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[국내논문] 단순 확산과정들에 대한 확률효과 모형
Random effect models for simple diffusions 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.31 no.6, 2018년, pp.801 - 810  

이은경 (이화여자대학교 통계학과) ,  이인석 (서강대학교 경영학부) ,  이윤동 (서강대학교 경영학부)

초록
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확산은 금융이나 물리적 현상의 모형화에 이용되는 확률과정이다. 반복적으로 관측된 확산과정에 대하여 통계적인 모형을 구축할 때, 확률효과를 고려할 필요가 있다. 이 연구에서는 Ornstein-Uhlenbeck 확산모형과 geometric Brownian motion 확산모형에 대하여 확률효과를 도입한다. 모형모수에 대한 최도우도추정법을 적용하기 위하여, 확률효과에 대한 적절한 분포를 가정하여 닫힌 형태로 우도함수를 얻는 방법을 탐색하였다. 1991년부터 2017년까지 27년간 일일 단위로 기록된 다우존스 산업지수에 대하여 확률효과 모형을 적용하였다.

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

Diffusion is a random process used to model financial and physical phenomena. When we construct statistical models for repeatedly observed diffusion processes, the idea of random effects needs to be considered. In this research, we introduce random parameters for an Ornstein-Uhlenbeck diffusion mode...

Keyword

#확산   #확률효과   #OU 모형   #GBM 모형  

표/그림 (2)

AI 본문요약
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문제 정의

  • 에 확률적 특성을 갖는 값을 도입하는 확률효과모형(random effect model)을 고려하여야 한다. 본 논문에서는 매우 단순한 확산과정들을 가정하고 그 계수들이 불확실성을 갖는 것으로 가정하고, 즉 모형모수가 확률효과인 모형을 가정하고, 이에 대한 최대우도추정법을 적용하기 위하여 우도함수를 구성하는 방법을 살펴본다. 선형 혹은 비선형 형태의 회귀모형에서 확률효과를 도입하는 경우에서 최대우도추정법에 의한 모수 추정에 대한 연구로는 Laird와 Ware (1982)와 Pinheiro와 Bates (2000)가 있다.
  • 확산모형에 대한 전이확률밀도함수를 구하는 과정은 Ait-Sahalia (2002)에 의하여 정리된 바 있고, Lee 등 (2014)는 이를 개선하여 매우 정확한 정도로 전이확률밀도함수를 구하는 방법을 제시하였다. 본 논문에서는 일반적인 확산모형에 대하여 Lee 등 (2014)에서 제시한 방법을 도입하기에 앞서, 전이확률밀도함수의 수식이 알려져 있는 단순한 확산모형들에, 적절한 형태의 분포를 갖는 확률효과를 도입하여, 수치적 방법 등에 의존하지 않고, 수식에 의한 적분이 가능하도록 하여, 주변분포를 구해보고, 그 형태가 어떻게 구해지는 지를 살펴보게 된다.
  • 본 논문에서는 다중적분의 어려움을 피하기 위하여 모수 α, β, η를 각각 별개의 확률효과로 가정하는 경우에 대하여, 최대우도법으로 모형모수를 추정하기 위하여 우도를 구성하는 방법을 살펴본다.
  • 본 논문에서는, 가장 기본적인 확산모형인 OU 모형, GBM 모형에 대한 확률효과 모형을 살펴보았다. 또한 모형모수들이 동시에 확률효과를 가질 수 있다고 보는 대신, 개별 모수 각각이 확률효과가 되는 경우만 살펴보았다.
  • 본 연구에서는 이후에 보다 깊이 있는 연구가 진행되는 과정에서 참고가 되고 결과에 대한 비교 기준이 될 수 있도록, 가장 단순한 확산모형인 OU 모형과 GBM 모형에 대하여 확률효과를 도입하는 경우, 적절한 확률효과의 분포를 가정하여 비교적 단순한 방법으로 그 우도함수의 형태를 수식으로 표현할 수 있는 경우를 살펴보았다.

가설 설정

  • 확산과정에 대한 관측간격 δ는 0.01로 가정하였다.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
확산모형의 확률효과 모형에 대한 연구가 활발하게 진행되지 못한 이유는 무엇인가? 확산모형에 확률효과를 도입하는 연구는 선행연구가 많지 않고, 최근 일부 시도가 이루어지고 있으나, 제한적인 조건 하에서 근사적 방법 등을 이용하고 있다 (Picchini 등, 2010; Delattre, 2013). 확산모형의 확률효과 모형에 대한 연구가 활발하게 진행되지 못하는 기본적인 이유는, 일부 단순한 모형을 제외한 대부분의 확산모형에서 전이확률밀도함수가 닫힌 형태(closed-form)로 구할 수 있는 경우가 없기 때문이다.
적분의 형태로 주어지는 관측벡터의 주변분포(즉, 우도함수)를 구하는 것이 쉽지 않음은 무엇을 의미하는가? 본 논문을 통하여, 매우 단순한 형태의 확산모형에 대하여도, 확률효과를 도입하는 경우, 적분의 형태로 주어지는 관측벡터의 주변분포(즉, 우도함수)를 구하는 것이 쉽지 않음을 살펴볼 수 있다. 이는 일반적인 확산모형에 확률효과를 도입하는 경우 그 모수 추정이 단순하고 쉬운 문제가 아니라는 의미가 되는 것이고, 일반적인 확산모형에 확률효과를 고려하기 위해서는 별도의 통계적 방법이 개발되어야 함을 의미한다.
확산은 어떤 특성을 가지는가? 확산 확률과정 yt에서 시간 t는 연속적인 값이다. 즉, 확산은 모형적 측면에서는 시간에 대하여 연속적인 특성을 갖는다. 그러나 이를 관측하는 경우, 매우 조밀한 시간 간격으로 관측이 이루어진다고 가정하더라도, 관측이란 결국은 이산적인 시간간격으로 이루어질 수밖에 없다.
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