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문제 정의
- 본 논문에서는 ANN 대치법과 WKNN 대치법을 결합한 WANN 대치법을 제안하였다. 제안한 방법과 WKNN 대치법은 각각 커널함수에 따라 세 가지 방법으로 나누고, ANN, KNN 대치법과 정규화 제곱근 평균제곱오차를 이용하여 비교하였다.
- 본 논문에서는 KNN 대치법을 보완한 ANN 대치법과 WKNN 대치법의 장점을 결합한 가중 적응 최근접 이웃(weighted ANN; WANN) 대치법을 제안하였다. 제안하는 방법은 자료에서 각 개체의 국소적 특징을 고려하여 개체에 따라 결측치 대치에 활용하는 최근접 이웃의 개수 k를 변화시키고 최근접이웃들 중에 극단값이나 이상값이 있는 경우, 이들의 영향에 덜 민감하면서도 정확도를 높인다는 두 가지 장점을 모두 지닌다.
제안 방법
- 1씩 증가하는 경우에 KNN이 가장 작았고 그 뒤를 ANN, Epanechnikov-WKNN이 따랐다. 0.2씩 증가하는 자료에서는 ANN, 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN, Epanechnikov-WKNN, 제안한 Triangular-WANN이 그 뒤를 따랐다. 하지만 0.
- 5를 갖는 변수를 4개로 설정하였다. 그리고 완전임의결측 가정 하에 5%와 10%의 결측을 발생시킨 후 ANN, KNN, WKNN, 제안한 방법을 통해 결측값을 추정하였다.
- 기존의 WKNN 대치법에서 사용한 커널함수 중 첨도가 큰 Triweight 함수와 작은 Epanechnikov 함수, 그리고 중간인 Triangular 함수를 새롭게 추가하여 사용하였다. 커널함수의 첨도가 크면 최근접이웃들에 대한 가중치간의 차이를 크게 하는 효과가 있다.
- 3씩 증가한다. 다음으로 자료 C1, C2, C3는 두 개의 변수마다 변동계수가 0.3, 0.5, 0.7씩 증가하도록 하였다. 또한 자료 D는 세 개의 변수끼리 변동계수를 동일하게 하여 D1은 0.
- 또한 모든 자료에서 WKNN의 NRMSE 값이 가장 컸다. 변동계수가 0.5로 모든 변수에 대해 동일한 경우 결측 5%, 10%에서 ANN이 가장 작은 NRMSE 값을 가졌고 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN, Triangular-WANN이 그 뒤를 따랐다. 다음으로 각 변수들의 변동계수가 모두 다른 자료를 살펴보면, 0.
- Lim과 Kim (2015)은 커널함수 Triweight, Epanechnikov에 따라 Triweight-WKNN, Epanechnikov-WKNN 대치법을 제안하였다. 본 논문에서는 커널함수 Triweight, Epanechnikov, Triangular를 사용하여 Triweight-WANN, Epanechnikov-WANN, Triangular-WANN 대치법을 새롭게 제안하였고 기존의 WKNN 대치법에 새롭게 Triangular함수를 사용하여 Triangular-WKNN을 추가로 제안하였다. 새롭게 제안한 세 가지 방법과 기존 방법인 ANN, KNN, WKNN의 세 가지 방법들의 성능을 비교하기 위하여 모의실험을 시행하였다.
- 본 논문에서는 커널함수 Triweight, Epanechnikov, Triangular를 사용하여 Triweight-WANN, Epanechnikov-WANN, Triangular-WANN 대치법을 새롭게 제안하였고 기존의 WKNN 대치법에 새롭게 Triangular함수를 사용하여 Triangular-WKNN을 추가로 제안하였다. 새롭게 제안한 세 가지 방법과 기존 방법인 ANN, KNN, WKNN의 세 가지 방법들의 성능을 비교하기 위하여 모의실험을 시행하였다. 300개의 개체에 대해 숫자형 변수가 6개인 다변량정규분포를 따르는 자료를 생성하였고 상관관계가 없는 무상관관계와 상관계수가 0.
- 세 가지 커널함수에 따라 세 가지 대치법 Triweight-WANN, Epanechnikov-WANN, Triangular-WANN을 제안하였고 그 단계는 다음을 따른다.
- 005씩 동일한 간격으로 선택하였다. 여기서 이웃의 수 k와 q의 척도가 다르기 때문에 각 각의 데이터에 대하여 가능한 k와 q값들에 대한 NRMSE의 최소값을 사용하여 대치 방법들의 성능을 비교하였다. 이와 같은 과정을 독립적으로 100회 반복하였으며, Table 3.
- 3일 때를 고려하였다. 이때, 유사성 거리에 따라 최근접 이웃들을 선택하므로 변동계수를 이용하여 산포도에 따라 각 결측치 대치법들을 비교하였다. Table 3.
- 본 논문에서는 KNN 대치법을 보완한 ANN 대치법과 WKNN 대치법의 장점을 결합한 가중 적응 최근접 이웃(weighted ANN; WANN) 대치법을 제안하였다. 제안하는 방법은 자료에서 각 개체의 국소적 특징을 고려하여 개체에 따라 결측치 대치에 활용하는 최근접 이웃의 개수 k를 변화시키고 최근접이웃들 중에 극단값이나 이상값이 있는 경우, 이들의 영향에 덜 민감하면서도 정확도를 높인다는 두 가지 장점을 모두 지닌다. 2장에서는 WANN 대치법을 소개하고 단순 예제를 통해 제안한 방법을 설명하였으며, 3장에서는 다양한 설정에서의 모의실험을 통하여 기존의 ANN, KNN, WKNN 대치법과 제안된 WANN 대치법의 성능을 비교하였다.
대상 데이터
- 새롭게 제안한 세 가지 방법과 기존 방법인 ANN, KNN, WKNN의 세 가지 방법들의 성능을 비교하기 위하여 모의실험을 시행하였다. 300개의 개체에 대해 숫자형 변수가 6개인 다변량정규분포를 따르는 자료를 생성하였고 상관관계가 없는 무상관관계와 상관계수가 0.3일 때를 고려하였다. 이때, 유사성 거리에 따라 최근접 이웃들을 선택하므로 변동계수를 이용하여 산포도에 따라 각 결측치 대치법들을 비교하였다.
데이터처리
- 결측값을 추정한 후에 대치법들의 성능을 비교하기 위하여 정규화 제곱근 평균제곱오차(normalized root mean squared error; NRMSE)를 이용하였다.
- 본 논문에서는 ANN 대치법과 WKNN 대치법을 결합한 WANN 대치법을 제안하였다. 제안한 방법과 WKNN 대치법은 각각 커널함수에 따라 세 가지 방법으로 나누고, ANN, KNN 대치법과 정규화 제곱근 평균제곱오차를 이용하여 비교하였다.
성능/효과
- 7씩 증가하는 자료를 살펴보면 먼저 결측 5%인 경우에 세 자료에서 ANN이 가장 우수함을 보였다. 0.3, 0.7씩 차이가 나는 경우에는 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN과 Triangular-WANN 그리고 KNN이 그 뒤를 따랐고, 0.5씩 차이가 나는 경우에는 KNN과 새롭게 제안한 세 가지 대치법들이 모두 WKNN보다 좋은 결과를 보였다. 결측 10%일 때 0.
- 1씩 증가한 경우, 결측 5%에서 ANN, 제안한 방법 Epanechnikov-WANN과 Triangular-WANN, KNN, 제안한 방법 Triweight-WANN순으로 좋았다. 10% 결측일 때는 Triweight-WANN이 KNN보다 좋았다. 변동계수의 차이가 0.
- 2인 경우 결측 5%와 10%에서 ANN이 가장 우수한 성능을 보였고 새롭게 제안한 방법들이 모두 Epanechnikov-WANN, Triangular-WANN, Triweight-WANN의 순서로 그 다음으로 우수한 성능을 보였다. 각 변수의 변동계수의 증가 폭이 0.3으로 커진 경우에는 결측 5%와 10%일 때 모두 새롭게 제안한 방법들 중에서 Epanechnikov-WANN이 가장 우수한 성능을 보였고 ANN과 제안한 나머지 두 방법들이 그 뒤를 따랐다. 두 개의 변수끼리 같은 변동계수를 갖는 자료에서 결측 5%일 때 차이가 0.
- 5, 1씩 차이가 날 때 결측 5%에서 모두 같은 결과를 보였는데, ANN과 KNN이 가장 작은 값을 가졌고 새롭게 제안한 세 가지 대치법들은 모두 WKNN보다 작은 값을 가졌다. 결측 10%에서, 변동계수의 차이가 0.4인 경우에는 KNN, ANN, 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN, Epanechnikov-WKNN순으로 좋은 결과를 보였고, 차이가 0.5인 경우에는 Epanechnikov-WKNN이 Epanechnikov-WANN보다 작은 값을 가졌다. 또한 차이가 1씩 날 때에는 결측이 5%일 때와 같은 결과를 보였다.
- 결측 5%에서 ANN, Epanechnikov-WKNN 그리고 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN이 그 뒤를 이었다. 결측 10%에서는 Epanechnikov-WKNN과 Triangular-WKNN이 ANN보다 좋은 성능을 보였다. 변동계수가 모두 같고 0.
- 3일 때와 같은 결과를 보였다. 결측 10%에서는 세 자료에서 모두 새롭게 제안한 방법 중에서 Epanechnikov-WANN이 가장 작은 값을 가졌다. 그 뒤를 ANN과 새롭게 제안한 Triangular-WANN, Triweight-WANN이 이었다.
- 동일한 변동계수를 갖는 변수가 많고 그 증가 폭이 작을 때는 대체적으로 ANN이 가장 좋은 성능을 보였고 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN과 Triangular-WANN은 그 다음으로 우수한 성능을 보였다. 결측률이 높고 같은 변동계수를 갖는 변수가 적고 그 차이가 증가할수록 제안한 방법 중 Epanechnikov커널함수를 이용한 WANN 대치법이 ANN과 다른 대치법들에 비해 가장 작은 NRMSE값을 가졌다. 즉, 변수들의 변동계수가 다양하고 그 증가 폭이 클수록 개체의 국소적 특징을 반영하여 개체 수를 선택하고 Epanechnikov 커널함수를 이용하여 가중치를 산정하는, 본 논문에서 제안한 Epanechnikov-WANN 방법이 더 효율적이다.
- 5로 모든 변수에 대해 동일한 경우 결측 5%, 10%에서 ANN이 가장 작은 NRMSE 값을 가졌고 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN, Triangular-WANN이 그 뒤를 따랐다. 다음으로 각 변수들의 변동계수가 모두 다른 자료를 살펴보면, 0.1씩 증가한 경우, 결측 5%에서 ANN, 제안한 방법 Epanechnikov-WANN과 Triangular-WANN, KNN, 제안한 방법 Triweight-WANN순으로 좋았다. 10% 결측일 때는 Triweight-WANN이 KNN보다 좋았다.
- 다음으로 상관계수가 0.3인 자료를 살펴보면 대체적으로 ANN과 KNN이 가장 작은 값을 가졌는데 각각의 대치법들의 NRMSE 값의 차이는 무상관관계일 때보다 작았다. 먼저 변동계수가 0.
- 두 개의 변수가 동일한 변동계수를 갖는 자료에서 결측률이 높고 변동계수의 증가 폭이 커지면 ANN 대치법의 성능이 다른 대치법들보다 떨어지는 것을 볼 수 있다. 다음으로 세 개의 변수마다 변동계수가 0.4, 0.5, 1씩 차이가 날 때 결측 5%에서 모두 같은 결과를 보였는데, ANN과 KNN이 가장 작은 값을 가졌고 새롭게 제안한 세 가지 대치법들은 모두 WKNN보다 작은 값을 가졌다. 결측 10%에서, 변동계수의 차이가 0.
- 특히 Epanechnikov-WANN과 Triangular-WANN은 변동계수에 상관없이 모든 자료에서 KNN과 WKNN보다 좋은 성능을 보였다. 동일한 변동계수를 갖는 변수가 많고 그 증가 폭이 작을 때는 대체적으로 ANN이 가장 좋은 성능을 보였고 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN과 Triangular-WANN은 그 다음으로 우수한 성능을 보였다. 결측률이 높고 같은 변동계수를 갖는 변수가 적고 그 차이가 증가할수록 제안한 방법 중 Epanechnikov커널함수를 이용한 WANN 대치법이 ANN과 다른 대치법들에 비해 가장 작은 NRMSE값을 가졌다.
- 변수들의 변동계수가 모두 다르고 그 값이 큰 경우에는 새롭게 제안한 방법들이 대체적으로 성능이 좋아짐을 알 수 있다. 두 개의 변수가 같은 변동계수를 가지고 그 차이가 0.3, 0.5, 0.7씩 증가하는 자료를 살펴보면 먼저 결측 5%인 경우에 세 자료에서 ANN이 가장 우수함을 보였다. 0.
- 7인 경우에는 KNN이 가장 좋은 결과를 보였고 그 뒤를Epanechnikov-WKNN, 제안한 방법 중 Epanechnikov-WANN 그리고 ANN이 뒤를 따랐다. 두 개의 변수가 동일한 변동계수를 갖는 자료에서 결측률이 높고 변동계수의 증가 폭이 커지면 ANN 대치법의 성능이 다른 대치법들보다 떨어지는 것을 볼 수 있다. 다음으로 세 개의 변수마다 변동계수가 0.
- 3으로 커진 경우에는 결측 5%와 10%일 때 모두 새롭게 제안한 방법들 중에서 Epanechnikov-WANN이 가장 우수한 성능을 보였고 ANN과 제안한 나머지 두 방법들이 그 뒤를 따랐다. 두 개의 변수끼리 같은 변동계수를 갖는 자료에서 결측 5%일 때 차이가 0.3인 경우, ANN이 가장 작은 값을 가졌고 새롭게 제안한 세 가지 방법 모두 다른 대치법들보다 좋은 성능을 보였다. 하지만, 차이가 0.
- 먼저 무상관관계를 갖는 자료를 살펴보면, 결측률에 상관없이 모든 자료에서 ANN과 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN과 Triangular-WANN이 가장 우수한 성능을 보였다. 또한 모든 자료에서 WKNN의 NRMSE 값이 가장 컸다. 변동계수가 0.
- 이는 같은 변동계수를 갖는 변수가 많아지면 ANN이 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN보다 좋은 성능을 보인다는 것을 알 수 있다. 마지막으로 무상관관계에서 여섯 개의 변수 중 2개가 0.5이고 4개가 1.5인 경우에는 결측 5%, 10%일 때 ANN과 더불어 새롭게 제안한 세 가지 대치법들이 Epanechnikov-WANN, Triangular-WANN, Triweight-WANN 순서로 다른 대치법들 보다 모두 좋은 성능을 보였고 여섯 개의 변수 중에서 2개가 1.5, 나머지가 0.5인 자료에서 결측 5%일 때도 같은 결과를 보였다. 하지만, 결측 10%에서는 KNN이 Triweight-WANN보다 작은 값을 가졌고 이는 변동계수가 모두 동일한 경우와 같은 결과이다.
- 또한 차이가 1씩 날 때에는 결측이 5%일 때와 같은 결과를 보였다. 마지막으로 변동계수가 0.5인 변수가 2개 1.5인 변수가 4개인 자료와 0.5인 변수 4개, 1.5인 변수가 2개인 자료에서 결측 5%일 때는 KNN, ANN, 제안한 방법 Epanechnikov-WANN순으로 가장 우수함을 보였고 결측 10%에서는 KNN, Epanechnikov-WKNN, ANN이 가장 우수함을 보였다. 전반적으로 무상관관계를 갖는 자료와는 다르게 0.
- 먼저 무상관관계를 갖는 자료를 살펴보면, 결측률에 상관없이 모든 자료에서 ANN과 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN과 Triangular-WANN이 가장 우수한 성능을 보였다. 또한 모든 자료에서 WKNN의 NRMSE 값이 가장 컸다.
- 모든 변수들이 무상관관계를 갖는 다변량 정규분포에서 ANN과 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN, Triangular-WANN, Triweight-WANN이 대체적으로 우수한 성능을 보였다. 특히 Epanechnikov-WANN과 Triangular-WANN은 변동계수에 상관없이 모든 자료에서 KNN과 WKNN보다 좋은 성능을 보였다.
- 결측 10%에서는 Epanechnikov-WKNN과 Triangular-WKNN이 ANN보다 좋은 성능을 보였다. 변동계수가 모두 같고 0.3의 상관관계를 가질 때에는 KNN과 Epanechnikov-WKNN 대치법이 좋은 성능을 보였다. 변수들의 변동계수가 모두 다른 자료에서 결측 5%일 때, 변동계수가 0.
- 10% 결측일 때는 Triweight-WANN이 KNN보다 좋았다. 변동계수의 차이가 0.2인 경우 결측 5%와 10%에서 ANN이 가장 우수한 성능을 보였고 새롭게 제안한 방법들이 모두 Epanechnikov-WANN, Triangular-WANN, Triweight-WANN의 순서로 그 다음으로 우수한 성능을 보였다. 각 변수의 변동계수의 증가 폭이 0.
- 3으로 폭이 증가하면 새롭게 제안한 Triangular-WANN이 Epanechnikov-WKNN보다 작은 값을 가졌다. 변수들의 변동계수가 모두 다르고 그 값이 큰 경우에는 새롭게 제안한 방법들이 대체적으로 성능이 좋아짐을 알 수 있다. 두 개의 변수가 같은 변동계수를 가지고 그 차이가 0.
- 3의 상관관계를 가질 때에는 KNN과 Epanechnikov-WKNN 대치법이 좋은 성능을 보였다. 변수들의 변동계수가 모두 다른 자료에서 결측 5%일 때, 변동계수가 0.1, 0.3씩 증가할 때는 ANN과 KNN이 가장 작은 값을 가졌고, 새롭게 제안하는 세 가지 방법 Epanechnikov-WANN, Triangular-WANN, Triweight-WANN이 모두 WKNN보다 작은 값을 가졌다. 0.
- 변수들의 상관계수가 0.3인 경우에는 대체적으로 ANN 대치법과 KNN 대치법이 우수한 성능을 보였지만 무상관관계를 갖는 경우보다 NRMSE의 차이가 작았고 무상관관계를 갖는 경우와는 다르게 Epanechnikov-WKNN 대치법도 좋은 성능을 보였다. 특히, 결측률이 높을 때 같은 변동계수를 갖는 변수가 많으면 대체적으로 Epanechnikov-WKNN이 ANN보다 좋은 성능을 보였다.
- 본 논문에서 제안하는 가중 적응 최근접 이웃 대치법은 조정된 이웃의 수를 사용하여 개체들의 국소적 특징을 반영하고 커널함수를 이용하여 가중치를 계산함으로써 각 변수들의 산포도를 고려할 수 있고 변동계수가 클 때에도 좋은 성능을 보인다. 즉, 최근접 이웃들의 극단값이나 이상값에도 높은 정확도를 보임으로써 앞으로 유용한 결측치 대치법이 될 것으로 기대한다.
- 상관계수에 관계없이 모든 자료에서 제안한 방법들과 WKNN 방법들을 비교하였을 때 항상 Epanech-nikov, Triangular, Triweight의 순서로 우수한 성능을 보였다. 따라서 첨도가 작은 커널함수를 사용하여 가중치간의 차이를 작게 하는 것이 더 정확한 추정을 할 수 있다.
- 즉, 자료의 변동계수가 다양하고 그 변화의 폭이 클 때 제안한 방법들 중에서 Epanechnikov함수를 쓴 Epanechnikov-WANN 대치법의 성능이 가장 우수함을 알 수 있다. 세 개의 변수가 같은 변동계수를 갖고 그 차이가 0.5인 자료에서 결측 5%일 때 ANN, 제안한 방법들 중에서 Epanechnikov-WANN과 Triangular-WANN, KNN, Triweight-WANN순으로 좋았고 나머지 두 자료에서는 제안한 방법 Triweight-WANN이 KNN보다 작은 값을 보였는데 이 결과는 결측률 10%일 때 세 자료에서 모두 동일하다. 이는 같은 변동계수를 갖는 변수가 많아지면 ANN이 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN보다 좋은 성능을 보인다는 것을 알 수 있다.
- 5인 자료에서 결측 5%일 때 ANN, 제안한 방법들 중에서 Epanechnikov-WANN과 Triangular-WANN, KNN, Triweight-WANN순으로 좋았고 나머지 두 자료에서는 제안한 방법 Triweight-WANN이 KNN보다 작은 값을 보였는데 이 결과는 결측률 10%일 때 세 자료에서 모두 동일하다. 이는 같은 변동계수를 갖는 변수가 많아지면 ANN이 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN보다 좋은 성능을 보인다는 것을 알 수 있다. 마지막으로 무상관관계에서 여섯 개의 변수 중 2개가 0.
- 결측률이 높고 같은 변동계수를 갖는 변수가 적고 그 차이가 증가할수록 제안한 방법 중 Epanechnikov커널함수를 이용한 WANN 대치법이 ANN과 다른 대치법들에 비해 가장 작은 NRMSE값을 가졌다. 즉, 변수들의 변동계수가 다양하고 그 증가 폭이 클수록 개체의 국소적 특징을 반영하여 개체 수를 선택하고 Epanechnikov 커널함수를 이용하여 가중치를 산정하는, 본 논문에서 제안한 Epanechnikov-WANN 방법이 더 효율적이다.
- 그 뒤를 ANN과 새롭게 제안한 Triangular-WANN, Triweight-WANN이 이었다. 즉, 자료의 변동계수가 다양하고 그 변화의 폭이 클 때 제안한 방법들 중에서 Epanechnikov함수를 쓴 Epanechnikov-WANN 대치법의 성능이 가장 우수함을 알 수 있다. 세 개의 변수가 같은 변동계수를 갖고 그 차이가 0.
- 모든 변수들이 무상관관계를 갖는 다변량 정규분포에서 ANN과 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN, Triangular-WANN, Triweight-WANN이 대체적으로 우수한 성능을 보였다. 특히 Epanechnikov-WANN과 Triangular-WANN은 변동계수에 상관없이 모든 자료에서 KNN과 WKNN보다 좋은 성능을 보였다. 동일한 변동계수를 갖는 변수가 많고 그 증가 폭이 작을 때는 대체적으로 ANN이 가장 좋은 성능을 보였고 새롭게 제안한 Epanechnikov-WANN과 Triangular-WANN은 그 다음으로 우수한 성능을 보였다.
- 3인 경우에는 대체적으로 ANN 대치법과 KNN 대치법이 우수한 성능을 보였지만 무상관관계를 갖는 경우보다 NRMSE의 차이가 작았고 무상관관계를 갖는 경우와는 다르게 Epanechnikov-WKNN 대치법도 좋은 성능을 보였다. 특히, 결측률이 높을 때 같은 변동계수를 갖는 변수가 많으면 대체적으로 Epanechnikov-WKNN이 ANN보다 좋은 성능을 보였다. 하지만, 동일한 변동계수를 갖는 변수가 적고 그 차이가 클 때는 새롭게 제안한 방법들 중에서 Epanechnikov-WANN이 대체적으로 모든 WKNN보다 좋은 성능을 보였다.
- 특히, 결측률이 높을 때 같은 변동계수를 갖는 변수가 많으면 대체적으로 Epanechnikov-WKNN이 ANN보다 좋은 성능을 보였다. 하지만, 동일한 변동계수를 갖는 변수가 적고 그 차이가 클 때는 새롭게 제안한 방법들 중에서 Epanechnikov-WANN이 대체적으로 모든 WKNN보다 좋은 성능을 보였다. 따라서 변수들이 0.
후속연구
- 본 논문에서 제안하는 가중 적응 최근접 이웃 대치법은 조정된 이웃의 수를 사용하여 개체들의 국소적 특징을 반영하고 커널함수를 이용하여 가중치를 계산함으로써 각 변수들의 산포도를 고려할 수 있고 변동계수가 클 때에도 좋은 성능을 보인다. 즉, 최근접 이웃들의 극단값이나 이상값에도 높은 정확도를 보임으로써 앞으로 유용한 결측치 대치법이 될 것으로 기대한다.
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