 일반화에 대한 연구는 상대적으로 그 수가 많지 않다. 세 자리 이상의 수의 덧셈과 뺄셈에 대한 연구가 미흡한 것은 그 근간으로서 한 자리 수의 덧셈구구와 그 역연산인 뺄셈구구, 두 자리 수의 덧셈과 뺄셈이 중요하며, 이로부터의 일반화에 기초하여 세 자리 이상의 수의 덧셈과 뺄셈 방법이 설명된다고 기대하기 때문으로 보인다. 예컨대 국내 연구로, 강완(2000)이 역대 수학 교과서에 나타난 두 자리 수의 덧셈과 뺄셈 지도 방법의 변화를 조사한 것이 대표적인 사례이다.
	2009 개정 교육과정에서 수와 연산의 변화 경향은 어떠한가?	2009 개정 교육과정으로 인한 초등학교 수학과 내용에서의 변화 중 하나도 이와 관련 있다. 수와 연산의 변화 경향은 수의 지도 시기는 앞당기되 덧셈과 뺄셈은 수의 범위와 별개로 지도되고 지도 범위도 축소된 것이다. 이전 교육과정까지에서는 수의 범위를 확장하면서 그에 따른 가감 연산을 맞추어 지도하였다.
	여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈 알고리즘에는 어떤 원리가 포함되는가?	여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈 알고리즘은 자릿값을 맞추어 일의 자리부터 각 자리마다 덧셈구구와 뺄셈구구를 적용하되 필요할 때 받아올림과 받아내림을 한다는 것이다. 이때 자릿값 및 십진법에 따라 각 자리에 적합한 다시 묶기를 해야 한다는 원리가 포함된다. 이와 관련하여 NCTM(2006)은 “(2학년) 아동이 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 위해 효과적이고 정확하며 일반화 가능한 방법을 개발하고 논의하고 이용한다(p.

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