[논문]반복이 있는 랜덤화 블록 모형에서 정렬방법과 결합위치를 이용한 비모수 다중비교법

황주원; 김동재

doi:10.5351/kjas.2018.31.5.599

초록
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반복이 있는 랜덤화 블록 모형(randomized block design with replications)에서 비모수 다중비교 방법으로는 Mack과 Skillings (Technometrics, 23, 171-177, 1981) 방법이 있다. 이 방법은 각 블록의 처리에서 반복된 관측값 대신 관측값들의 평균을 이용해 순위를 매기기 때문에 정보의 손실이 발생할 가능성이 있다. 이를 보완하기 위해 본 논문에서는 Hodges와 Lehmann (The Annals of Mathematical Statistics, 33, 482-497, 1962)이 제안한 정렬방법과 Chung과 Kim (Communications for Statistical Applications and Methods, 14, 551-560, 2007)이 제안한 결합위치 검정법을 확장하여 반복이 있는 랜덤화 블록 모형에서 새로운 비모수 다중비교 방법을 제시하였다. 또한 몬테카를로 모의실험(Monte Carlo simulation)을 통해 모수적 방법과 기존의 비모수적 방법과의 family wise error rate (FWE)와 검정력을 비교하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

The method of Mack and Skillings (Technometrics, 23, 171-177, 1981) is a nonparametric multiple comparison method in a randomized block design with replications. This method is likely to result in loss of information because each block is ranked using the average of observations instead of repeated ...

The method of Mack and Skillings (Technometrics, 23, 171-177, 1981) is a nonparametric multiple comparison method in a randomized block design with replications. This method is likely to result in loss of information because each block is ranked using the average of observations instead of repeated observations. In this paper, we proposed a new nonparametric multiple comparison method in the randomized block model with replications using an alignment method proposed by Hodges and Lehmann (The Annals of Mathematical Statistics, 33, 482-497, 1962) that extend the joint placement method proposed by Chung and Kim (Communications for Statistical Applications and Methods, 14, 551-560, 2007). In addition, Monte Carlo simulation compared the family wise error rate and power with the parametric method and the nonparametric method.

주제어

표/그림 (6)

표 Table 3.1. Results of administering 4 types of medicine
표 Table 3.2. Results of using aligned method (joint placement)
표 Table 4.1. Monte Carlo power and FWE estimates: treatment = 3, block = 5, n_1j = 11, n_2j = 12, n_3j = 13
표 Table 4.2. Monte Carlo power and FWE estimates: treatment = 3, block = 10, n_1j = 21, n_2j = 22, n_3j = 23
표 Table 4.3. Monte Carlo power and FWE estimates: treatment = 5, block = 5, n_1j = 11, n_2j = 12, n_3j = 13, n_4j = 14, n_5j = 15
표 Table 4.4. Monte Carlo power and FWE estimates: treatment = 5, block = 10, n_1j = 21, n_2j = 22, n_3j = 23, n_4j = 24, n_5j = 25

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서는 반복이 있는 랜덤화 블록 계획법에서 비모수적 다중비교 방법으로 정렬방법과 결합위치를 이용한 다중비교 통계량을 제안하였다. 이 통계량은 Hodges와 Lehmann (1962)이 제안한 정렬방법을 이용하여 블록간의 정보를 이용한 뒤, Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치를 확장하여 처리별 평균순위를 이용하였다.

제안 방법

본 논문에서는 블록간의 정보를 이용하기 위해서 Hodges와 Lehman (1962)이 제안한 방법인 정렬 방법과, Chung과 Kim (2007)이 일원배치법에 대해 제안한 방법인 결합위치 통계량을 확장하여 반복이 있는 랜덤화 블록 모형에서 비모수적 다중비교 검정법을 제안하였다. Monte Carlo simulation를 통해 모수적 검정법인 Tukey-Kramer (1956) 방법, 비모수적 검정법인 Mack와 Skillings (1981) 방법, 본 논문에서 제안한 방법의 family wise error rate (FWE)와 검정력(power)을 비교하였다.
본 논문에서는 블록간의 정보를 이용하기 위해서 Hodges와 Lehman (1962)이 제안한 방법인 정렬 방법과, Chung과 Kim (2007)이 일원배치법에 대해 제안한 방법인 결합위치 통계량을 확장하여 반복이 있는 랜덤화 블록 모형에서 비모수적 다중비교 검정법을 제안하였다. Monte Carlo simulation를 통해 모수적 검정법인 Tukey-Kramer (1956) 방법, 비모수적 검정법인 Mack와 Skillings (1981) 방법, 본 논문에서 제안한 방법의 family wise error rate (FWE)와 검정력(power)을 비교하였다.

데이터처리

본 논문에서는 정렬방법 적용 후, 결합위치를 사용한 처리별 평균 통계량을 이용하여 제안한 다중비교 검정법과 기존의 방법들의 FWE와 검정력을 비교하기 위해 SAS프로그램을 이용해 10,000번을 반복하는 Monte Carlo simulation을 시행하였다. 이때 FWE는 모든 귀무가설이 참일 때 적어도 하나의 귀무가설이 기각될 확률이며, 검정력은 거짓인 귀무가설들 중 적어도 하나의 귀무가설을 거짓이라고 채택할 확률이다.
본 논문에서는 반복이 있는 랜덤화 블록 계획법에서 비모수적 다중비교 방법으로 정렬방법과 결합위치를 이용한 다중비교 통계량을 제안하였다. 이 통계량은 Hodges와 Lehmann (1962)이 제안한 정렬방법을 이용하여 블록간의 정보를 이용한 뒤, Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치를 확장하여 처리별 평균순위를 이용하였다. 제안방법을 모수적 방법인 Tukey-Kramer 방법과 비모수적 방법인 Mack과 Skilling 방법의 FWE와 검정력을 정규분포, 지수분포, 이중지수분포, Cauchy분포에서 Monte Carlo Simulation을 통해 비교하였다.
이 통계량은 Hodges와 Lehmann (1962)이 제안한 정렬방법을 이용하여 블록간의 정보를 이용한 뒤, Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치를 확장하여 처리별 평균순위를 이용하였다. 제안방법을 모수적 방법인 Tukey-Kramer 방법과 비모수적 방법인 Mack과 Skilling 방법의 FWE와 검정력을 정규분포, 지수분포, 이중지수분포, Cauchy분포에서 Monte Carlo Simulation을 통해 비교하였다. 각 처리별 효과인 τ_i의 설정은 처리의 수가 3개와 5개인 경우의 다양한 효과 차이인 6가지 조합 경우의 수로 설정하여 고려하였고, 블록 내에 반복수가 다른 경우를 고려해 처리별 표본크기가 모두 다른 경우를 설정하였다.

이론/모형

반복이 있는 랜덤화 블록 계획법에서 비교방법으로는 모수적인 방법인 Tukey-Kramer (Kramer, 1956) 방법, 비모수적 방법인 Mack과 Skilling (1981)의 방법을 사용하여 제안방법과 비교하였다. 모집단의 분포는 대칭분포인 정규분포, 이중지수분포, Cauchy분포, 비대칭분포인 지수분포를 고려하였다.

성능/효과

본 논문에서 제안한 방법은 처리 수와 블록의 수에 상관없이 정규분포에서는 기존방법들보다 대부분의 검정력이 높음을 기대할 수 있다. 특히 처리가 3일 때 일정하다 감소하는 패턴, 처리가 5일때 일정하게 증가와 감소를 반복하는 패턴에서는 제안방법이 Mack과 Skilling 방법과 비슷하거나 더 높게 나타날 것으로 기대된다.
처리효과 차이가 1로 일정하게 증가와 감소를 반복하는 패턴에서 블록이 5인 경우 Cauchy분포를 제외하고 제안 방법이 항상 검정력이 높았으며, 블록이 10인 경우에는 Cauchy분포를 제외하고 지수분포와 이중지수분포에서 Mack과 Skilling 방법과 제안방법의 검정력이 매우 비슷하게 나타났다. 블록의 수가 증가할수록, 처리의 수가 증가할수록 FWE가 Mack과 Skilling 방법에 비해 제안방법이 보수적임에도 불구하고,제안방법의 검정력이 가장 좋았던 패턴에서는 항상 좋거나 Mack과 Skilling 방법과 근소한 차이를 가짐을 알 수 있었다.
기존의 방법인 Mack과 Skiling 방법에 비해 모든 면에서 우월하다고 말할 수 없지만, Mack과 Skiling 방법은 각각 관측 값 대신에 블록 내의 순위를 이용하여 검정하기 때문에 블록 간 정보가 손실될 위험이 있고, 모든 관측값의 정보를 사용하지 않으므로 정보의 손실이 발생할수 있다. 하지만 제안한 방법에서는 블록간의 정보를 이용하는 정렬방법과, 모든 처리군과 비교하여 상대적인 위치를 사용하는 결합위치 방법을 이용하기 때문에 기존 방법의 단점을 보완하였다는 점에서 의미있는 차별성이 있다고 생각할 수 있다.

후속연구

추후 반복이 있는 랜덤화 블록 모형에서 다중비교에 관한 연구가 진행된다면 Cauchy분포에서 FWE가 보수적인 결론을 내리는 부분과 정규분포에서는 제안한 방법의 검정력이 대부분 가장 높지만 외에 분포에서는 전체적으로 기존 비모수 방법보다 낮은 검정력을 가지므로 추후에 더 보완해야 할 것으로 보인다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	랜덤화 블록 계획법이 주는 이점은 무엇인가?	세가지 이상의 처리가 있는 경우, 처리 효과 차이의 유무를 알기 위해 연구대상을 동질적인 실험단위끼리 여러 개의 블록으로 구분 한 뒤, 무작위로 각 블록의 한가지 처리 수준에 한 명의 연구대상을 할당하는 랜덤화 블록 계획법(randomized block design)있다. 이러한 블록 설정으로 인해 다른 블록 간에는 다르더라도, 서로 동질적인 같은 블록내에서는 효과적으로 처리효과를 비교할 수 있다. 이때 각각의 처리 수준별 둘이상의 연구 대상을 할당하는 경우를 반복이 있는 랜덤화 블록 계획법이라고 한다 (Song과 Kim, 2015).
	반복이 있는 랜덤화 블록 계획법에는 어떤 한계점이 있는가?	실험결과의 정밀성을 유지하기 위해서는 반복실험을 해야한다. 반복이 있는 랜덤화 블록 계획법에서는 각 처리의 효과차이에 관해 판단을 할 뿐, 어떤 처리들 간의 효과가 존재하는지 구별하기 힘들다. 이때 어떤 처리간의 평균 차이가 존재하는지를 알기 위한 비교과정을 다중비교방법(multiple comparison test)이라 한다.
	다중비교방법은 어떤 장점이 있는가?	이때 어떤 처리간의 평균 차이가 존재하는지를 알기 위한 비교과정을 다중비교방법(multiple comparison test)이라 한다. 처리 효과 차이 유무를 검정하기 위해서 오차가 서로 독립이고 정규분포를 따르는 확률변수라는 가정이 성립한다면 모수적 방법으로 검정이 가능하다. 하지만 어느 특정한 확률분포를 따른다고 정의할 수 없거나, 모집단에 대한 정보가 없는 경우에 사용시 제1종 오류를 제어하기 힘든 문제가 발생할 수 있으므로 제1종 오류를 제어할 수 있는 비모수적 방법을 사용해야 한다 (Song과 Lee, 1995).

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