[논문]함수의 연속을 판단하는 문제에서 현직교사와 예비교사의 정의역 인식 조사

이세형; 장현석; 이동원

doi:10.7468/mathedu.2018.57.4.477

함수의 연속을 판단하는 문제에서 현직교사와 예비교사의 정의역 인식 조사
A study of the in-service teachers' and pre-service teachers' recognition the domain in the problem of the continuity of a function 원문보기

Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Series A. The Mathematical Education, v.57 no.4, 2018년, pp.477 - 491

이세형 (경북대학교 대학원) , 장현석 (경북대학교 대학원) , 이동원 (경북대학교)

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper we study in-service teachers' and pre-service teachers' recognition the domain in the problem concerning the continuity of a function. By a questionnaire survey we find out that most of in-service teachers and pre-service teachers are understanding the continuity of a function as explained in high school mathematics textbook, in which the continuity was defined by and focused on comparing the limit with the value of the function. We also notice that this kind of definition for the continuity of a function makes them trouble to figure out whether a function is continuous at an isolated point, and to determine that a given function is continuous on a region by not considering its domain explicitly. Based on these results we made several suggestions to improve for in-service teachers and pre-service teachers to understand the continuity of a function more exactly, including an introduction of a more formal words usage such as 'continuous on a region' in high school classroom.

주제어

표/그림 (16)

표 [표 1] 성취기준(교육인적자원부, 2007; 교육과학기술부, 2011; 교육부, 2015) [Table 1] Achievement Standards(Ministry of Education and Human Resources Development, 2007; Ministry of Education, Science and Technology, 2011; Ministry of Education, 2015)
표 [표 2] 교수 ⦁ 학습상(방법)의 유의점(교육인적자원부, 2007; 교육과학기술부, 2011; 교육부, 2015) [Table 2] Guidelines for teaching and learning(Ministry of Education and Human Resources Development, 2007; Ministry of Education, Science and Technology, 2011; Ministry of Education, 2015)
표 [표 3] 연속함수의 정의 [Table 3] Definition of a continuous function
표 [표 4] 현직교사의 교직경력 [Table 4] Teaching career of in-service teachers
표 [표 8] 문항 1-1에 대한 현직교사와 예비교사의 응답 [Table 8] Response of in-service teachers and pre-service teachers to question 1-1
표 [표 5] 현직교사의 학력 [Table 5] Academic background of in-service teachers
표 [표 6] 현직교사의 담당학년 [Table 6] School years in charge of in-service teachers
표 [표 7] 예비교사의 학년 [Table 7] Pre-service teachers’ school years
표 [표 9] 문항 1-1에 대한 예비교사의 응답 [Table 9] Response of pre-service teachers to question 1-1
그림 [그림 2] 문항 1-2에 대한 예비교사의 응답 이유(유형1) [Fig. 2] Reason for pre-service teacher's response to questions 1-2 (Type 1)
그림 [그림 3] 문항 1-2에 대한 예비교사의 응답 이유(유형 2) [Fig. 3] Reason for pre-service teacher's response to questions 1-2 (Type 2)
그림 [그림 1] 문항 1-2에 대한 현직교사의 응답 이유 [Fig. 1] Reason for in-service teacher's response to questions 1-2
표 [표 10] 문항 1-2에 대한 현직교사와 예비교사의 응답 [Table 10] Response of in-service teachers and pre-service teachers to question 1-2
표 [표 12] 문항 2에 대한 예비교사의 응답(학년별) [Table 12] Response of pre-service teachers to question 2(By grade)
표 [표 11] 문항 2에 대한 현직교사와 예비교사의 응답 [Table 11] Response of in-service teachers and pre-service teachers to question 2
표 [표 13] 문항 3에 대한 현직교사와 예비교사의 응답 [Table 13] Response of in-service teachers and pre-service teachers to question 3

AI 본문요약
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문제 정의

먼저, 현직교사와 예비교사가 학교수학에서 함수의정의역을 어떻게 인식하여 한 점에서의 연속을 판정하는지 살펴보고, 학교수학에서 자주 다루는 연속확장문제로 인하여 어떠한 개념을 가지고 있는지도 확인하고자 한다. 또한 동적인 극한의 개념을 적용하기 어려운 종류의 함수를 제시하여 연속함수의 정의에 대한 인식을 살펴보고자 한다. 이는 현직교사가 교수학적 변환에 대한 지식을 가지고 극한 과정을 이용하여 가르치는 배경을 이해하고 있는지를 확인하기 위함이다.
본 연구에서는 현직교사와 예비교사가 함수의 연속을 판단할 때 정의역을 어떻게 인식하는지를 분석하고자 한다. 먼저, 현직교사와 예비교사가 학교수학에서 함수의정의역을 어떻게 인식하여 한 점에서의 연속을 판정하는지 살펴보고, 학교수학에서 자주 다루는 연속확장문제로 인하여 어떠한 개념을 가지고 있는지도 확인하고자 한다. 또한 동적인 극한의 개념을 적용하기 어려운 종류의 함수를 제시하여 연속함수의 정의에 대한 인식을 살펴보고자 한다.
올바른 교수학적 지식을 가지고 있는 교사는 이와 같은 문제가 생길 경우 적절하게 상황을 파악하여 대처할 수 있지만, 그렇지 않은 교사와 학생은 연속을 판단하는 것이 쉽지 않다. 본 논문에서는 이러한 문제를 현직교사와 예비교사들이 얼마나 인식하고 있는지를 조사하고자 한다.
본 연구에서는 현직교사와 예비교사가 함수의 연속을 판단할 때 정의역을 어떻게 인식하는지를 분석하고자 한다. 먼저, 현직교사와 예비교사가 학교수학에서 함수의정의역을 어떻게 인식하여 한 점에서의 연속을 판정하는지 살펴보고, 학교수학에서 자주 다루는 연속확장문제로 인하여 어떠한 개념을 가지고 있는지도 확인하고자 한다.
이는 교수학적 변환 과정에서 생길 수 있는 오개념과 한계를 교사들이 인식하도록 하여 함수의 연속에 대한 교수학적 처방을 마련하기 위한 기초 자료를 제공해주기 때문이다. 이에 본 연구에서는 함수의 연속을 판단하는 문제에서 현직교사와 예비교사가 정의역을 어떻게 인식하는가를 조사하고자 한다.
이는 현직교사가 교수학적 변환에 대한 지식을 가지고 극한 과정을 이용하여 가르치는 배경을 이해하고 있는지를 확인하기 위함이다. 즉, 함수의 연속에 대하여 학교수학의 정의로는 판단할 수 없는 문항을 제시하였을 때, 함수의 연속을 어떻게 판단하는지를 알아보고자 한다.

가설 설정

김창동 외(2014), 류희찬외(2014), 신항균 외(2014)는 연속함수를 정의역 전체에서 연속일 때로 정의하고 있지만, 그 외의 교과서는 어떤 구간에서 연속함수를 정의하고 있다. 연속함수의 정의는 위의 단계 ②와 단계 ③ 사이에 제시된다. 함수를 제시하고 그에 대한 정의역 구간을 구하게 하지만 정의역에 대한 언급 없이 다시 연속함수를 정의하고 있다.
단계 ③에서는 주어진 함수가 연속인구간을 찾게 하는데, 대개 ‘다음 함수의 연속을 조사하여라’ 혹은 ‘다음 함수가 연속인 구간을 구하여라’ 등의 지시문을 통하여 연속인 구간을 찾게 한다. 함수가 불연속인 점을 제외하고 연속이 되도록 하는 구간을 찾게 하는데, 그 구간이 실제로 함수의 정의역과 일치하게 된다. 결국 단계 ②에서와 같이 분수함수나 무리함수의 정의역을 구하는 것과 같다.
명확한 정의역의 언급 없이 함수를 정의하고 연속을 판단하는 이런 접근은, 정의역의 범위에 따라 연속함수가 될 수도 있고 안 될 수도 있기 때문에, 함수의 연속을 판단할 때 혼란을 줄 수 있다. 함수의 연속에 대한 교수ㆍ학습 상황에서 함수의 정의역이 언급되지 않는 한, 교사와 학생은 항상 함수가 어떤 맥락에서 주어져 있는가를 파악해야 한다. 올바른 교수학적 지식을 가지고 있는 교사는 이와 같은 문제가 생길 경우 적절하게 상황을 파악하여 대처할 수 있지만, 그렇지 않은 교사와 학생은 연속을 판단하는 것이 쉽지 않다.

제안 방법

본 연구는 현직교사와 예비교사를 대상으로 한 점에서의 연속 판정, 연속함수 판정 등의 내용을 소재로 3문항을 개발하고 설문을 진행하였다. 예비교사와 현직교사의 인식을 조사하기 위한 설문문항은 다음의 문항 1부터문항 3까지이다.
예비교사와 현직교사의 인식을 조사하기 위한 설문문항은 다음의 문항 1부터문항 3까지이다. 설문의 내용이 오개념이나 오류를 찾는 형식의 문항이 아니라 정의역을 인식하는 방식을 알기 위함이므로 문항 1은 대화형식을 취하였으며, 문항 1-1은 함수의 연속에 대한 정의를 고려한 대화로 학생을 대화자로 하였고, 문항 1-2는 함수의 정의를 바탕으로 둔 대화로 교사를 대화자로 두었다.

대상 데이터

본 연구에서는 D지역 고등학교에 재직 중인 현직교사 14명과 K대학교 수학교육과 재학생인 예비교사 60명을 대상으로 설문조사를 실시하였다. 예비교사는 현재사범대학 수학교육과에 재학 중인 대학생으로서 함수의 연속에 대한 학교수학의 정의와 학문수학의 정의를 모두배운 상태이었다.

성능/효과

이때 ‘불연속점’이란 ‘연속이 아닌 점’으로, 학문적인 수학에서의 ‘불연속점’은 정의역의 원소로 제한되지만, 교과서에서 소개한 연속의 정의에 대한 부정으로 ‘함숫값이 정의 되지 않은 점’도 불연속점으로 분류될 수도 있다. 더불어 교수학적 변환 과정에서 연속함수에 대한 정의가 교과서간 일관되지 않음을 확인하였다. 이를 토대로 학생들을 대상으로 설문을 실시하여 학생들이 연속함수를 어떻게 판정하는지 분석하고, 함수의 연속에 대한 교수학적 변환에서 유의사항과 보완점을 제시하고 있다.
둘째, 현직교사와 예비교사는 연속을 동적인 극한 개념으로 이해함으로써 고립점에서 연속을 판단하지 못하였다. 문항 2의 응답에서 보듯이 고립점에서 연속을 판단하는 데 현직교사와 예비교사 모두 어려움을 겪었지만, 현직교사보다 예비교사가 상대적으로 옳게 판단하였다.
둘째, 현직교사와 예비교사는 연속을 동적인 극한 개념으로 이해함으로써 고립점에서 연속을 판단하지 못하였다. 문항 2의 응답에서 보듯이 고립점에서 연속을 판단하는 데 현직교사와 예비교사 모두 어려움을 겪었지만, 현직교사보다 예비교사가 상대적으로 옳게 판단하였다. 이는 고립점에서의 함수의 연속은 학교수학의 정의로 판단하기 어렵고 ε-δ 방법으로 판단하여야 하는데, 예비교사는 이 정의를 상대적으로 많이 상기할 수 있기 때문으로 해석된다.
셋째, 제 Ⅳ장에서 살펴본 바와 같이, 현직교사는 교직 경력에 상관없이 학교수학의 정의로 연속을 판단하는 경향이 있었고, 예비교사는 고학년이 될수록 학문수학의 정의에 입각하여 함수의 연속을 판단하는 경향이 있었다. 이는 대학의 미적분학과 해석학을 학습함에 따라 함수의 연속에 대한 학문적 정의를 이해하더라도 중등학교현장으로 가면 다시 학교수학의 이해 수준으로 회귀할 가능성이 높음을 의미한다.
예비교사는 문항 2의 고립점에서의 연속 판단 문제보다 조금 더 수월하게 연속을 판단하였으며, 문항 3에서는 현직교사보다 정확하게 연속을 판단하였다. 이러한 응답 차이는 예비교사에 비해 현직교사가 함수의 정의역을 고려하여 함수의 연속을 판단하는 데 익숙하지 않음을 보여준다.
반면 예비교사들은 ε-δ 방식의 정의를 이용하여 주어진 함수를 연속이라 판정한 인원이 다수 있음을 보인다. 이를 종합하여 볼 때, 현직교사는 고립점에서의 함수의 연속에 대한 이해도가 매우 낮고, 극한 개념으로 함수의 연속을 이해하고, 대학에서 학습한 학문수학의 연속의 개념과 지식을 거의 상기하지 못함을 알 수 있다.
첫째, 현직교사와 예비교사는 대부분 ‘한 점에서의 연속’의 정의를 학교수학의 정의를 바탕으로 이해하고 있으며 이로 인해 연속함수의 판단에서 정의역을 고려하지 않는 문제점을 드러냈다.

후속연구

따라서 함수의 연속에 대한현재 학교수학의 교과서에 서술된 방식이 교사에게 부정확한 개념을 갖게 하고, 이는 학생에게 부정적인 영향을 끼칠 수 있음을 시사한다. 그러므로 현직교사가 현재 교수학습에서 사용되는 함수의 연속에 대한 학문수학의 정확한 수학적 내용과 교수학적 변환의 배경을 이해할 수 있도록 함수의 연속의 내용을 포함한 교육ㆍ연수를 제공하기를 제안한다.
이는 함수의 연속 또는 불연속이 고려하는 영역에 따라 달라질 수 있음을 학습시키는 효과가 있다. 이를 확장하여 한 점에서 정의되어 있지 않거나 함숫값이 주어지지 않을 때, 연속이 되도록 함숫값을 취하는 연속확장문제로 나아가기를 제언한다.
첫째, 한 점에서의 연속에 대한 정의는 정의역의 원소를 기본 전제로 하고 함수의 극한과 함숫값이 일치하는지를 판단하게 하는 서술 방식을 따를 것을 제안한다. 또 극한을 취할 수 없는 고립점에서도 함수의 연속에 대하여 교사와 학생에게 사고할 수 있는 기회를 제공해 주기를 권한다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	불연속점이란?	이진영(2011)은 이경화, 신보미(2005)와 김남희 외(2006)의 연구 결과를 바탕으로 2007 개정 교과서에 ‘한 점에서의 함수의 연속’에 대한 부정으로 소개된 ‘한 점에서의 함수의 불연속’에 대한 정의에서 정의역의 표현이 교과서간 차이가 있음을 보였다. 이때 ‘불연속점’이란 ‘연속이 아닌 점’으로, 학문적인 수학에서의 ‘불연속점’은 정의역의 원소로 제한되지만, 교과서에서 소개한 연속의 정의에 대한 부정으로 ‘함숫값이 정의 되지 않은 점’도 불연속점으로 분류될 수도있다. 더불어 교수학적 변환 과정에서 연속함수에 대한 정의가 교과서간 일관되지 않음을 확인하였다.
	교수체계의 세 가지 구성 요소는?	Chevallard(1988)의 주장처럼 교수체계는 ‘지식’, ‘학생’, ‘교사’의 세 가지 요소로 구성된다. 이 중에서 ‘지식’은 ‘학문적 지식’과 ‘교수학적 지식’으로 분류할 수 있는데, 수학적 지식인 경우에 전자는 학문수학, 후자는 학교수학이라 한다.
	교사가 함수의 연속에 대해 올바르게 이해하고 인식하는 것이, 교수학적으로 중요한 이유는?	이 중에서 ‘지식’은 ‘학문적 지식’과 ‘교수학적 지식’으로 분류할 수 있는데, 수학적 지식인 경우에 전자는 학문수학, 후자는 학교수학이라 한다. 교수학적 변환론의 관점에서 교사의 ‘교수학적 지식’은 학교수학에서 중요한 역할을 한다. 그러므로 함수의 연속에 대하여 교사가 올바르게 이해하고 가르칠 지식의 내용을 정확하게 인식하는 것은 교수학적으로 매우 중요하다.

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표제어: PCR

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용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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